5.3 Стохастичне моделювання процесів в інфокомунікаційних мережах

Перш ніж висвітлити основні моменти стохастичного моделювання процесів в інфокомунікаціфних системах розглянемо у загальних рисах процес обслуговування викликів.

Потоком викликів називають послідовність заявок, що надходять у систему розподілення інформації в деякі моменти часу , за певний період часу . Розрізняють детерміновані та випадкові потоки викликів. У детермінованому потоці виклики надходять через строго визначені проміжки часу. Прикладом детермінованого потоку є сеанси зв’язку з науково-дослідницькими супутниками. У звичайних системах зв’язку та комп’ютерних мережах потік викликів є випадковим, тобто виклики надходять через різні проміжки часу тривалість яких є випадковою величиною. Крім того випадковою величиною є також тривалість обслуговування викликів та інтенсивність навантаження. Для того щоб забезпечити задовільну якість обслуговування абонентів розрахунки обсягів обладнання та пропускної здатності каналів зв’язку необхідно здійснювати з урахуванням їх стохастичної природи. Для випадку голосового навантаження розроблені стандартизовані процедури таких розрахунків.

Основною відмінністю цифрових систем від аналогових зв’язку є те що на вхід такої системи поступають порції даних, які називають, пакетами. Кожний такий пакет можна розглядати як заявку на обслуговування. Тоді слід було б очікувати, що аналіз функціонування цифрових систем зв’язку можна здійснювати використовуючи методи притаманні аналоговим системам. В основному методи аналізу аналогових систем зв’язку ґрунтуються на припущенні, що потік заявок є пуасонівським, тобто якщо розглядати інтервали часу між заявками то вони описуються пуасонівською щільністю ймовірності. Згідно з її визначенням при щільності потоку викликів ,що визначається як середня кількість викликів за одиницю часу, ймовірність того, що протягом проміжку часу у систему надійде викликів, дорівнює

.

Для аналізу систем зв’язку використовують такі величини як ймовірність надходження не менш ніж викликів за проміжок часу

та ймовірність надходження не більш ніж викликів

.

Для того щоб розробити стохастичну модель системи зв’язку необхідно виконати статистичні дослідження, тобто накопичити дані що характеризують її функціонування.

Р озглянемо цифрову систему зв’язку до складу якої входить один буфер, що може зберігати необмежену чергу заявок, та один сервер (див. рис. 5.3).

Нехай на вхід системи за час надходить пакетів, а кількість пакетів що вже обслужені позначимо . Тоді загальний обсяг пакетів, що перебувають в системі

.

Звідси, кількість пакетів, що перебувала в системі протягом періоду часу обчислюється за формулою

.

Використовуючи це співвідношення, можна обчислити середнє в часі число пакетів, що надійшли в систему

,

та середній час перебування пакету в системі

.

Інтенсивність вхідного потоку – це кількість пакетів, що надходять у систему за одиницю часу

.

Використовуючи це визначення, отримаємо співвідношення яке встановлює зв'язок між та

.

Дж. Літтл довів, що ця рівність залишається справедливою для довільних вхідних потоків та часу обслуговування. Формула Літтла відіграє важливу роль в аналізі цифрових систем зв’язку. Наприклад, якщо розглядати тільки буфер, то співвідношення між середньою довжиною черги та середнім часом перебування пакету в черзі , знову ж таки буде описуватись формую Літтла

.

Якщо розглядати тільки сервер, то тоді

,

де - середня кількість пакетів у сервері; - середній час оброблення сервером одного пакету. При цьому

Звісно, що у реальних цифрових системах буфер має обмежений обсяг, тобто може зберігати обмежену кількість даних. Як наслідок, при надходженні великої кількості пакетів система може бути заблокована, тобто пакети не будуть обслуговуватись. Вочевидь, що при проектуванні цифрових систем зв’язку необхідно передбачувати можливість виникнення такої ситуації. Якщо відомі середні характеристики процесу обслуговування, що наведені вище то можна побудувати стохастичну або імітаційну модель цифрової системи зв’язку, що дасть змогу визначитись з технічними показниками та якістю обслуговування системи зв’язку у випадку буферу з обмеженою довжиною черги. Наприклад, якщо відомо щільність найпростішого вхідного потоку =160 викл/год, то можна розрахувати ймовірності того, що за проміжок часу =180 с. у систему надійде не більше шести викликів, рівно шість викликів та не менше шести. Ймовірність надходження шести викликів розраховується безпосередньо за формулою що визначає щільність ймовірності, при цьому, оскільки =8, то

.

Ймовірність того, що в систему надійшло не більше шести викликів, обчислюється за формулою

,

тоді ймовірність того, що в систему надійде не менше ніж шість викликів буде дорівнювати

.

Використовуючи значення щільності потоку викликів можна проаналізувати поведінку системи зв’язку. Побудуємо графік залежності ймовірності того що в систему надійде не менше ніж викликів для

Як видно з рис 5.4 ймовірність надходження кількості викликів у систему, що не менше , зменшуєтьбся зі збільшенням . Якщо проаналізувати таким чином функціонування системи ще й в залежності від та , то можна на підставі отриманих даних встановити оптимальну продуктивність серверу, ємність буферу та інші показники необхідні для проектування системи зв’язку.

Особливістю сучасних систем зв’язку та інфокомунікаційних систем є те, що передавання інформації в них здійснюється за технологією комутації пакетів. При цьому потік пакетів не є пуасонівським, тому використання методів моделювання, що ґрунтуються на припущенні пуасонівського потоку викликів, не тільки є не коректним а й приводить до неправильного визначення характеристик системи.

Вважається, що найбільш адекватні результати моделювання можна отримати якщо розглядати потік викликів (трафік), як самоподібну випадкову послідовність.

Н ехай задана випадкова послідовність викликів де - дискретні моменти часу. Прикладом такої послідовності є вхідний потік викликів, що надходили з Інтернет-мережі на сервер протягом 2830 год., його графік наведено на рис. 5.4. Кожна точка цього графіку – це кількість викликів що надходять до серверу протягом однієї години.

Поділимо проміжок часу на непересічних суміжних інтервалів довжини . У кожному такому інтервалі обчислимо середні значення

.

У результаті отримаємо нову випадкову послідовність у якій дискретні моменти часу вимірюються у новому масштабі . Змінюючи значення отримаємо множину таких послідовностей, у яких потік викликів представлений у різних масштабах. На рис 5.5 наведені графіки потоку викликів для трьох значень .

Як видно з наведених рисунків графіки потоку викликів у різних масштабах схожі між собою – це є ознакою само подібності або, як ще кажуть: масштабної інваріантності - характеристики потоку не залежать від того у якому масштабі часу його аналізувати.