сти (14.1.12-8). Обычно принимают Kv > 3…5, что значительно больше коэффициентов запаса по статическим напряжениям.

Смысл статистического подхода проиллюстрирован на Рис. 14.1.12_5. Кривые плотности распределения двух случайных величин – амплитуды переменных напряжений и предела выносливости пересекаются. Это означает, что существует вероятность превышения напряжениями предела выносливости, несмотря на то, что средние их значения значительно ниже среднего предела выносливости.

Эта вероятность соответствует заштрихованной области на Рис. 14.1.12_5. Она увеличивается с увеличением дисперсий и уменьшается с увели- чением различия средних значений, т.е. коэффициента запаса. Нормируя допустимую вероятность разрушения детали, которая применительно к деталям авиационных двигателей составляет 10-5…10-6, определяют необходимый для этого коэффициент запаса. Для практической реализации статистического подхода к определению коэффициента запаса усталостной прочности необходимо иметь статистически достоверные данные о законах распределения переменных напряжений и пределов выносливости. Для их получения необходимо проведение большого объема экспериментов.

14.1.13 - Малоцикловая усталость. Термическая усталость

Как отмечалось выше, малоцикловая усталость (МЦУ) возникает в элементах конструкций при циклическом изменении нагрузок, обычно связанном с изменением режима работы конструкции. Отличительная особенность малоцикловой усталости – возникновение циклической пластической деформации в локальных хонах детали.

Рассмотрим в качестве примера диск турбины ГТД. Типичный эксплуатационный цикл двигателя показан на Рис. 14.1.13_1. Он представляет собой сложную последовательность изменений режимов работы двигателя, различающихся частотой вращения ротора и температурой: опробование (1), руление (2), взлет (3), полет на номинальном и крейсерском режимах, снижение (4), заход на посадку (5). На некоторых из этих режимов напряжения в локальных зонах деталей (например, дисков турбин) превосходят предел текучести материала; возникают пластические деформации. В первую очередь пластические деформации возникают в зонах концентрации напряжений. При последующей остановке двигателя или снижении

Рисунок 14.1.13_1 - Типичный график изменения режима работы авиационного двигателя

Рисунок 14.1.13_2 - Схема циклической упруго-плас- тической деформации

частоты вращения происходит разгрузка, и под действием сил упругости возникшая необратимая деформация в пластической зоне перераспределяется, меняя свой знак на противоположный. При дальнейших изменениях режима работы двигателя циклы изменения деформаций и напряжений повторяются, и на диаграммеσ -ε(см. Рис. 14.1.13_2) образуются петли.

Основной характеристикой цикла нагружения является размах деформации ∆ε, включающий в себя упругую и пластическую составляющие. Вели- чина ∆ε зависит от возникающих на каждом из режимов работы двигателя напряжений: чем больше

изменение напряжения, тем больше размах деформаций. В каждом цикле нагружения материал детали получает повреждение, степень которого зависит главным образом от размаха деформации, а при нагреве - ещ¸ и от температуры. Физический механизм накопления повреждений и разрушения при МЦУ, как и при многоцикловой усталости, связан с концентрацией микродефектов при деформации, их объединением, образованием и развитием макротрещины, однако, при развитых пласти- ческих деформациях в условиях малоцикловой усталости эти процессы идут более интенсивно.

Способность материала сопротивляться условиях малоцикловой усталости оценивают с помощью зависимости числа циклов нагружения до разрушения NP от размаха деформации ∆ε (см. Рис. 14.1.13_3), которую обычно получают путем испытания стандартных образцов при постоянном размахе деформации. С увеличением ∆ε ресурс NP резко уменьшается. При повышенных температурах, когда подвижность микродефектов увеличи- вается, исчерпание ресурса идет быстрее.

