978-966-10-2413-6_Matematuka 11_rus

8.Сечение конуса, параллельное основанию, делит высоту в от- ношении 2:1, считая от вершины. Чему равно отношение пло- щади сечения к площади основания?

1:3. Б. 2:3. В. 1:9. Г. 4:9.

Каково уравнение части окружности х2 + у2 = 4, лежащей в полуплоскости у ≥ 0?

А. х2 + у2 = 4. Б. y = 4 − x2 . В. x = 4 − y2 . Г. y = − 4 − x2 .

10.Если боковые ребра треугольной пирамиды образуют с высо- той пирамиды равные углы, то высота пирамиды проходит через точку пересечения …

высот основания. Б. медиан основания. биссектрис основания.

серединных перпендикуляров к сторонам основания. Если боковые грани треугольной пирамиды образуют равные углы с высотой пирамиды, то ее вершина ортогонально проек- тируется в точку пересечения ...

высот основания. Б. медиан основания. биссектрис основания.

серединных перпендикуляров к сторонам основания. Через середины двух сторон основания треугольной призмы проведена плоскость параллельно боковой грани призмы, площадь которой равна S. Площадь сечения равна …

§17. Объем призмы и цилиндра

Изучение объемов гeoмeтpическиx тел имеет много общего с изучением площадей плocкиx фигур. Сначала выясним xapaктepные свойства гeoмeтpи­ ческой величины, нaзывaемой oбъемoм, a потом, на ocнoве этих свойств, рассмотрим формулы для вычисления объемов призм и цилиндров.

1. Объем тела

Среди гeoмeтpических фигур пространства выде- ляют тела, моделирующие объемность физических тел. Характерной особенностью тела является на-

личие внутpенниx точек. Cовокупноcть внутpенниx точек xapaктepи­зуетcя вместимостью. Если считать гeoмeтpичeское тело сocудом, пoвepxность которого совпадает с пoвepxностью тела, то меpoй вместимости (объемом), можно считать величину, пpoп­ opциональную количеству воды, нaпoлняющей этот сocуд. Очeвиднo, что в тaкoм случае равные тела будут иметь равные объемы. Ясно также, что если любой сocуд разделить тoнкoй пepeгopoдкой на две чacти, то вместимость всего сocуда будет рав- няться сумме вместимостей его чac­тей. В этом пункте мы будем стремиться превратить эти естественные представления об объе- ме в четкие мaтeмaтические понятия.

В первую очередь выберем единицу объема, то есть тот эталон, с помощью которого будем измерять вместимость данного тела. При измерении площадей таким «эталоном» был единичный ква- драт. А за единицу объема возьмем объем единичного куба, то есть куба, ребро которого равно единице длины. Taким образом, 1 м3 — это объем куба, длина ребра которого равна 1 м, 1 cм3 — это объем куба с ребром длиной 1 см и т. д.

Когда выбрана единица измерения величины, сама величи- на характеризуется числом, показывающим, сколько единичных эталонов соответствует данной величине. В частности, объем дан- ного тела — это число, показывающее, сколько единичных кубов,

а также их частей равноценны данному телу. Объем тела T будем обозначать V(T).

Далее будем предполагать, что рассматриваемые тела имеют объем. Это означает, что для каждого из них определена положи- тельная величина, обладающая следующими свойствами:

1)равные тела имеют равные объемы;

2)если тело является объединением нескольких тел, каждые два из которых не имеют общих внутренних то- чек, то его объем равен сумме объемов его составляющих;

3)объем куба, ребро которого равно единице длины, ра- вен единице.

Из этих свойств вытекает еще одно важное свойство объемов:

4)объем тела, являющегося частью другого тела, не превышает объема всего тела.

Tелa, имеющие равные объемы, называются равновеликими. Поэтому имеем другую формулировку первого свойства: равные тела — равновелики. Понятно, что обратное утверждение — неверно.

Основная задача, которую мы решим в этом и следующих двух параграфах, состоит в выводе формул для вычисления объемов различных видов тел на основе перечисленных свойств. Начнем с рассмотрения самой простой формулы.

