125

Зміст

Зміст 2

Вступ 4

1 ОСНОВИ ПОНЯТТЯ ЗАГАЛЬНОЇ ТЕОРІЇ СИСТЕМ 9

1.1 Основні означення теорії систем, поняття системи 9

1.2 Еталонна семирівнева модель взаємодії відкритих телекомунікаційних систем 15

1.3 Поняття зв'язку і стану 17

1.4 Кібернетичні системи 19

1.5 Етапи дослідження систем 21

1.6 Теоретико-множинне визначення системи. Модель «чорної скриньки» 27

1.7 Часові системи 32

1.8 Поняття глобальних станів і глобальних реакцій системи 34

1.9 Контрольні запитання 36

2 ОСНОВНІ ВИДИ І ВЛАСТИВОСТІ СИСТЕМ 38

2.1 Види систем 38

2.1.1 Статичні системи 38

2.1.2 Динамічні системи 40

2.2 Властивості систем 41

2.2.1 Цілісність 41

2.2.2 Причинність 42

2.2.3 Керованість та спостережність 43

2.2.4 Стійкість 46

2.2.5 Складність 48

2.3 Контрольні запитання 51

3 ДЕКОМПОЗИЦІЯ І СИНТЕЗ СИСТЕМ 53

3.1 Операції з’єднання 53

3.2 Декомпозиція систем. Підсистеми. Елементи системи 58

3.3 Приклад застосування методів загальної теорії систем для проектування комутаційних систем зв’язку 61

3.4 Контрольні запитання 63

4 НЕЧІТКІ СИСТЕМИ 64

4.1 Нечіткі множини 65

4.2 Операції над нечіткими множинами 71

4.3 Нечіткі відношення 75

4.4 Нечіткий логічний вивід 81

4.5 Контрольні запитання 89

5 ПОНЯТТЯ МАТЕМАТИЧНОЇ МОДЕЛІ. ПРИКЛАДИ МАТЕМАТИЧНИХ МОДЕЛЕЙ СИСТЕМ 90

5.1 Етапи математичного моделювання 90

5.2 Моделі стохастичних систем 98

5.2.1 Метод статистичних іспитів 102

5.3 Стохастичне моделювання процесів в інфокомунікаційних мережах 107

ДОДАТОК 1 ОСНОВИ ТЕОРІЇ МНОЖИН 114

Д.1.1 Підмножини 114

Д.1.2. Операції над множинами 115

Д.1.3 Універсальна множина. Доповнення множини. Декартів добуток множин 117

Д.1.4 Розбиття множини на систему підмножин 119

Д.1.5 Відношення 119

Д.1.6 Способи завдання бінарних відношень 121

Д.1.7 Відношення еквівалентності, порядку й домінування 122

Д.1.8 Відображення. Функції 123

Вступ

Найбільш загальним і продуктивним підходом при вивченні різноманітних об'єктів, явищ чи процесів є системний підхід, коли об'єкт, явище чи процес подаються у вигляді певних взаємозв'язаних елементів, що утворюють певну цілісність – систему. Можливі два напрями системного підходу. Перший полягає в тому, що на підставі дослідження реального світу та вибору певних загальних явищ, характерних для різних галузей знань, будуються загальні теоретичні моделі цих явищ. Суть другого напряму – побудова ієрархії різних сфер реального світу у відповідності зі складністю їхньої організації та визначення для кожної сфери відповідного рівня абстракції.

Означені підходи відповідно носять назви емпіричного та епістемологічного. В рамках емпіричного підходу світ і різноманітні системи, що зустрічаються в ньому, вивчаються для того, щоб сформулювати виявлені закономірності. Можна сказати, що цей підхід пов'язано з рухом від емпіричних даних до абстрактних моделей і від своєрідності до більшої спорідненості. Епістемологічний підхід — це рух у зворотному напрямку: від абстрактного й загального – до більш специфічного, конкретного. В рамках епістемологічного підходу розглядаються всі можливі системи, незалежно від того, чи дійсно вони існують у реальному світі як матеріальні об'єкти.