Наиболее распространенной эмпирической зависимостью, описывающей кривые малоцикловой усталости, при одноосном напряженно-дефор- мированном состоянии является уравнение Коффина:

, (14.1.13-1)

ãäå m è C – характеристики материала, определяемые экспериментально.

Использование уравнения (14.1.13-1) требует проведения большого объема экспериментов при различных параметрах цикла и температурах. Для низкотемпературной МЦУ при отсутствии ползу- чести для оценки m è C можно применять соотношения:

m = 2, ,

ãäå ε Â - истинная деформация при разрушении, получаемая из статических испытаний.

Если размах деформаций мал и ползучесть отсутствует, хорошее приближение к экспериментальным результатам дает уравнение Мэнсона, связывающее долговечность с размахом полной деформации в цикле:

(14.1.13-2)

Рисунок 14.1.13_3 - Зависимость числа циклов до разрушения от размаха деформации при разных температурах T1<T2

Отсюда видно, что большей способностью сопротивляться МЦУ обладают пластичные материалы, имеющие большую деформацию при раз-

ðûâå ε Â.

При неодноосном напряженном состоянии в соотношениях Коффина и Мэнсона вместо размаха деформации используют ее интенсивность.

Часто, в частности в деталях авиационных двигателей, процесс малоциклового разрушения связан с циклическим изменением температуры. При стеснении теплового расширения, например из-за значительных градиентов температур, в детали могут появиться циклические пластические деформации, порождающие процесс накопления повреждений. Такие процессы называют термической усталостью. Все изложенное выше в отношении малоцикловой деформации, по крайней мере качественно, справедливо относительно термической усталости.

В то же время термическая усталость имеет особенности, связанные с тепловым воздействием. Имеются экспериментальные данные, которые показывают, что при одинаковом размахе деформации долговечность в случае циклического изменения температуры заметно меньше, чем при механическом нагружении с постоянной температурой. В числе причин такого различия называют различие механизмов разрушения на микроскопи- ческом уровне, локализацию микроскопических разрушений при неравномерном нагреве в случае термоусталости. Вследствие этого при применении результатов испытаний на МЦУ для прогноза термоусталости необходима осторожность.

Более подробно вопросы малоцикловой усталости и термоусталости изложены в специальной литературе (см., например [14.8.27]).

14.1.14 - Накопление повреждений при нестационарном нагружении

Рассмотренные выше модели ползучести и усталости описывают процессы, происходящие при стационарном нагружении, т.е. при неизменной во времени статической нагрузке (при ползучести) или постоянной амплитуде цикла (при циклическом нагружении). В этих случаях они пригодны для непосредственной оценки прочности и долговеч- ности деталей и конструкций.

Реальные элементы конструкций обычно работают при переменных во времени режимах нагружения. Это может быть связано с изменением режимов работы и условий эксплуатации конструкций. Так, например, условия нагружения деталей авиационных двигателей могут изменяться с изменением тяги двигателя, высоты и скорости полета самолета. Приблизительно 2…4% своего ресурса авиационный двигатель работает на наиболее тяжелом взлетном режиме, 20…30% - на номинальном, остальное время – на менее нагруженных режимах.

Пусть эксплуатационное нагружение состоит из k режимов, на каждом из которых параметры нагружения можно считать постоянными (см. Рис. 14.1.14_1). Обозначим эти параметры на некотором i-м режиме: статическое напряжение σi, амплитуду циклического напряжения - σai, температуру – Ti, длительность режима – ti, число циклов нагружения на этом режиме - Ni.

Будем рассматривать накопление повреждений в материале в процессе нагружения как процесс, протекающий во времени. Накопление повреждений по механизмам ползучести многоцикловой и малоцикловой усталости будем далее рассматривать независимо друг от друга, не учитывая их взаимодействие.

Введем понятие повреждения материала по механизму ползучести в течение некоторого времени, как пропорциональную долю времени до разрушения при этом нагружении. Повреждение Ïñ íà i-м режиме определятся как отношение:

, (14.1.14-1)

ãäå tpi – время до разрушения при нагружении

с постоянным напряжением σi, при температуре Ti, определяемое соотношением (14.1.11-5).

