5.2.1 Метод статистичних іспитів

Метод статистичних іспитів (метод Монте-Карло) полягає в побудові чисельної моделі випадкового процесу за відомими вхідними параметрами.

Розглянемо найпростіший приклад моделювання стохастичної системи. Нехай необхідно визначити імовірність того, що при стрілянині у мішень в серії з десяти пострілів сумарна кількість влучень у «десятку» – парне число.

Будемо вважати, що відома імовірність влучення в «десятку» при одному пострілі. Тоді ймовірність визначається з біноміального закону розподілу ймовірностей

^.

Тут дорівнює числу сполучень з по .

З іншого боку, можна було б експериментально виконати серій по 10 пострілів і підрахувати кількість серій , у яких число влучень у «десятку» – парне. Тоді при досить великому одержимо, що

.

Більш простіший спосіб в розробці моделі даного стохастичного процесу.

Щільність рівномірного розподілу імовірностей випадкових чисел на проміжку дорівнює

.

Звідси, для випадкових чисел із проміжку [0,1] . При цьому імовірність настання деякої події визначається за допомогою функції розподілу ймовірностей

.

Очевидно, що для випадкових чисел із проміжку останнє співвідношення буде мати вигляд

.

Практично у всіх мовах програмування в склад стандартних функцій входить, так званий, генератор випадкових чисел, що формує послідовність чисел, рівномірно розподілених на проміжку [0,1]. Для того щоб за допомогою генератора випадкових чисел змоделювати настання події – «влучення в десятку» із заданою ймовірністю згенеруємо випадкове число . Якщо , то відбулася подія «влучення в десятку». Для того щоб визначити імовірність парної кількості влучень у «десятку» у серії з десяти пострілів необхідно згенерувати серій з десяти випадкових чисел. У кожній з цих серій підраховується – кількість чисел, що задовольняють нерівності . Заодно підраховується кількість серій для яких –парне. Тоді ймовірність події буде визначається зі співвідношення

,

яке забезпечує прийнятну точність для .

Найбільш важливою у практиці застосування методу Монте-Карло є задача моделювання незалежних випадкових подій. У випадку однієї події , що настає з імовірністю , її настання здійснюється тоді, коли псевдовипадкове число належить проміжкові [0,1], тобто . Виходячи з цього, можна визначити умови настання деякої події де – множина подій, що спостерігаються з ймовірностями відповідно. При цьому повинна виконуватися рівність . Для визначення умов настання події скористаємося інтегральною функцією розподілу для псевдовипадкових чисел, тоді відповідна йому імовірність буде визначатися зі співвідношення

.

Звідси випливає, що подія відбудеться, якщо псевдовипадкове число задовольняє нерівності

.

Процедура моделювання настання деякої події, що належить множині полягає в наступному:

– генеруємо випадкове число ;

– якщо для якогось , то відбулася подія .

Розглянемо тепер, як здійснюється моделювання випадкових подій із заданим законом розподілу імовірностей. У цьому випадку задача полягає в тому, щоб установити зв'язок між псевдовипадковими числами і відомою щільністю розподілу імовірностей стохастичної системи. За визначенням функція розподілу (інтегральна функція розподілу) імовірностей виражається через функцію щільності розподілу імовірностей за допомогою рівності

,

причому, якщо змінюється від до функція розподілу приймає значення від 0 до 1, тобто . Звідси випливає, що випадкове число з заданою щільністю розподілу і псевдовипадкові числа з рівномірною щільністю розподілу, зв'язані співвідношенням

.

Нехай, наприклад, потрібно одержати випадкові числа з експоненційним законом розподілу

.

Дані випадкові числа зв'язані з псевдовипадковими числами співвідношенням

.

Обчисливши визначений інтеграл, одержимо

.

Розв'яжемо це рівняння відносно

.

Генеруючи псевдовипадкові числа і підставляючи їх в наведене вище рівняння, одержимо послідовність випадкових чисел з експоненційним законом розподілу ймовірностей.

У випадках, коли щільність розподілу ймовірностей задана таблично або графічно для моделювання таких випадкових величин можна скористатися методом Неймана. Даний метод застосовується при дотриманні наступних умов:

­– випадкова величина , що моделюється , визначена на проміжку ;

– функція щільності ймовірності обмежена на цьому проміжку, тобто .

Процедура моделювання у цьому випадку полягає в наступному. За допомогою датчика псевдовипадкових чисел генеруємо два числа та . Обчислимо і .

Якщо виконується нерівність ( – табличне значення) , то значення – це випадкова величина, що підкоряється заданому законові розподілу ймовірностей. Інакше, якщо , вибираємо нову пару псевдовипадкових чисел.

За допомогою такої процедури можна формувати послідовності випадкових чисел, із заданим законом розподілу, довільної довжини.

Особливим випадком є моделювання випадкових величин, що підкоряються нормальному законові розподілу. Співвідношення, що встановлює зв'язок такої випадкової величини з псевдовипадковими числами має вигляд:

 .

Тут – середнє значення, а – дисперсія. Це рівняння не можна розв’язати в явному вигляді відносно . Відомо, що сума взаємно незалежних випадкових величин з середніми значеннями і дисперсіями навіть при невеликих досить добре апроксимує нормальний розподіл або, іншими словами, при асимптотично наближається до нормального розподілу. Причому, для суми середнє значення і дисперсія визначаються зі співвідношень: і .

Нехай – псевдовипадкові числа з рівномірним законом розподілу. Оскільки, для них

і ,

то сума з псевдовипадкових чисел буде підкорятися нормальному розподілові з середнім та дисперсією .

Таким чином, для того щоб змоделювати випадкову величину , що підкоряється нормальному законові розподілу з заданими середнім та середньоквадратичним відхиленням , необхідно скористатися співвідношенням:

.