Теорія систем – це наукова дисципліна, що вивчає різні явища, незалежно від їхньої конкретної природи. Вона ґрунтується тільки на дослідженні формальних взаємозв'язків між різними факторами, що їх складають, а також характеру їхніх змін під впливом зовнішніх умов. Результати всіх спостережень конкретного явища або об'єкта пояснюються лише взаємодією їхніх складових компонентів, зокрема, характером їхньої організації і функціонування. При цьому не враховується зміст і природа задіяних у явищі механізмів – якщо вони є фізичними, біологічними або соціологічними. Для теорії систем об'єктом дослідження є не "фізична реальність", не хімічне або соціальне явище, а "система", тобто формальний взаємозв'язок між її ознаками, що спостерігаються, і властивостями.

Сучасний стан теорії систем характеризується підвищеною увагою фахівців до концептуальних і методологічних основ теорії. Це пояснюється, насамперед, різноманіттям об'єктів, що підпадають під визначення системи. Крім того, існують теорії, у яких розглядаються системи більш конкретного типу (наприклад, динамічні системи, автомати, системи керування, теоретико-ігрові системи і т.п.), що розвиваються вже досить тривалий час і мають обмежену область застосування.

Загальна теорія систем займається основними питаннями, загальними як для всієї множини об'єктів і явищ, так і для конкретних додатків у межах вузькоспеціальних дисциплін. Крім того, для дійсно складних явищ – а до цієї категорії відноситься більшість, що досліджуються у соціології і біології, – спеціальні методи, які використовуються класичними теоріями (що базуються на таких конкретних математичних структурах, як диференційні або алгебраїчні рівняння, абстрактні алгебри і т.п.), не можливо адекватно описати ці складні системи. Внаслідок невідповідності між характером явищ і наявних можливостей їхнього опису, або через недолік відомостей багато дійсно складних проблем можна сформулювати лише в самих загальних термінах, що мають якісний, а досить часто і просто лінгвістичний характер.

Тому основна мета загальної теорії систем полягає в тому, щоб розробити такі методи, які дозволяють з єдиних позицій формулювати досить строгі моделі складних систем. З цією метою всі основні поняття такої теорії повинні вводитися аксіоматично, що і забезпечить строге і послідовне дослідження усіх властивостей систем і їхню поведінку. Математичний апарат, необхідний для формалізації основних понять теорії, повинний забезпечити строгість тверджень і зберігати при цьому їх загальність. Дуже важливо зрозуміти, що, відмовляючись від використання точної мови (тобто математики) у дослідженні систем ми нічого не виграємо. Застосування математичних методів дає можливість не тільки досліджувати властивості систем, але і робити логічні висновки про їхню можливу поведінку. Дійсно, вивчення логічних висновків з того, що системи мають визначені властивості, повинне бути основним змістом будь-якої теорії, включаючи і теорію систем.

Сьогодні теорія систем – це строга математична теорія, у рамках якої:

• розроблено концептуальний апарат і ефективні методи дослідження систем довільної природи;

• дається строге математичне визначення її предмета – системи, як формалізації поняття зв'язків між її структурними елементами.

Необхідно звернути увагу на те, що теорія систем, з одного боку, є досить загальною для того, щоб не вносити своїх власних обмежень, і в той же час у наслідок своєї строгості вона усуває можливість досить небезпечних різночитань. Це відноситься, насамперед, до різних тлумачень терміна «система» у психології, біології, техніці й інших областях знань. У свою чергу, теорія систем повинна відбивати «інваріантні» структурні і функціональні аспекти різних систем, що зустрічаються в навколишньому світі. При цьому принципове значення мають ті характеристики їхньої поведінки, що залишаються незмінними для аналогічних явищ з різних областей знань. Інваріантність структурних і функціональних характеристик систем можна встановити тільки тоді, коли відповідні поняття визначені досить строго. Тому цілком виправдано розглядати математичну теорію систем як основу для формалізації будь-яких системних понять. У цьому сенсі загальна теорія систем утворює фундамент для застосування "системного підходу" і теорії систем практично до будь-яких об'єктів і явищ. У процесі використання загальної теорії систем для визначення основних понять необхідно мати на увазі, що вирішальним фактом є не те, чи "вірне" це визначення при кожній з можливих інтерпретацій, а те, чи визначене це поняття настільки строго, що його можна ясно і недвозначно зрозуміти.

