Р ис. 2.1. Система 2х плоскостей проекций.

Четыре двухгранных угла, на которые плоскости делят пространство, называются четвертями.

Спроецируем точку А, произвольно выбранную в первой четверти, в данной системе плоскостей проекций. Направление лучей проецирования s₁ перпендикулярно ₁ и s₂ перпендикулярно ₂. А₁ – горизонтальная проекция точки А, А₂ – фронтальная проекция точки А. Проецирующие лучи АА₁ и АА₂ образуют плоскость, которая пересекает плоскость проекций по прямым А_хА₁ и А_хА₂. Эти прямые перпендикулярны оси x₁₂ и называются линиями проекционной связи.

Повернем плоскость ₁ вокруг оси x₁₂ до совмещения с ₂ на 90 в направлении, указанном на чертеже (рис. 2.1). Получим одну плоскость – плоскость чертежа или эпюр (фр. - чертеж) (рис. 2.2).

Р ис. 2.2. Эпюр точки.

Эпюром точки называется чертеж, на котором изображены две проекции точки, расположенные в проекционной связи.

Две проекции точки вполне определяют ее положение в пространстве. Если из проекции А₁ и А₂ восстановить перпендикуляры к плоскостям проекций, то точка А определится однозначно. Точка А в пространстве определена тремя координатами x, y, z, которые можно измерять на эпюре.

2.2 Ортогональная система трех плоскостей проекций

В практике для изображения геометрических объектов, решения некоторых задач возникает необходимость использовать третью плоскость проекций ₃, перпендикулярную ₁ и ₂. ₃ – профильная плоскость проекций. А₃ – профильная проекция точки А.

Система трех плоскостей проекций делит пространство на 8 октантов, которые условно обозначают согласно рис. 2.3.

Р ис. 2.3. Система 3х плоскостей проекций.

В первом октанте все координаты положительные.

Чтобы перейти к чертежу на плоскости, совместим все три плоскости в одну плоскость ₂ по направлениям, указанным на чертеже. Плоскость ₁ вращаем вокруг оси x₁₂ на 90, плоскость ₃ – вокруг оси z₂₃ на 90 против часовой стрелки. При этом ось y раздваивается.

Получается комплексный чертеж точки (рис. 2.4).

Р ис. 2.4. Комплексный чертеж.

На комплексном чертеже все проекции точки А₁, А₂, А₃ находятся в проекционной связи. Каждая проекция точки определяется двумя координатами:

А₁ – x, y₁

А₂ – x, z

A₃ – y₃, z

В данном примере x = 30, y = 25, z = 35. Третья профильная проекция точки может быть определена по линиям связи от проекций А₁ и А₂. Проекции А₂ и А₃ расположены на одной горизонтальной линии связи, которая определяется координатой z (отрезок OA_z), а от горизонтальной проекции А₁ проводим линию связи перпендикулярно оси y₁, отрезок OA_y (координата y) переносим против часовой стрелки на горизонтальную ось y₃ и восставляем перпендикуляр (линию связи) до пересечения с горизонтальной линией связи от А₂. Координата у от А₁ переносится на горизонтальную ось у₃ всегда против часовой стрелки, т.к. плоскость ₃ при совмещении с ₂ разворачивается против часовой стрелки.

Профильную проекцию А₃ можно определить, откладывая координаты на соответствующих осях проекций с учетом знака.

Знаки координат зависят от того, в каком октанте расположена точка.

Координаты	Октанты
	I	II	III	IV	V	VI	VII	VIII
x	+	+	+	+	-	-	-	-
y	+	-	-	+	+	-	-	+
z	+	+	-	-	+	+	-	-