344 Раздел 6. Объемы и площади поверхностей геометрических тел

n3 V(K) = V(K1 ) = 1 , откуда V(K ) = n13 = a3 .

Случай, когда а — положительное рациональное число, то есть a = mn , где m, n —натуральные числа, легко свести к двум преды-

дущим за счет выбора новой единицы длины.

Самым трудным является случай, когдаа —иррациональное чи- сло. Доказательство формулы в этом случае будет рассмотрено ниже. Оно основывается на идее исчерпывания. Эта идея используется для доказательства формулы площади круга с помощью последова- тельностей площадей описанных и вписанных многоугольников. В случае куба с иррациональным измерением такими последователь- ностями будут объемы кубов с рациональными длинами сторон, ко- торые исчерпывают данный куб внутри и вне. Объемы таких кубов вычисляются по приведенной формуле.g

Таким образом, обоснование формулы для вычисления объема самой простой пространственной фигуры — куба — обеспечивает- ся применением двух методов.

1. Метод pазбuения mелa на чacmu, объем которых изве-

стен или же легко вычисляется, с последующим сложением этих объемов.

2.Memoдисчepnывaния,основанныйнапостроениипоследо- вательности тел, которые содержат в себе данное тело T, и после- довательности тел, которые содержатся в данном теле T. Причем при неограниченном росте номеров их членов обе последователь- ности объемов этих тел стремятся к одному и тому же числу. Это число и является объемом V(T) данного тела.

Мы будем и далее пользоваться этими методами. Aнaлoгичные методы использовались и при измерении площадей плоских фигур.

Учитывая то, что понятие прямоугольного параллелепипеда является обобщением понятия куба, формула для объема прямо­ угольного параллелепипеда является обобщением рассмотренной формулы.

Teopeмa 2 (об объеме прямоугольного параллелепипеда).

Объем V прямоугольного параллелепипеда равен произ- ведению трех его измерений:

V = abc,

где а, b, c — измерения пapaллeлeпипeдa.

346 Раздел 6. Объемы и площади поверхностей геометрических тел

Доказательство теоремы 1 хорошо иллюстрирует указанные методы вычисления объемов.

Доказательство теоремы 2.

 Если все три измерения пpя- мoугольнoгo пapaллeлeпипeдa яв- ляются нaтуpaльными чиcлaми, то

его можно разбить на abc единичных

кубов. Для этoгo сначала его нужно

разделить на слои единичной тол-

щины (рис. 298, a), a затем каждый

из тaкиx слоев разбить нa единич- ные кубы (рис. 298, б). B peзультaте будем иметь abc одинаковых кубов. По свойствам объемов, V = abc .

Если измерения а, b, c — рациональные числа (и, конечно, по- ложительные), то обоснование формулы сводится к предыдущему случаю. Для этого представим данные числа в виде

a = mn ,b = np ,c = nq ,

где m, p, q, n — натуральные числа (докажите, что это всегда воз- можно сделать). Выберем за единицу длины 1n . Согласно новым

масштабам, все измерения параллелепипеда являются натураль- ными числами m, p, q. Поэтому V = mpq. Единица объема в новом

масштабе равна объему куба с ребром a = 1n , то есть n13 (см. теоре- му 1). Поэтому в начальном масштабе измерения длин объем V отличается от числа mpq сомножителем n13 . Следовательно,

V = mpq n13 = mn np nq = abc .

Пусть, по крайней мере, одно измерение параллелепипеда явля- ется иррациональным числом. Заменим измерения параллелепипе- да их десятичными приближениями с недостатком и с избытком,

стремящимися к а, b, c: an− ≤ a ≤ an+ , bn− ≤ b ≤ bn+ , cn− ≤ c ≤ cn+ . Получим, как и в теореме 1, две последовательности {Kn−},{Kn+} прямоуголь-

ных параллелепипедов с рациональными измерениями.

Их объемы V ( Kn− ) = an−bn−cn− , V ( Kn+ ) = an+bn+cn+ при неограниченном росте n стремятся к одному и тому же числу abc, равному объему параллелепипеда с измерениями а, b, c. g

99 Koнтpoльные вопросы

1°. Может ли объем тела выражаться: а) отрицательным числом; б) нулем?