Рисунок 14.1.14_1 - Нестационарное эксплуатационное нагружение

В соответствии с представлением (14.1.14-1), материал до нагружения не имеет повреждения, в момент разрушения Ïñ = 1. В процессе работы повреждение постепенно возрастает от нуля до единицы. Для оценки повреждения при работе на нескольких режимах используют гипотезу линейного суммирования: суммарное повреждение за k режимов равно сумме повреждений на каждом режиме:

(14.1.14-2)

Разрушение по механизму ползучести в соответствии с гипотезой линейного суммирования наступает при условии:

(14.1.14-3)

Понятие повреждения материала вследствие циклического нагружения (многоили малоциклового) в течение некоторого числа циклов введем как пропорциональную долю числа циклов до разрушения при этом нагружении. Повреждение Ïfi íà i-м режиме определятся отношением:

ãäå Npi – число циклов до разрушения при нагружении с постоянным напряжением σai при температуре Ti, определяемое для малоцикловой усталости соотношением (14.1.13-2), а для многоцикловой – (14.1.12-1).

. (14.1.14-5)

Разрушение по механизмам малоцикловой или многоцикловой усталости наступает при условии:

(14.1.14-6)

Соотношения (14.1.14-3) и (14.1.14-6) могут непосредственно использоваться для оценки ресурса работы элементов конструкций.

Для разрушения по механизму ползучести введем понятие эквивалентного по повреждению режима, характеризующегося длительностью týêâ и постоянным напряжением σýêâ. Величина создаваемого на эквивалентном режиме повреждения Ïñýêâ по определению равна повреждению на k режимах нестационарного нагружения:

,

Подставляя в левую часть время до разрушения из (14.1.11-5) получаем:

откуда

(14.1.14-7)

Подставляя сюда tpi из (14.1.11-6) и принимая, что константы материала на этих режимах одинаковы, получаем соотношения для расчета эквивалентного напряжения:

(14.1.14-8)

(14.1.14-9)

Аналогичные соотношения могут быть полу- чены для механизмов малоцикловой усталости:

(14.1.14-10)

ãäå ∆εI è ∆εýêâ – размахи пластических деформаций на i-м режиме эксплуатационного цикла и на эквивалентном режиме;

– соответствующие числа циклов нагружения.

Гипотеза линейного суммирования дает лишь приближенную оценку долговечности, она полу- чила распространение благодаря своей простоте. Более сложные модели накопления повреждений описаны в специальной литературе (см., например [14.8.27]).

14.1.15 - Закономерности развития трещин в элементах конструкций

Классические методы расчета на прочность конструкций основываются на предположении, что

âматериале в течение всего времени работы отсутствуют макроскопические дефекты. Большинство практических задач обеспечения прочности успешно решаются в рамках таких представлений. К проблемам, для решения которых такой подход недостаточен, относится обеспечение безопасности конструкции при наличии дефектов, эксплуатационной живучести.

Дефекты в материале могут возникнуть как

âпроцессе эксплуатации, так и при производстве детали. В первом случае дефекты возникают вследствие развития процессов накопления повреждений или возникновения случайных нештатных ситуаций (например, попадания посторонних предметов

âгазовоздушный тракт авиационного двигателя). Во втором случае производственные дефекты могут быть пропущены при технологическом конт-

роле изделия; в деталях из гранулируемых сплавов (например в дисках турбин) возможность существования определенной концентрации дефектов технологически неизбежна.