Відзначимо, що ідеологія і методи загальної теорії систем широко використовуються при проектуванні складних систем зв’язку та інформаційних систем, а також при розробці прикладного програмного забезпечення для автоматизації процесів їхнього проектування. Так, базою для проектування та побудови сучасних систем зв'язку є семирівнева модель взаємодії відкритих систем, прийнята Міжнародним союзом електрозв'язку (ITU), яка є стандартом, в межах якого йде розбудова всіх елементів зв'язку, систем передавання, синтез телекомунікаційних мереж і систем усіх рівнів та масштабів.

Сьогодні стало очевидним, що з прийняттям семирівневої моделі взаємодії відкритих систем вдалось побудувати локальні та глобальні мережі й системи зв'язку, які, з одного боку, враховують весь складний процес перетворення інформаційних сигналів і відповідне доставляння їх до споживача в належному вигляді, найбільш придатному для сприйняття переданої інформації, а з іншого – дають змогу стандартизувати у вигляді протоколів та рекомендацій усю різноманітність процедур перетворень сигналів, та відповідного телекомунікаційного обладнання.

Разом з появою і подальшим бурхливим розвитком цифрового обладнання і цифрових методів формування, передавання та оброблення інформаційних сигналів з використанням новітніх телекомунікаційних технологій побудовано сучасні інформаційні системи, такі, як Internet й інші глобальні, відомчі чи спеціалізовані системи. Спостерігається настільки тісне злиття систем і технологій, що вже іноді важко розділити, знайти ту межу, де закінчується система телекомунікацій, а де починається інформаційна система. Існують навіть спільні назви: "всесвітня мережа", "комп'ютерна мережа" й інші, – що відображають більш інтереси споживача, ніж суть всієї системи. Тут слід, знову ж таки, спираючись на системний підхід, відокремити межі системи як цілісного об'єкта, пов'язаного з метою, для здійснення якої система призначена. З урахуванням цього і йде поділ на інформаційні системи, що забезпечують збирання, накопичення та облік інформації, і телекомунікаційні системи, призначені для доставляння цієї інформації до споживача. Слід відзначити, що телекомунікаційні системи є матеріальною основою інформаційних систем і можуть бути включені в них як підсистеми. Водночас телекомунікаційні системи, як і будь-які інші, характеризуються повністю, з одного боку, структурними, а з іншого – функціональними чинниками і моделями. Адекватною моделлю структурних властивостей є мережа, що відтворює взаємозв'язки між елементами системи. Отже, більш загальним в теорії систем є сама система, а мережа є однією з головних її характеристик, поряд з функціональною.

1 Основи поняття загальної теорії систем

1.1 Основні означення теорії систем, поняття системи

Центральною проблемою, теорії систем і системних досліджень є визначення поняття системи.

В основі теорії систем лежить сформульована біологом Л. фон Берталанфі теза, згідно з якою для системи, що складається з елементів, можуть бути вказані певні загальні принципи, незалежно від того, яка є фізична сутність цих елементів. Теорія систем стала потужно розвиватись у зв'язку з появою кібернетики, де саме керована система стала об'єктом дослідження. Подальше зміцнення позицій теорії систем пов'язане зі здобутими результатами математичної логіки, теорії автоматів, теорії машин Тьюрінга й потребами соціології, екології, біології, військової справи, груп взаємодіючих ЕОМ, радіозасобів тощо. Методи і принципи дослідження систем розроблялися Ланге, Месаровичем, Акоффом і Ешбі, а також українськими і російськими вченими – В. М. Глушковим, Н. П. Бусленко, А. И. Уйомовим, Б. Н. Михалевським, Ю. А. Шрейдером та іншими.

