4. 2. Завдання та приклад виконання лабораторної роботи №4 Зробить завдання по наведеному зразку

Питання для самоперевірки

1. Які елементи вікна MathCad?

2. Які палітри можна відкрити в панелі Math?

3. Як створюються текстові блоки?

4. Як уводяться формули?

5. Яким образом визначається ранжирована змінна?

6. Як увести в текст стандартну функцію?

7. Як будується графік на площині?

8. Як визначається матриця і які дії можна зробити над матрицями?

9. Які команди використовуються для побудови програмних блоків?

10. Які команди символьних перетворень можна ввести з панелі Symbolic?.

Використовувана література.

[6] стор. 55-98.

5. Лабораторна робота №5 „Пошук наближеного рішення системи рівнянь ”

Ціль роботи: вивчити наближені методи рішення системи рівнянь придбати навички рішення системи рівнянь методами ітерацій, Зейделя та з використанням системи MathCAD.

5.1. Теоретичні відомості

5.1.1. Норма вектора. Норма матриці.

Визн. Нормою вектора називається відображення в просторі , яке кожному вектору ставить у відповідність число, що позначається і задовольняє наступним властивостям.

Властивості норми:

1. Норма вектора

2. 

3. 

У лінійному просторі - мірних векторів задамо норму двома способами:

1. 2.

У лінійному просторі квадратних - мірних матриць виду:

норму визначимо в такий спосіб:

, де - верхня грань.

Таким чином, одержуємо, що норма матриці погоджена з нормою вектора.

Будемо обчислювати норму матриці за формулами:

1. 2.

З визначення норми матриці випливає:

5.1.2. Приведення системи до виду зручному для ітерацій.

Розглянемо систему лінійних рівнянь:

Матрична форма запису (1)

Приведемо систему до виду, зручному для ітерацій:

тобто (2).

Розглянемо два способи приведення системи до виду, зручному для ітерацій:

1) У i-тому рівнянні системи (1) усі доданки перенесемо з лівої в праву частину, крім доданка, що містить у собі і потім розділимо рівняння на . Коефіцієнти визначаються за формулами:

2) Усі доданки i-го рівняння переносимо з лівої в праву частину і до обох частин рівняння додамо при цьому коефіцієнти , визначаються за формулами:

.

5.1.3. Метод ітерацій.

Нехай система рівнянь приведена до виду, зручному для ітерацій .

Виберемо довільним образом нульове наближення:

. Звичайно як нульове наближення вибирається стовпець вільних членів: Далі будується ітераційна послідовність за формулою:

(3)

Помітимо, що i-та компонента k-го наближення обчислюється у наступний спосіб:

.

Th: Якщо , то система рівнянь (2) має єдине рішення і послідовність ітерацій (3) сходиться до цього рішення зі швидкістю убуваючої геометричної прогресії (без довед.).

Похибку k-ої ітерації визначається за формулою:

, де x^k – точне рішення.

5.1.4. Метод Зейделя.

Нехай дана система рівнянь (1) :. За допомогою першого способу приводимо цю систему до виду, зручному для ітерацій: . Вибираємо нульове наближення і будуємо ітераційний процес. Будемо вважати, що значення компонентів (k-1)-го наближення відомі, тоді компоненти k-го наближення визначаються за формулою:

Таким чином, при обчисленні і-ої компоненти k-го наближення вже використовуються компоненти k-го наближення з номерами, що менші за і. Похибку k-го наближення визначається таким же чином, як і в методі ітерацій.

Теореми збіжності:

Th1: Якщо норма , то послідовність ітерацій, сформована за м. Зейделя сходиться до точного рішення, незалежно від нульового наближення.

Th2: Система (1) має єдине рішення, і послідовність ітерацій, сформована за м. Зейделя сходиться до точного рішення, якщо виконано наступну умову: