4.4 Нечіткий логічний вивід

Використовуваний у різного роду експертних і керуючих системах механізм нечітких виводів у своїй основі має базу знань, яка формується фахівцями предметної області у вигляді сукупності нечітких предикатних правил виду:

: якщо x є , тоді y є ,

: якщо x є , тоді y є ,

------------------------------------

: якщо x є , тоді y є ,

де x – вхідна змінна (ім'я для відомих значень даних), y – змінна виводу (ім'я для значення даних, що буде обчислене); A і B – функції належності, які означені відповідно на x та y.

Приклад подібного правила:

Якщо x – низько, то y – високо.

Приведемо більш детальні пояснення. Знання експерта відображає нечітке причинне відношення передумови й виводу, тому його можна назвати нечітким відношенням і позначити через R:

де «» називають нечіткою імплікацією.

Відношення R можна розглядати як нечітку підмножину декартового добутку повної множини передумов X і виводів Y. Таким чином, процес одержання (нечіткого) результату виводу з використанням даного спостереження і знання можна представити у вигляді формули

де «» – композиція нечітких відношень.

Як операцію композиції, так і операцію імплікації в алгебрі нечітких множин можна реалізовувати по-різному (при цьому, природно, буде відрізнятися й підсумковий одержуваний результат), але в кожному разі загальний логічний вивід здійснюється за наступні чотири етапи:

1. Нечіткість (введення нечіткості, фазифікація). Функції належності, які означені на вхідних змінних, застосовуються до їхніх фактичних значень для визначення ступеня істинності кожної передумови кожного правила.

2. Логічний вивід. Обчислене значення істинності для передумов кожного правила застосовується до виводів кожного правила. Це приводить до однієї нечіткої підмножини, яка буде призначена кожної змінної виводу для кожного правила. Як правила логічного виводу звичайно використовуються тільки операції mіn (МІНІМУМ) або prod (МНОЖЕННЯ). У логічному виводу МІНІМУМУ функція належності виводу «відсікається» по висоті, яка відповідає обчисленому ступеню істинності передумови правила (нечітка логіка «ТА»). У логічному виводу МНОЖЕННЯ функція належності виводу масштабується за допомогою обчисленого ступеня істинності передумови правила.

3. Композиція. Всі нечіткі підмножини, призначені до кожної змінної виводу (у всіх правилах), об’єднуються разом, щоб сформувати одну нечітку підмножину для кожної змінної виводу. При такому об'єднанні звичайно використовуються операції max (МАКСИМУМ) або sum (СУМА). При композиції МАКСИМУМУ комбінований вивід нечіткої підмножини конструюється як поточковий максимум по всіх нечітких підмножинах (нечітка логіка «АБО»). При композиції СУМИ комбінований вивід нечіткої підмножини конструюється як поточкова сума по всіх нечітких підмножинах, призначених змінної виводу правилами логічного висновку.

4. На закінчення (додатково) може виконуватись приведення до чіткості (дефазифікація), яке використовується, коли корисно перетворити нечіткий набір виводів у чітке число. Є велика кількість методів приведення до чіткості, деякі з них розглянуті нижче.

Приклад. Нехай деяка система описується наступними нечіткими правилами:

: якщо x є , тоді є ,

: якщо y є , тоді є ,

: якщо z є , тоді є ,

де x, y і z – імена вхідних змінних, – ім'я змінної виводу, а A, B, C, D, E, F – задані функції належності (трикутної форми).

Процедура одержання логічного виводу ілюструється на рис. 4.12.

Передбачається, що вхідні змінні прийняли деякі конкретні (чіткі) значення , і .

Відповідно до наведених етапів, на етапі 1 для даних значень і виходячи з функцій належності A, B, C визначають ступені істинності , і для передумов кожного із трьох наведених правил (див. рис. 4.12).

На етапі 2 виконується "відсікання" функцій належності виводів правил (тобто D, E, F) на рівнях , і .

На етапі 3 розглядаються усічені на другому етапі функції належності, і виконується їхнє об'єднання з використанням операції max, у результаті чого виходить комбінована нечітка підмножина, описувана функцією належності _, що відповідає логічному виводу для вихідної змінної .