Для решения этого класса задач необходимо рассматривать разрушение как процесс, развивающийся во времени. Заключительной стадией разрушения является рост макроскопической трещины вне зависимости от того, по какой причине она появилась: при изготовлении детали или при ее эксплуатации. Эта стадия заканчивается собственно разрушением - разделением тела на части. Продолжительность ее зависит от характера изменения во времени действующих нагрузок, структуры материала, температуры, размеров исходных дефектов. В частности, при циклическом нагружении детали стадия развития трещины часто составляет значительную долю общего времени жизни детали и определяет ее живучесть. Процессы развития трещин изучает механика разрушения.

Исследованию процессов роста трещин посвящено множество работ, обзор которых имеется, например, в справочнике [Механика разрушения, т1-4].

В рамках механики разрушения на настоящем этапе ее развития удается с большей или меньшей точностью решать широкий круг практических вопросов: как долго развивается трещина от некоторого начального размера до полного разрушения детали; каковы безопасные с точки зрения живу- чести начальные размеры трещины при известных эксплуатационных нагрузках; как часто следует проверять наличие трещин и какова должна быть разрешающая способность метода диагностики: какой материал обеспечивает наилучшее сопротивление развитию трещины в конкретных условиях; как спроектировать деталь, чтобы обеспечить ее живучесть при возникновении трещины.

Механика разрушения рассматривает не возникновение, а развитие трещин не вдаваясь в в конкретный физический механизм разрушения. Одно из ее основных исходных положений состоит в том, что в материале имеется одна или несколько макроскопических трещин; при этом понятие разрушения трактуется как процесс их развития. Макроскопическая трещина, являющаяся предметом изучения механики разрушения, имеет размеры, многократно превышающие характерный размер структурных элементов материала. Это позволяет использовать при решении задач разрушения аппарат механики сплошных сред.

Анализ прочности и долговечности детали с трещиной при циклическом нагружении в рамках линейной механики разрушения состоит из

следующих этапов: определение формы, размера

èместоположения наиболее опасных исходных трещиноподобных дефектов; определение напряжен- но-деформированного состояния детали с детальным анализом поля напряжений вблизи трещин

èопределением коэффициентов интенсивности напряжений; экспериментальное определение закономерностей роста трещины в материале в конкретных условиях работы и выбор описывающей их модели; определение критического размера трещины, при котором механизм усталостного роста трещины сменяется механизмом статического долома; определение долговечности на основе анализа выбранной модели роста трещины.

Âсоответствии с представлениями линейной механики разрушения механическое состояние локальной зоны предразрушения вблизи фронта трещины описывается коэффициентом интенсивности напряжений (КИН), который является характеристикой поля напряжений в этой зоне. При этом материал считается линейно упругой сплошной средой, а трещина моделируется математическим разрезом с нулевым радиусом закругления в вершине. Принято выделять три типа трещин (см. Рис. 14.1.15_1): I - трещины нормального отрыва, II – трещины сдвига и III – трещины среза. В реальных конструкциях наиболее распространены трещины нормального отрыва.

Для каждого из этих типов трещин в теории упругости найдены поля напряжений, имеющие особенность (особенностью называют асимптоти- ческое стремление к функции к бесконечности вблизи некоторой точки) у вершины.

Рисунок 14.1.15_1 - Типы трещин

Рассмотрим сквозную трещину нормального отрыва длинной 2а в бесконечной пластине, нагруженной растягивающим напряжением σ (см. Рис. 14.1.15_2). Поле напряжений в точке, расположенной на расстоянии r от вершины трещины определено в теории упругости аналитически:

(14.1.15-1)

Все компоненты напряжения пропорциональны внешнему напряжению σ. Их величины пропорциональны квадратному корню из размера трещины и стремятся к бесконечности в вершине трещины (при r→0). Зависимость σy îò r ïðè θ = 0 показана на Рис. 14.1.15_2.

