1.7 Часові системи

Для того щоб у межах системного аналізу досліджувати еволюцію систем у часі, необхідно визначити поняття часу у виді такого абстрактного об'єкта, який найбільш повно відбивав би самі істотні риси інтуїтивних уявлень людини про час.

Множиною моментів часу (часової системи) будемо називати лінійно упорядковану множину, для будь-яких двох елементів якої має місце відношення лінійного порядку. Для подальшого будемо вважати, що в множині міститься мінімальний елемент , такий що .

Нехай і деякі довільні множини. Позначимо через і множини всіх можливих відображень з в і відповідно, тобто

.

Часовою системою заданою на множинах і будемо називати підмножину

,

при цьому множини і називають часовими об'єктами системи. Елементи цих множин і називають абстрактними функціями часу. Значення цих функцій у момент часу позначають і .

Розглянута система «випрямляч струму» – часова система. Нехай на вхід системи подається періодичний струм прямокутної форми (рис. 1.11 а.) з напівперіодом рівним і амплітудою . Для того щоб описати систему «випрямляч струму», як часову, задамо множину значень струму і множину моментів часу у виді множини натуральних чисел, тобто . Визначимо часові об'єкти, як відображення і . Для цього необхідно поставити у відповідність елементам множини – натуральним числам, елементи множини . Як видно з рис. 1.11 а, для елементів множини парним значенням відповідає значення струму , а непарним – . Тоді для визначення елементів одержимо співвідношення

.

Графік цього відображення приведений на рис. 1.12. Оскільки на виході напрямок струму незмінний, то . Таким чином, часова система буде складатися з елементів

.

Розглянемо випадок, коли на вхід системи подається струм, що змінюється за гармонійним законом. У цьому випадку множина – безперервна і є множиною дійсних чисел. При цьому, елементом множини є безперервна функція часу . Для того щоб визначити часовий об'єкт , скористаємося функцією

.

Тоді . Виходячи з цих співвідношень для часової системи «випрямляч струму» одержимо, що зв'язок між виходом і входом такої системи визначається співвідношенням

. (1.9)

Графік функції виходу системи приведений на рис 1.13.

З розглянутого приклада випливає, що існує, принаймні, два класи часових систем: дискретні системи, для опису яких використовуються дискретні множини входів і виходів та системи з безперервними множинами входів і виходів. Дискретні системи розглядаються в рамках теорії автоматів, а безперервні системи – у рамках теорії часових (динамічних) систем. Для того щоб перейти до більш конкретного опису системи різних типів, необхідно ввести нові допоміжні об'єкти, що називаються об'єктами станів, а їхні елементи – станами системи.

1.8 Поняття глобальних станів і глобальних реакцій системи

Поняття стану вводиться для того, щоб:

• забезпечити представлення систем, що є в загальному випадку відношеннями, за допомогою функцій;

• забезпечити можливість визначати майбутній вихід системи, знаючи лише майбутній її вхід і поточний стан системи, не враховуючи її передісторію (стан системи в будь-який момент часу містить у собі всю інформацію про передісторію системи);

• забезпечити можливість співвідносити стан системи в різні моменти часу для того, щоб визначати, чи змінюється стан системи в часі і якщо так, то яким чином.

Ця остання вимога приводить до поняття простору станів. Загальна часова система визначається в такому просторі.

При визначенні множини станів системи необхідно ввести поняття часткової функції. Функцію будемо називати частковою якщо вона визначена тільки на деякій підмножині множини . Для зручності часткову функцію будемо позначати в такий спосіб . Позначимо область визначення функції (або просто область) через , а область її значень (або її кообласть) – через . Аналогічним чином будуть позначатися область, і кообласть системи : і . Для спрощення позначень надалі завжди будемо вважати, що , якщо тільки не вказано протилежне.

Тепер можна привести ще одне визначення часткової функції: функція називається частковою, якщо .

Визначення множини станів. Нехай для даної системи і довільної множини , функція

така, що . Тоді називається множиною або об'єктом глобальних станів системи, а її елементи – глобальними станами системи. При цьому функція називається глобальною реакцією системи .

Кожній системі відповідає деяка глобальна реакція, і ця функція не є частковою, тобто . Це твердження відбиває той факт, що вихід системи однозначно визначається її входом і станом.

Повернемося до розглянутого вище прикладу системи, на вхід якої подається змінний струм, а на виході виходить постійний струм. Для опису множини станів цієї системи потрібно ввести чотири ключі – , , і (рис. 1.14). Позначимо стан «ключ замкнутий» через , а – «ключ розімкнений». Випишемо множини глобальних станів системи, що реалізують її функцію – випрямлення струму

.

Елементи цієї множини і . У цьому випадку для глобальної реакції системи

елементами відображення будуть і . У випадку безперервності входів і виходів системи зі співвідношення (1.5.) легко одержати глобальну реакцію системи у виді функції

,

де .