Характер изменения во времени длины трещины приведен на Рис. 14.1.15_4.

Интегрируя уравнение (14.1.15-7) методом разделения переменных можно определить ресурс работы детали, как число циклов при росте трещины от начального размера a0 до критического размера añ, получаемого из (14.1.15-5):

(14.1.15-9)

Учитывая, что параметр n значительно больше единицы, долговечность детали с трещиной резко уменьшается с увеличением напряжений.

Существование порогового размаха КИН ∆Kth (см. Рис. 14.1.15_3) означает возможность существования неразвивающихся трещин. Максимальный размер такой трещины ath при амплитуде напряжения σ или пороговое значение амплитуды напряжений при заданном размере трещины могут быть определены из условия:

(14.1.15-10)

Знание зависимости размера трещины от наработки детали (числа циклов N) дает методическую основу для выбора периодичности и средств диагностики трещин при эксплуатации деталей (см. Рис. 14.1.15_5). В силу влияния многочисленных случайных факторов, в реальных условиях возможно рассеяние кривых роста трещины a(N) и рассеяние времени до разрушения (кривые 1 на Рис. 14.1.15_5). Это рассеяние характеризуется некоторым законом распределения (кривая 2). Вероятность обнаружения трещины заданного размера, как величина случайная, также характеризуется некоторым законом распределения (кривая 3). Выбор периода T между диагностическими осмотрами детали в условиях эксплуатации должен обеспечивать заданную вероятность обнаружения трещины до разрушения.

Ограниченность методов механики разрушения в исследовании долговечности элементов конструкций с трещинами состоит в необходимости проведения специальных достаточно сложных экспериментов по определению характеристик трещиностойкости материалов, в чувствительности этих характеристик к условиям нагружения и технологическим факторам. Следует назвать, также, отсутствие достаточно достоверных и универсальных моделей для коротких (менее 0,5…1 мм) тре-

Рисунок 14.1.15_5 - К выбору периодичности осмотров при эксплуатационной диагностике трещин

щин, представляющих значительных практический интерес. Кроме того, механика разрушения не изу- чает процесс зарождения трещин. Тем не менее, некоторые результаты, получаемые в рамках описанного выше подхода, могут быть полезны при анализе поломок, выборе материалов, методов эксплуатационной диагностики.

14.1.16 - Свободные колебания системы с одной степенью свободы

Колебания элементов авиационных двигателей часто являются причиной их поломок. Одна из важнейших задач конструктора – исключить опасные колебания. В настоящем разделе изложены основные положения теории колебаний упругих систем, необходимые при последующем изучении колебаний элементов авиационных двигателей.

Напомним, что системами с одной степенью свободы в механике называют системы, движение которых описывается одним параметром – обобщенным перемещением. Классическим примером такой системы является сосредоточенная масса m - груз, закрепленный в точке А на невесомом стержне (см. Рис. 14.1.16_1). Движение системы полностью определяется вертикальным перемещением груза y.

Движение груза описывается одним уравнением относительно неизвестного перемещения y(t):

(14.1.16-1)

ãäå y - вторую производную по времени;

F - равнодействующая сил, действующих на груз.

Далее для простоты пренебрегаем силой тяжести. Рассмотрим свободные колебания, которые про-

Рисунок 14.1.16_1 - Свободные колебания груза, закрепленного на стержне

исходят при отсутствии внешних сил, включая силу сопротивления, вследствие, например, отклонения системы от положения равновесия в начальный момент. В этом случае F – сила упругости стержня, пропорциональная перемещению y(t) и направленная в противоположную сторону:

(14.1.16-2)

ãäå c – коэффициент жесткости; α – податливость стержня.

Податливость α представляет собой перемещение груза под действием единичной силы в точ- ке А (см. Рис. 14.1.16_1), c – силу, необходимую для создания единичного перемещения. Эти параметры системы определяются методами сопротивления материалов, например, с помощью интеграла Мора. Для изображенной на Рис. 14.1.16_1 системы, например,

(14.1.16-3)

ãäå E – модуль упругости материала;

I – момент инерции поперечного сечения стержня.