На сьогодні не існує (на інтуїтивному рівні) єдиного визначення системи, що є достатньо загальним, повним і несуперечливим. Відомо не менше 35 різних визначень цього поняття. Таке їхнє різноманіття зумовлене, зокрема тим, що визначення системи – це в більшості випадків її мовна (лінгвістична) модель. Тому розходження у вимогах до опису моделі системи приводять до різних визначень цього поняття.

Розглянемо кілька конструктивних визначень поняття системи.

Широко розповсюдженим є означення системи як множини елементів, що перебувають у взаємодії. За означенням, система – це сукупність об'єктів або елементів, які знаходяться у відношеннях або зв'язках один з одним, що утворюють певну цілісність, єдність.

Нехай відомо, що система складається з деякої множини взаємозалежних елементів: . Для того, щоб повністю описати систему необхідно формалізувати уявлення про зв'язки між її об'єктами. Тоді формальний опис системи, зокрема, можна подати у виді різних комбінацій зв'язків між відповідними парами або групами об'єктів .

У свою чергу, зв'язки повинні описувати взаємодію об'єктів у часі. Отже, опис системи, у загальному випадку повинен враховувати й еволюцію системи. Системи, що еволюціонують, описуються в межах динамічних моделей систем. Формалізація динамічного підходу до опису систем ґрунтується на представленні системи у виді взаємодіючих у часі процесів. З цього визначення випливає, що структура системи (з яких об'єктів вона складається), а також її внутрішня організація (взаємозалежність елементів системи) заздалегідь відомі. Виникає природне запитання – чи завжди при дослідженні системи відомі її структура і внутрішня організація? Очевидно, що не завжди.

Для організаційно-технічних систем, до яких, вочевидь, належать і системи зв'язку, вводять також і особу, що приймає рішення (ОПР). Такі організаційно-технічні системи називають ергатичними, а керування нами – ситуативним. Для аналізу та управління такими системами використовуються спеціальні методи, що відокремлені в окремий науковий напрямок в якому розробляється теорія прийняття рішень.

Слід відзначити, що елементами системи можуть бути об'єкти не лише матеріальні, але й суто абстрактні. Наприклад, елементами системи можуть виступати відносини чи зв'язки між певними об'єктами. Разом з тим, один і той самий об'єкт на різних етапах може розглядатися в різних аспектах. Наприклад, в одних випадках він може виступати в ролі системи (наприклад радіостанція, що складається з елементів: окремих пристроїв і блоків), в інших той самий об'єкт може розглядатися як елемент більш загальної системи – метасистеми (наприклад та ж радіостанція є елементом системи зв'язку). З іншого боку, кожен блок може, в свою чергу, розглядатися як система, що складається з елементів – радіодеталей, які є взаємопов'язані.

Іноді виникає необхідність системний розгляд і аналіз провести не від елементів до цілісної системи, а у зворотному напрямку, коли систему треба розчленувати на елементи. Такий підхід буває потрібним при вивченні системи, при інтерпретації її структури відповідно до відносин між отриманими внаслідок розгляду елементами. Явно відокремлюваних елементів у системі може не виявитися, тому для розв'язання невизначеності, яка при цьому виникає, від дослідника вимагається певний творчий підхід. Вочевидь, і надалі не можна розраховувати на розробку загального алгоритму поділу системи на елементи. Різні дослідники розглядають одну й ту саму систему неоднаково. Наприклад, кінь як цілісна система сприймається біологом, жокеєм, митцем, ветеринаром, кухарем тощо з різних точок зору. Проте як цілісна система вона відповідає уявленням усіх цих людей.

