Р ис. 4.15. Общий случай пересечения плоскостей.

4. Для определения ещё одной общей точки выводим вторую вспомогательную секущую плоскость уровня.  Выполним те же построения и определим вторую общую точку II.

5. Соединяем получившиеся точки I и II, Которые определяют линии пересечения плоскостей l (l₁, l₂).

При решении некоторых задач удобнее использовать вспомогательные проецирующие плоскости.

4.5.4.Пересечение прямой линии с плоскостью .

Рассмотрим общий случай пересечения прямой с плоскостью, когда и плоскость и прямая общего положения.

На рис. 4.16. дана плоскость треугольник АВС и прямая l.

Определить точку пересечения К. Алгоритм решения задачи:

1. Прямую l заключаем вспомогательную проецирующую плоскость, в нашем случае, горизонтально проецирующую   ₁ l₁  ₁.

2. Строим линию пересечения данной плоскости и вспомогательной (АВС)(12).

3. Определяем искомую точку на пересечение линии пересечения и проекции прямой l (1₂2₂)  l₂  K₂  K₁.

4. Определяем видимость прямой l относительно точки пересечения.

Т.к. стороны треугольника АВС и прямой l являются скрещивающимися прямыми, видимость определяем по конкурирующим точкам.

Если в задаче на определение точки встречи прямой линии с плоскостью один из геометрических объектов – частного положения, то в ведение вспомогательной плоскости не требуется. Рассмотрим эти случаи.

Р ис. 4.16. Пересечение прямой линии с плоскостью.

Задача: Дана плоскость (СDЕ) – горизонтально проецирующая и прямая линия l общего положения (рис. 4.17а) Определить точку их пересечения.

Р ис. 4.17.

Решение: Так как треугольник CDE – горизонтально проецирующая плоскость и проецируется на ₁ в прямую линию, то пересечение прямой l определяем на пересечении горизонтальных проекций объектов в единственной точке К₁. Далее определяем видимость прямой l относительно точки пересечения К.

Аналогично решаем задачу на рис. 4.17б, где плоскость Т задана следами и является фронтально проецирующей.

Задача: Дана плоскость (AВC) – общего положения и фронтально проецирующая прямая l. Определить точку их пересечения (рис. 4.18а).

Решение: Так как прямая l является фронтально проецирующей и проецируется на плоскость ₂ в точку, то фронтальная проекция точки пересечения К₂ совпадает с l₂. Горизонтальную проекцию точки пересечения К₁ определяем из условия принадлежности точки К и прямой l плоскости АВС. Проводим вспомогательную прямую (12), принадлежащую плоскости, через К₂. Рассматриваем видимость прямой l относительно точки пересечения К. Аналогично решаем задачу на рис. 4.18б, где плоскость Г задана следами, а прямая l перпендикулярна плоскости ₁.

р ис. 4.18.

4.5.5. Прямая линия, перпендикулярная плоскости.

Прямая линия перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна любым двум пересекающимся прямым плоскости.

Однако распознать перпендикулярность прямой линии и плоскости в общем случае сложно, т.к. прямой угол проецируется на плоскость проекции в натуральную величину, когда одна из его сторон параллельна данной плоскости проекций. Следовательно, если на некоторой плоскости  (рис. 4.19) провести две пересекающиеся прямые, одна из которых горизонталь h || , а другая - фронталь f || ₂, то перпендикулярная к плоскости  прямая a проецируется на плоскость ₁ перпендикулярно h₁, а плоскость ₂ перпендикулярна f₂.