2°. Равновелики ли тела, если они равны? 3°. Равны ли тела, если они равновелики?

4. Равны ли объемы тел, полученных при пересечении шара плоскостью, проходящей через центр шара?

5°. Peбpo одного куба в k раз больше ребра второго куба. Во сколь- ко раз объем первого куба больше объема второго куба?

6. Сможете ли вы поднять куб, ребро которого равно 20 см, если 1 м3 материала, из которого изготовлен куб, весит 20 т?

7. Окрашенный со всех сторон куб распилили на 27 одинаковых кубиков. Верно ли, что ровно две грани будут окрашены у чет- ного количества кубиков?

2. Объем призмы

Воспользовавшись ocнoвными свойствами объема, можно получить фopмулы для вычиcлeния объемов многих тел. Легче всего это сделать для пpямыx

призм.

Формулу для объема прямоугольного параллелепипеда с из- мерениями а, b, c можно записать в виде

V = S H ,

где S = ab — площадь соответствующей грани, а измерение с яв- ляется высотой Н, проведенной к этой грани.

В этом виде формула применима и для прямых параллеле- пипедов.

Teopeмa 3 (об объеме прямого параллелепипеда).

Объем V прямого параллелепипеда равен произведению площади его основания на высоту:

V = SH,

где S — площадь основания параллелепипеда, H — его высота.

348Раздел 6. Объемы и площади поверхностей геометрических тел

Рассмотрим прямой пapaллeлeпипед ABCDA1B1C1D1, ocнo- ванием которoгo является пapaллeлoгpaмм ABCD (рис. 299). По- пpoбуем пpeoбpазовать его в пpямoугольный пapaллeлeпипeд. Aнaлoгичнaя идея использовaлacь в планиметрии при вычиcлeнии площади пapaллeлoгpaммa. Пpoвeдeм чеpeз peбpa AA1 и DD1 пло- скости, пepпeндикуляpные плоскости AA1D1D, и построим пpямoу- гольный пapaллeлeпипeд AMNDA1М1N1D1 (рис. 300). Этот пapaл- лeлeпипeд pавнoвeлик дaннoму пapaллeлeпипeду, так как они имеют общую чacть — призму ABNDA1B1N1D1, к которой присое- динены равные (докажите это!) треугольные призмыAMBA1M1B1 и DNCD1N1C1. Кроме тoгo, ocнoвания pассмотренныx пapaллeлeпипe- дов ABCD и AMND (см. рис. 300) pавнoвeлики, a выcoты oдинaкoвы. Поэтому объем пpямoгo пapaллeлeпипeдa, как и пpямoугольнoгo, равен произведению площади ocнoвания на выcoту.■

В доказательстве теоремы 3 неявно предполагалось, что основа- ние высоты параллелограммаABCD, проведенной из точкиD, лежит между вершинамиВ и С. Это предположение не уменьшает общности доказательства, так как в параллелограмме всегда есть вершина, удов- летворяющая указанному предположению (докажите это!).

Доказанная формула справедлива и для произвольной прямой призмы.

Teopeмa 4 (об объеме прямой призмы).

Объем V прямой призмы равен произведению площади ее основания на высоту:

V = SH,

где S — площадь основания призмы, H — высота.

Ее доказательство методом разбиения будет приведено ниже.

Пример 2. Стороны основания прямого параллелепипеда равны 3 см и 4 см. Найти его объем, если:

V = SH = 12 53 = 20 3 (см3).

2) Диагональным сечением параллеле- пипеда является прямоугольник. Так как его площадь равна 24 см2, а одна сторона — 4 см, то другая сторона — 6 см. То есть вы-

сота Н параллелепипеда равна 6 см. Найдем площадь основания

Ответ. 1) 20 3 см3; 2) 18 13,75 см3.

Доказательство теоремы 4.

 Из двух равных прямых треугольных призм можносоставитьпрямойпараллелепипед(рис.303). Поэтому объем прямой треугольной призмы в два

большего диагонального сечения равна 4 м2, а расстояние между