Можна також стверджувати і те, що жодна природна система не вичерпується скінченим набором уявлень. Отже, рівні розгляду системності можуть бути різноманітні. Про них необхідно попередньо домовитися для того, щоб при аналізі об'єкта чи синтезі його моделі взаємодіючі особи (які, в свою чергу, утворять певну систему) могли б порозумітися. У теорії систем сучасного зв'язку прийнятим рівнем є сама система зв'язку відповідної ланки керування, а всі лінії й засоби зв'язку – її елементи. Це трдиційний макропідхід до вивчення систем зв'язку. Разом з тим у теорії зв'язку можливий і мікропідхід, коли у якості система розглядається окремий пристрій або вузол, що складається з елементів – радіодеталей, які перебувають у взаємодії. Часто виокремлюється й мезапідхід на рівні взаємодіючих засобів і комплексів зв'язку.

На практиці часто явище, процес чи систему доводиться розглядати окремо від оточення. Виокремлюючи певну систему з оточуючого середовища, спрощують ситуацію, бо в світі всі об'єкти, явища чи процеси певною мірою взаємопов'язані. Однак саме така абстракція допомагає пізнавати світ, бо вивчення цілого за частинами є один з основних способів пізнання.

Часто при вивченні системи виникає необхідність розгляду її у взаємодії з іншими системами або з оточуючим середовищем. У якості ілюстрації саме такого підходу до визначенні поняття системи на інтуїтивному рівні можна привести наступне:

Система – це об'єкт, що виникає в результаті виділення деякої частини зовнішнього світу по тим або іншим системоутворюючим ознакам.

Розглядаючи систему, як виділену частину зовнішнього стосовно неї світу, необхідно установити, хоча б взагалі, принципи її виділення. У загальному випадку виділення системи з навколишнього світу, здійснюється за просторовими або функціональними ознаками. При цьому передбачається, що можна провести межу або в просторі компонентів цієї системи, або в просторі її функцій, по однин бік від якої виявиться сама система, а по інший – зовнішнє середовище, причому властивості системи відмінні від властивостей зовнішнього стосовно неї середовища.

Розглянемо кілька прикладів таких систем (табл. 1.1):

Таблиця 1.1 – Приклади систем

Ч. ч.	Приклад систем	Принцип виділення
1	Сонячна Система	просторовий
2	обчислювальний центр	просторовий
3	промислове підприємство	просторовий
4	електрична схема	просторовий
5	операційна система ЕОМ	функціональний
6	автоматизована система управління технологічним процесом АСУТП	функціональний
7	система планування виробничо-комерційної діяльності підприємства	функціональний
8	серцево-судинна система	функціональний

Системи 1–4, що складаються з матеріальних і абстрактних об'єктів, сформовані за просторовою ознакою, а системи 5–8 – за функціональним призначенням. Звернемо увагу на те, що деякі з перерахованих систем допускають двоякий опис. Так, наприклад, операційна система може задаватися як своїми функціями (керування процесом виконання задач і розподілу ресурсів даної ЕОМ) так і набором програм, що реалізують ці функції і встановлених на даній ЕОМ.

У більшості з тих випадків, коли система задається за просторовими ознаками, одночасно може бути здійснена структуризація системи.

Структуризація – це виділення в системі двох типів об'єктів: множини елементів системи і множини зв'язків між ними, а також встановлення відносин між цими двома множинами.

Структурою системи називається сукупність цих двох множин, між якими встановлена певна відповідність.

Так, основними елементами Сонячної системи є Сонце і планети, а зв'язками – гравітаційні взаємодії між ними. У промисловому підприємстві елементами системи можуть бути окремі цехи, а зв'язками – матеріальні й інформаційні потоки між ними. У системі лінійних рівнянь елементи – окремі рівняння, а зв'язки – участь тих самих змінних у різних рівняннях.