Подставляя (14.1.16-2) в (14.1.16-1) получаем дифференциальное уравнение свободных колебаний груза:

(14.1.16-4)

Рисунок 14.1.16_2 - Изменение во времени перемещения груза при свободных колебаниях

ãäå

(14.1.16-5)

Решение этого линейного обыкновенного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами представляет собой гармонические колебания (это легко проверяется подстановкой решения в уравнение) (см. Рис. 14.1.16_2):

ãäå y0 è ϕ - амплитуда и сдвиг фазы, зависящие от начальных условий - отклонения и скорости в момент времени t = 0.

Период колебаний

(14.1.16-7)

Число колебаний в единицу времени (техни- ческая частота, измеряемая в герцах):

(14.1.16-8)

Частота колебаний, как видно из (14.1.16-5), (14.1.16-8) тем больше, чем меньше масса груза и упругая податливость системы.

14.1.17 - Вынужденные колебания системы с одной степенью свободы

Рассмотрим теперь ситуацию, когда на груз действует внешняя возбуждающая сила (см. Рис. 14.1.17_1) F(t). По-прежнему пренебрегаем силами сопротивления и тяжести. Уравнение движения груза (14.1.16-4) становится неоднородным:

(14.1.17-1)

Рассмотрим важный частный случай, когда внешняя сила изменяется во времени по гармони- ческому закону:

Решение неоднородного линейного дифференциального уравнения (14.1.17-1) представляет собой сумму общего решения однородного уравнения (14.1.16-4) - свободных колебаний (14.1.16- 6), и частного решения неоднородного уравнения - вынужденных гармонических колебаний с частотой Ω :

Амплитуда вынужденных колебаний должна удовлетворять уравнению (14.1.17-2) и получается подстановкой в него решения (14.1.17-3):

(14.1.17-4)

Рассмотрим практически важный случай, когда свободные колебания отсутствуют. При частоте вынуждающей силы, близкой к нулю, амплитуда колебаний равна статическому перемещению груза F0α (см. Рис. 14.1.17_2). По мере приближения частоты вынуждающей частоты к собственной ча- стоте системы амплитуда возрастает, и при их совпадении возникает резонанс, когда амплитуда колебаний стремится к бесконечности. В реальной системе из-за потерь энергии амплитуда колебаний при резонансе конечна, однако резонансные колебания могут представлять серьезную опасность.

При частоте вынуждающей силы, существенно превышающей собственную частоту, перемещение практически отсутствует, т.е. система не реагирует на действие вынуждающей силы. Это явление используется для виброизоляции колеблющихся объектов. Их устанавливают на упругие

Рисунок 14.1.17_1 - Вынужденные колебания груза, закрепленного на стержне

Рисунок 14.1.17_2 - Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы

опоры низкой жесткости, обеспечивающие низкую собственную частоту колебаний системы.

Рассмотрим теперь случай, когда наряду с вынужденными колебаниями груз участвует в свободных колебаниях. Решение уравнения (14.1.17-2) имеет вид:

(14.1.17-5)

Константы C1 è C2 определяются из начальных условий. Пусть в начальный момент t = 0 перемещение и скорость груза равны нулю: y(0) = 0 è y’(0) = 0. Тогда

Рисунок 14.1.17_3 - Изменение амплитуды колебаний вблизи резонанса («биения»)

Подставляя в (14.1.17-5) получаем:

(14.1.17-6)

Практический интерес представляет случай, когда частота вынуждающей силы отличается от собственной частоты на малую величину Ω-p. В этом случае (14.1.17-6) можно преобразовать следующим образом:

(14.1.17-7)

Последнее выражение можно рассматривать как колебания с частотой вынуждающей силы Ω, амплитуда которых изменяется по гармоническому закону со значительно более низкой, чем Ω частотой Ω-p. Такие колебаний называются биениями. Их амплитуда, как видно из (114.1.17-7). тем больше, чем меньше разница ∆ = Ω-p (ñì. Ðèñ. 14.1.17_3).