Нарешті, на 4-му етапі – при необхідності – одержується чітке значення вихідний змінної, наприклад, із застосуванням центроїдного методу: чітке значення вихідної змінної визначається як центр ваги для кривій , тобто

Рисунок 4.12 – Ілюстрація до процедури логічного висновку

Розглянемо наступні найбільш часто використовувані модифікації алгоритму нечіткого виводу, вважаючи для простоти, що базу знань складають два нечіткі правила виду:

: якщо x є та y є , тоді z є ,

: якщо x є та y є , тоді z є ,

де x та y – імена вхідних змінних, z – ім'я змінної виводу, , , , , , – деякі задані функції належності; при цьому чітке значення необхідно визначити на основі наведеної інформації й чітких значень і .

Алгоритм Mamdanі. Даний алгоритм відповідає розглянутому прикладу й рис. 4.12. У розглянутій ситуації він математично може бути описаний у такий спосіб.

1. Нечіткість: знаходять ступені істинності для передумов кожного правила: _.

2. Нечіткий висновок: знаходять рівні «відсікання» для передумов кожного із правил (з використанням операції МІНІМУМ)

_,

_,

де через «» позначена операція логічного мінімуму (mіn), потім знаходять «усічені» функції належності

_,

_.

3. Композиція: з використання операції МАКСИМУМ (max, далі позначуваної як «») виконується об'єднання знайдених усічених функцій, що приводить до одержання підсумкової нечіткої підмножини для змінної виводу з функцією належності

4. Нарешті, приведення до чіткості (для знаходження ) проводиться, наприклад, центроїдним методом.

Алгоритм Tsukamoto. Вихідні посилки – як в алгоритмі Mamdanі, але в цьому випадку передбачається, що функції і є монотонними.

1. Перший етап – такої ж, як в алгоритмі Mamdanі.

2. На другому етапі спочатку знаходять (як в алгоритмі Mamdanі) рівні «відсікання» і , а потім, розв’язуючи рівняння

_{, ,}

чіткі значення ( і ) для кожного з вихідних правил.

3. Визначається чітке значення змінної виводу (як зважене середнє і ):

_.

У загальному випадку (дискретний варіант центроїдного методу)

_.

Приклад. Нехай , , , , відповідні рівні відсікання:

,

,

і значення , , знайдені в результаті розв’язання рівнянь

, .

При цьому чітке значення змінної виводу (рис. 4.13) .

Рис. 4.13. Ілюстрації до алгоритму Tsukamoto

Спрощений алгоритм нечіткого виводу. Вихідні правила в цьому випадку задаються у вигляді:

: якщо x є та y є , тоді z = ,

: якщо x є та y є , тоді z = ,

де і – деякі звичайні (чіткі) числа.

1. Перший етап – як в алгоритмі Mamdanі.

2. На другому етапі знаходять числа , .

3. На третьому етапі знаходять чітке значення вихідної змінної за формулою

або – у загальному випадку наявності n правил – за формулою

.

Ілюстрація алгоритму наведена на рис. 4.14.

Рис. 4.14. Ілюстрація спрощеного алгоритму нечіткого виводу

Методи приведення до чіткості.

1. Вище вже був розглянутий один з даних методів – центроїдний. Приведемо відповідні формули ще раз. Для неперервного варіанта:

_;

для дискретного варіанта:

_.

2. Перший максимум (Fіrst-of-Maxіma). Чітка величина змінної виводу визначається як найменше значення, при якому досягається максимум підсумкової нечіткої множини, тобто (рис. 4.15а)

.

3. Середній максимум (Mіddle-of-Maxіma). Чітке значення визначається за формулою

.

де G – підмножина елементів, які максимізують С (рис. 4.15б).

Дискретний варіант (якщо С дискретне):

.

Рис. 4.15. Ілюстрація до методів приведення до чіткості:

а – перший максимум; б – середній максимум

4. Критерій максимуму (Max-Crіterіon). Чітке значення вибирається довільно серед множини елементів, що доставляють максимум С, тобто

.

5. Висотна дефазифікація (Heіght defuzzіncatіon). Елементи області визначення , для яких значення функції належності менше, ніж деякий рівень у розрахунок не приймаються, і чітке значення розраховується за формулою

,

де – нечітка множина -рівня (див. вище).