У рамках однієї і тієї ж системи структуризація може бути проведена по-різному. Так, структурною одиницею (елементом) підприємства може бути як цех, так і ділянка або робоче місце; відповідно змінюються і види зв'язків. Крім того, те, що в одному випадку виступає, як вид зв'язку, в іншому – може вважатися видом елемента. Наприклад, елементи електричного ланцюга – конденсатори, резистори, індуктивності – можуть розглядатися не як елементи, а як зв'язки між вхідною і вихідною ділянками схеми.

Існують системи, просторові границі яких не є їх системоутворюючою ознакою. Наприклад, дві людини, що розмовляють по телефону, складають систему, двома елементами якої є співрозмовники, а видом зв'язку – телефонна розмова.

Не кожна система допускає природну структуризацію. Заздалегідь, наприклад, не ясно, що варто вважати елементом живого організму – клітину, орган, групу органів. Тому поняття елемента системи автоматично не випливає із самого поняття системи, а є частиною поняття структури і зв'язано з метою дослідження, що проводиться. Як вже розглядалось, системи в прикладах 5–8 задані за функціональними ознаками. Система 6 – за функціями автоматизованого обліку, контролю і керування технологічними процесами. Система 7 покликана здійснювати планування виробничо-комерційної діяльності підприємства; система 8 задана за функцією постачання всіх тканин і клітин організму киснем, водою і живильними речовинами.

Зупинимось більш докладно на означенні елемента системи. Під елементом прийнято розуміти найпростішу неподільну частину системи. Неподільність в даному разі є умовна, оскільки при бажанні це ділення можна необмежено здійснювати аж до мікросвіту. Однак неподільність тут означає, що подальше ділення є недоцільне, бо руйнує властивості елемента або не дає додаткової інформації при вивченні конкретних властивостей і структури системи, що досліджується. Елементи можуть бути більш-менш однорідні, як, наприклад, опорні вузли зв'язку, або неоднорідні, змішані, це, наприклад, вузли зв'язку різноманітних первинних мереж.

Елементи системи можуть перебувати в різній взаємозалежності. Якщо вони незалежні один від одного, їхня спільна (взаємна) невизначеність, що характеризується ентропією, є сумою окремих невизначеностей:

, (1.1)

де – невизначеність одного елемента системи. Загальна невизначеність системи з незалежних елементів

(1.2)

Якщо ж елементи є залежними, то

(1.3)

де – умовна ентропія.

Очевидно, що , тобто взаємна невизначеність залежних елементів є меншою, ніж незалежних. Отже, і невизначеність системи із залежними елементами менша, ніж з незалежними. Іншими словами, за наявності взаємозв'язку між елементами система стає більш організованою, з більш упорядкованими відношеннями.

Кожна система характеризується, з одного боку, набором функцій, що нею виконуються, а з іншого боку – тими компонентами, що реалізують функції системи. Отже, функціональні і структурні описи системи повинні доповнювати один одного.

Таким чином, усі проблеми, що виникають при аналізі і синтезі систем, зводяться до двох:

1. Опис структури системи на основі функціональних характеристик (структурний аналіз, його іноді називають морфологічним);

2. Визначення функцій системи, заданої відповідно до просторового або структурного принципу ("функціональний" аналіз).

Структурний і функціональний описи є взаємодоповнюючими частинами системного аналізу. Відзначимо, що при функціональному підході вся система розглядається як один елемент. Функції цієї системи визначаються її взаємозв'язками з іншими системами, зовнішніми стосовно неї.

При структурному підході основна увага приділяється аналізові елементів, що визначають структуру системи та їх організацію за допомогою взаємозв'язків. Кожен елемент може являти собою у свою чергу деяку систему, функції якої реалізуються за допомогою зв'язків цього елемента з іншими. Наприклад, в електричній схемі діод може розглядатися як елемент системи, а з іншого боку, як деяка система, що має свою будову і принципи функціонування. Отже, функціональний опис відповідає такому рівневі розгляду системи, при якому деталі її внутрішньої будови є несуттєвими. При структурному підході функціональний аналіз не виключається – він застосовується вже не до всієї системи, а до її частини, що відіграє роль елемента.