При приближении к условиям резонанса Ω-p= 0 (14.1.17-7) можно преобразовать, принимая

Рисунок 14.1.17_4 - Возрастание амплитуды колебаний на резонансном режиме

Из последнего соотношения видно, что при возникновении резонансного режима амплитуда колебаний не возрастает мгновенно (см. Рис. 14.1.17_4). Даже при отсутствии потерь энергии бесконечная амплитуда за конечное время не может быть достигнута. Это обстоятельство часто используется, если по условиям работы машины резонансный режим неизбежен как «проходной». Если сделать переход через резонанс достаточно быстрым, резонансные колебания не успеют развиться до опасных амплитуд.

14.1.18 - Колебания системы с вязким сопротивлением. Демпфирование колебаний

В предыдущих разделах при исследовании свободных и вынужденных колебаний предполагалось, что в колебательной системе не действуют никакие силы сопротивления. Вследствие этого предположения в случае свободных колебаний получается, что амплитуда колебаний остается постоянной, хотя опыт и специальные эксперименты показывают, что со временем амплитуда уменьшается, колебания постепенно затухают. В случае вынужденных колебаний при резонансе получается, что амплитуда колебаний должна неограниченно увеличиваться, хотя на самом деле амплитуда всегда остается конечной. Чтобы более точно описать реальные колебательные процессы, необходимо учесть силы неупругого сопротивления. Эти

Рисунок 14.1.18_1 - Свободные затухающие колебания

силы могут возникать от нескольких различных причин: трение между контактирующими поверхностями, сопротивление воздуха или жидкости, внутреннее трение в материале и т.д.

Вновь рассмотрим вынужденные колебания системы с одной степенью свободы, показанной на Рис. 14.1.17_1. Будем считать, что груз испытывает сопротивление, пропорциональное скорости его движения с коэффициентом K. Сила сопротивления Fc направлена в сторону, противоположную перемещению . В уравнении колебаний (14.1.93) появится дополнительное слагаемое:

(14.1.18-1)

Рассмотрим сначала свободные колебания

(14.1.18-2)

Решение этого линейного дифференциального с постоянными коэффициентами при K/m < 2p имеет характер затухающих колебаний (см. Рис. 14.1.18_1):

y(t) = y0exp(-δ · t / T) cos (p1t + ϕ) (14.1.18-3)

ãäå - частота затухающих колебаний;

- логарифмический декре-

мент колебаний;

T = 2π/p - период колебаний.

В практически важном случае слабого затухания собственная частота p1 близка к собственной частоте p, полученной без учета сопротивления,

Амплитуда колебаний (см. Рис. 14.1.18_1) снижается от цикла к циклу. Огибающая синусоиды, отражающая снижение амплитуды, подчиняется экспоненциальному закону exp(-δτ/T). Амплитуды колебаний в двух соседних циклах и через k циклов Ai, Ai+1 è Ai+k уменьшаются в отношении, равном логарифмическому декременту:

(14.1.18-4)

Из (14.1.18-4) видно, что чем больше значе- ние δ, тем больше потери энергии, тем быстрее затухают свободные колебания. Потенциальная энергия W при колебаниях пропорциональна квадрату амплитуды. Ее изменение ∆W за один период колебаний (энергия, рассеянная за один период колебаний), отнесенное к W, можно представить отношением:

,

èëè

(14.1.18-5)

С энергетической точки зрения, таким образом, декремент колебаний представляет собой отношение рассеянной за цикл колебаний энергии к удвоенному значению потенциальной энергии, запасенной в положении максимального отклонения от равновесия.

Вынужденные колебания системы с сопротивлением, пропорциональным скорости, под действием гармонической вынуждающей силы F(t)=FocosΩt описывается уравнением (14.1.18-3). Его решение при отсутствии свободных колебаний имеет вид: