1.6 Теоретико-множинне визначення системи. Модель «чорної скриньки»

Основні принципи побудови теорії систем, полягають у наступному.

1. Основні поняття теорії систем уводяться за допомогою формалізації. Це значить, що виходячи зі словесного опису інтуїтивного поняття системи, дається точне математичне визначення.

2. Виходячи з основних понять, отриманих у результаті формалізації, вводяться математичні методи системного аналізу, необхідні для дослідження систем.

Як відзначалося раніше, фундаментальним поняттям теорії є поняття системи, що базується на теоретико-множинних термінах. На цьому рівні система визначається як деяке відношення.

Нехай задане сімейство не порожніх абстрактних множин

(1.4)

де – множина індексів, а множина – компонента системи.

Системою називається відношення на не порожніх, абстрактних множинах

(1.5)

де – операція декартового добутку множин. Множину будемо називати об'єктом системи. Якщо множина скінчена, то (1.5) можна переписати у вигляді

. (1.6)

Іншими словами, під системою, заданою на , будемо розуміти деяку власну підмножину декартового добутку :

або , (1.7)

Нехай підмножини й утворюють поділ множини на дві підмножини, таких що і . Множину будемо називати вхідним об'єктом або множиною входів системи, а множину – вихідним об'єктом, або множиною виходів системи. Тоді системою визначається відношенням

(1.8)

Якщо є

, (1.9)

тобто система визначається як відображення множини входів на множину виходів, тоді відповідна система буде називатися функціональною.

Відзначимо, що у формулах (1.5) – (1.8) використовується той самий символ , хоча, строго кажучи, елементами відношення в (1.6) – (1.7) є -ки, у той час як у (1.8) – це пари. Конкретний характер інтерпретації завжди буде випливати з контексту, у якому цей символ використовується. Аналогічні зауваження можна висловити і з приводу використання однакового символу і надалі.

У визначенні системи за допомогою співвідношення (1.7) не містяться об'єкти, що описують внутрішню будову системи. Тому її можна зобразити у виді "чорної скриньки", виділеної з навколишнього середовища. Підкреслимо, що вже ця, максимально проста, модель відбиває дві важливих властивості системи: цілісність і відокремленість від середовища.

Далі, з визначення (1.7) додатково випливає, що хоча "скринька" і відособлена, виділена із середовища, вона не є цілком від нього ізольованою. Результати діяльності системи, як правило, приводять до заздалегідь відомих змін у навколишнім середовищі, тобто система впливає на середовище. Такого типу вплив на зовнішнє середовище називають виходом системи.

У визначенні є вказівка і на наявність зв'язків іншого типу, що відбивають вплив навколишнього середовища на систему, тобто такі зв'язки із середовищем, що спрямовані ззовні в систему. Вони називаються входами системи.

Систему визначену таким чином, називають моделлю чорної скриньки, чим підкреслюється повна відсутність інформації про внутрішню будову системи. У рамках цієї моделі досліджуються можливі відношення між входами і виходами системи. Така модель, незважаючи на її зовнішню простоту і на відсутність даних про структуру системи, виявляється корисною, а часто і єдино можливою, на початковому етапі дослідження складних систем.

Для того щоб краще зрозуміти причини, згідно з якими система визначається як теоретико-множинне відношення, доречно зробити наступні зауваження.

Система визначається в термінах її властивостей, що спостерігаються, або, точніше, у термінах взаємозв'язків між цими властивостями, а не тим, що вони насправді собою представляють. Це цілком погоджується з сенсом системних досліджень, спрямованих на з'ясування організації і взаємозв'язків елементів системи, а не на вивчення конкретних механізмів реалізації цих зв'язків.

Визначення системи як відношення виду (1.7) є загальним. Дійсно, якщо деяка система задається якимись більш конкретними математичними конструкціями, скажемо системою лінійних рівнянь, то ці рівняння одночасно визначають деяке відношення, що відповідає визначенню (1.7), або є його наслідком. Наприклад, така система, як електричний ланцюг із зосередженими параметрами описується системою лінійних рівнянь, що породжуються двома типами відношень еквівалентності:

• сума струмів у вузлах ланцюга дорівнює нулеві;

• сума падінь напруг на ділянках замкненого контуру дорівнює сумі діючих ЕРС.

Природно що, різним системам відповідають і різні способи опису, але усі вони можуть бути зведені до відношення виду (1.7).

Існує великий клас, так званих «нечітких систем» (прикладами таких систем можуть слугувати системи розпізнавання образів, експертні системи і системи штучного інтелекту), коли систему вдається описати лише словесно на якісному рівні. Проте, усі ці словесні твердження в силу їхніх лінгвістичних функцій будуть підпадати під відношення типу (1.7). Дійсно, кожне висловлення містить дві основні лінгвістичні категорії: денотати і функтори, причому денотати використовуються для позначення об'єктів, а функтори для позначення відношення між ними. І для кожної правильної множини словесних тверджень існує відношення (у математичному сенсі цього слова), що описує формальний взаємозв'язок між об'єктами, що позначаються денотатами (це відношення називається моделлю цих тверджень). Таким чином, система, у загальному випадку, завжди є відношенням у сенсі (1.7), а вже більш вузькі класи систем визначаються більш точно своїми специфічними засобами, будь вони лінгвістичними, математичними, програмними або якимись іншими. Слід зазначити, що практично завжди, виходячи з моделі «чорної скриньки» для досліджуваної системи можна одержати дані про її структуру.

Нехай необхідно розробити систему, на вхід якої подається змінний струм (тобто напрямок струму змінюється), що на виході перетвориться в постійний струм (напрямок струму незмінний).

Проведемо попередній розгляд задачі. Нехай множина входів (вхідних клем) системи – , а множина виходів (вихідних клем) – .

Введемо в розгляд відношення – «напрямок струму» таке, що для пари (кортежу) струм спрямований від до . З урахуванням цього відношення побудуємо припустимі множини входів і виходів досліджуваної системи. Для цього обчислимо декартів добуток

,

.

Тоді множини припустимих входів і виходів, що задовольняють заданим умовам, будуть мати вигляд:

, .

З урахуванням цих множин будемо мати

.

Така модель системи носить поки що винятково описовий характер (власне кажучи це переформульована умова задачі дослідження).

Після етапу попереднього аналізу можна установити структуру системи. Для цього трохи переформулюємо задачу, а саме: встановимо, як повинні з'єднуватися входи і виходи системи, щоб забезпечити незмінність напрямку струму на вихідних клемах. Для цього, потрібно ввести в розгляд нове відношення. Будемо називати відношення «порядком з'єднання»

або .

Кортеж виду вказує, що елемент з'єднується з і т.д. Для того щоб установити порядок з'єднання вхідних і вихідних елементів досліджуваної системи скористаємося відношенням:

Оскільки операція декартового добутку є асоціативною, то це відношення можна переписати у виді

Тоді, для системи, що розглядається

у цьому випадку одержимо

.

З останнього співвідношення випливає, що система складається з двох підсистем: і . Зв'язки між входами і виходами цих підсистем можна зобразити у виді схем, як на рис. 1.10.

Слід зазначити, що розглянута процедура виділення підсистем з вихідної системи, у системному аналізі називається процедурою декомпозиції системи. Очевидно, що в даному випадку встановлення структури системи недостатньо для повноти опису її поведінки або функціонування. Це зв'язано з тим, що в рамках розглянутої моделі не враховується такий об'єкт як час.