Додаток 1 основи теорії множин

Первинні поняття теорії множин – множина й відношення "бути елементом множини".

Множину можна задати двома способами:

1. Перерахуванням усіх елементів множини, наприклад, .

2. Указавши характеристичну властивість елементів множини , відповідно з якою можна встановити, належить даний елемент множині , що позначається, чи не належить: , наприклад,

.

Це читається так: – множина всіх елементів таких, що – числа із проміжку [12; 157].

У загальному випадку для такого способу завдання множини можна вказати наступне співвідношення

.

Тут - характеристична властивість або умова, на підставі якої здійснюється відбір елементів. Строго кажучи, – висловлювана функція. Говорять, що об'єкт задовольняє висловлюваної функції, якщо висловлення, отримане з підстановкою замість об'єкту , тобто, є істинним.

Д.1.1 Підмножини

Нехай множини та такі, що з умови випливає, що . Тоді говорять, що є підмножиною, що записується в такий спосіб

Говорять ще, що – невласна підмножина множини . Нехай . Якщо можна вказати такий елемент , що й при цьому, то називають власною підмножиною множини й позначають

Відношення та називають відношеннями включення. Якщо та , то . За визначенням, порожня множина є підмножиною будь-якої множини .

Якщо мають місце співвідношення та , то множини та еквівалентні або рівні, тобто .

Д.1.2. Операції над множинами

Об'єднанням множин і , що позначається, називається множина, яка складається з елементів, що належать або множині, або множині, тобто

.

Перетинанням множин та , що позначається, називається множина, яка складається з елементів, що належать множині і множині , тобто

.

О перації об'єднання й перетинання множин можна проілюструвати за допомогою діаграм, на яких сірим кольором позначений результат цих операцій (рис. Д1).

Рисунок Д1 – Операції об’єднання та перетинання множин

Операції об'єднання й перетинання множин можна визначити для будь-якої кількості множин. Нехай задана сім'я множин , де – множина індексів, тоді

та

Операції та задовольняють наступним властивостям:

• асоціативності

, ;

• комутативності

, ;

• дистрибутивності

, .

Легко показати, що коли , тоді і . Звідси зокрема випливає, що і .

Доповненням множини до множини, або різницею множин, називається множина, що складається з елементів, що належать множині і не належать множині , тобто

.

Приведемо деякі тотожності, яким задовольняє операція доповнення:

1. 

2. .

Симетрична різниця множин. Ця операція визначається в такий спосіб:

Її складають елементи, що належать множині , але не належать , та елементи, що належать множині , але не належать .

Операція симетричної різниці має властивості:

• асоціативності ;

• комутативності ;

Операція перетинання дистрибутивна щодо симетричної різниці

.

Порожня множина є нульовим елементом для операції симетричної різниці

.

З визначення операції симетричної різниці випливає, що

.