Таким образом, поскольку радиус в вершине трещины нулевой, для оценки напряженного состояния невозможно воспользоваться коэффициентом концентрации напряжений: он всегда стремится к бесконечности. Для того, чтобы обойти эту неопределенность, в механике разрушения для оценки напряженного состояния в вершине трещины используют коэффициент интенсивности (а не концентрации) напряжений. Он вводится следующим образом. В обобщенном виде уравнения (14.1.15-1) для бесконечной пластинки с трещиной можно записать так:

(14.1.15-2)

ãäå

Коэффициент ÊI называется коэффициентом интенсивности напряжений (КИН), индекс I определяет схему нормального отрыва (см. Рис. 14.1.15_1).

Коэффициент интенсивности напряжений зависит от внешней нагрузки и размера трещины. Для тел и трещин более сложной формы, чем рассмотренная выше бесконечная пластинка, в выражение для КИН вводится поправочный коэффициент формы Y (так называемая Ê-тарировка), отражающий влияние формы тела и трещины:

Рисунок 14.1.15_2 - Трещина нормального отрыва в пластинке и характер распределения напряжений вблизи ее вершины

(14.1.15-3)

Расчет КИН представляет специфическую пространственную задачу теории упругости. Если коэффициент интенсивности напряжений найден, поле напряжений вблизи вершины трещины определено полностью.

При статическом нагружении тела с трещиной критерием разрушения считают не достижение в вершине трещины предела прочности, а достижение критического значения коэффициентом интенсивности напряжений. Дело в том, что для любой отличной от нуля внешней нагрузки σ, как видно из (14.1.15-2), напряжения в вершине трещины бесконечны; критерий разрушения по пределу прочности в рамках принятых допущений не информативен, поскольку выполняется при любой нагрузке.

Критическое значение КИН определяется из специальных экспериментов, которые проводятся на образцах с трещиной. Для трещин нормального отрыва критическое значение КИН обозначается K1c, а условие разрушения записывается как:

(14.1.15-4)

Критический КИН K1c является, таким образом, характеристикой материала, иногда его называют вязкостью разрушения. Из этого критерия при

известном K1c легко определяется критическое зна- чение напряжения σñ для известного размера трещины a или критический размер трещины àñ для заданной нагрузки σ :

При циклическом нагружении в механике разрушения используются другие критерии. Рост трещины при нагружении переменным во времени напряжением с амплитудой σ представляет собой процесс, развивающийся во времени. Поведение трещины в этом случае характеризуют скоростью ее роста da/dN ( ãäå N – число циклов).

Многочисленные экспериментальные данные показывают, что скорость роста трещины (СРТ) при многоцикловой усталости зависит от размаха КИН ∆K. Эта зависимость, представленная в логарифми- ческих координатах - кинетическая диаграмма усталостного разрушения - имеет обычно вид, показанный на Рис. 14.1.15_3. На ней принято выделять три характерных участка. Средний участок - прямолинейный - наиболее изученный, он соответствует скоростям роста трещин порядка 10-5…10-9 м/цикл. Левый криволинейный участок низких скоростей, асимптотически устремляющихся к нулю, называют припороговым, а асимптотическое значение размаха КИН ∆Kth - пороговым КИН. Правый криволинейный участок соответствует быстрому рос-

ту трещины при критическом размахе КИН ∆Kfc. В литературных источниках приведено несколько десятков зависимостей, аналитически описывающих кинетическую диаграмму усталостного разрушения. Они различаются уровнем сложности, количеством параметров, возможностью описания поведения тех или иных материалов и учета влияния внешних факторов. Наиболее часто используется уравнение Париса, описывающее средний участок диаграммы СРТКИН линейной (в логарифмических координатах)

функцией с двумя параметрами:

(14.1.15-6)

ãäå C è n – характеристики циклической трещиностойкости материала, определяемые из специальных экспериментов.

Они зависят от асимметрии цикла нагружения, рабочей температуры, состояния материала. Подставляя в (14.1.15-6) выражение для расчета КИН, получаем уравнение роста трещины:

(14.1.15-7)

Начальное условие для него – размер исходной трещины: