978-966-10-2413-6_Matematuka 11_rus

4*. Проведите внутри квадрата отрезки так, чтобы получить раз- вертку тетраэдра.

Задачи

258. Изобразите пятиугольную призму. Возьмите на ее повер- хности три точки. Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через эти точки, если:

1) все точки лежат на боковых ребрах; 2) одна точка лежит на ребре основания, а две – на боковых ребрах, не прилегающих к этому ребру;

3) две точки лежат на боковых ребрах, а одна на боковой грани, не содержащей эти ребра; 4) две точки лежат на боковых гранях, а одна на боковом

ребре, не принадлежащем этим граням.

259. Какой многогранник при освещении параллельными луча- ми света дает тень в виде:

1) квадрата;

2) равнобедренного треугольника;

3) правильного треугольника;

4) равнобокой трапеции;

5) прямоугольника;

6) ромба?

260*. Докажите, что:

1) центры граней куба являются вершинами октаэдра; 2) центры граней правильного многогранника являются вершинами другого правильного многогранника.

261. Докажите, что число плоских углов многогранника вдвое больше числа его ребер.

262*. Вращаясь вокруг одного из ребер многогранника, плоскость образует такие сечения:

1) равнобедренный треугольник;

2) параллелограмм;

3) равнобокую трапецию. Постройте этот многогранник.

263*. На сколько частей делят пространство плоскости всех граней: 1) треугольной призмы; 2) куба; 3) треугольной пирамиды?

264*. Дан правильный тетраэдр. Докажите, что:

1) сумма расстояний от произвольной внутренней точки те- траэдра до его граней равна высоте тетраэдра; 2) прямые, соединяющие середину любой высоты тетраэдра с его вершинами, перпендикулярны между собой.

Упражнения на повторение

265.В окружности, длина которой равна 10p см, проведена хорда.

1)Найдите расстояние от центра окружности до хорды, если длина хорды равна 8 см.

2)Под каким углом видно из центра окружности хорду дли- ной 8 см?

3)Найдите длину хорды окружности, находящейся на рас- стоянии 2 см от центра окружности.

266.Опишите симметрии окружности в пространстве.

267.Найдите наибольший радиус окружности, которую можно поместить в прямоугольник с измерениями а и b.

Итог

Основные определения

Многогранником называется множество точек про­ странства, ограниченное конечным числом плоских многоугольников.

Выпуклый многогранник называется правильным, если его гpaнями являются равные между собой пра­ вильные многоугольники и в каждой из его вepшин сходится одинаковое чиcлo ребер.

Основные утверждения

1.Сечением выпуклого многогранника является выпуклый многоугольник.

2.Bepшинaми сечения являются точки пересечения секущей плоскости с ребрами многогранника.

3.Cтopoнaми сечения являются пересечения секущей плоско- сти с гpaнями многогранника.

4.Число сторон сечения не может превышать числа граней многогранника.

§15. Шар и сфера

Данный параграф посвящен рассмотрению класса фигур, знакомого каждому человеку, даже ребенку, – шарам и их поверхностям – сферам.

Форму шара имеют как природные объекты, так и искусственные, созданные человеком (рис. 256, а–г).

Шар и сфера относятся к числу наиболее симме- тричных фигур в геометрии. Они являются простран- ственными аналогами круга и окружности. Эта аналогия проявля-

ется как в определении данных фигур, так и в их свойствах.

с центром О является фигурой, со- ставленной из всех moчек npocmранства, удаленных от центра шара О на расстояние, не превышающее R.

Paдиуcoм шара назы-

вают как данное расстояние R, так и отрезки, имеющие эту длину и отложенные от центра шара О (рис. 257).

Поверхностью шара яв- ляется сфера. Она состоит из точек, удaленныx от центра на расстояние, равное ради-

Чтобы построить изображение сферы, необходимо:

1)построить окружность (рис. 260, а);

2)изобразить центр окружности (рис. 260, б);

3)построить эллипс, центр которого совпадает с центром окруж- ности, учитывая видимые и невидимые линии (рис. 260, в).

Иногда изображение сферы дополняют изображением точек ее пересечения с прямой, проходящей через центр сферы перпенди- кулярно изображению «экватора» — полюсов (рис. 260, г).

Aнaлизируя возможные случаи расположения шара и плоско- сти, можно сделать вывод, что шар и плоскость, в большинстве случаев, или пересекаются по кругу, или не имеют общих точек. Meнее очевидным является случай, когда шар и плоскость могут иметь только одну общую точку.

Плоскость называется касательной к шару, если она имеет с ним одну общую moчку.

Касательная плоскость к шару называется касательной и к соответствующей сфере (его поверхности). Понятно, что каса- тельная плоскость к сфере также имеет с ней одну общую точку, которую называют точкой касания.

Касательная плоскость к сфере обладает важным свойством, аналогичным свойству касательной к окружности в планиметрии.

Teopeмa 2 (о плоскости, касательной к сфере).

Paдиуc сферы, проведенный в точ­ ку касания сферы и плоскости, пер­ пендикулярен этой плоскости.

 Пусть M — произвольная точка каса- тельной плоскости к сфере с центромОи ра- диуса R, отличная от точки P — точки каса-

ния плоскости и сферы (рис. 261). Так как точкаM не принадлежит шару, ограниченному данной сферой (почему?), а P принадлежит сфере, то OP = R < OM. Поэтому OP — кратчайшее расстояние от центра сферы до точек касательной плоскости. Следовательно, отре- зок OP является перпендикуляром к этой плоскости.g

Cпpaведливо и обратное утверждение.

Teopeмa 3 (обратная теореме о плоскости, касательной к сфере).

Плоскость, проходящая через конец радиуса сферы, принадлежащий ей, перпендикулярно этому радиусу, является касательной плоскостью к сфере.

Для доказательства этой теоремы достаточно воспользоваться доказательством теоремы 2, проведя его в обратном порядке (по- пробуйте сделать это самостоятельно).

Teopeмa 3 позволяет строить касательные плоскости к сфере. Из теоремы вытекает, что через каждую точку сферы можно провести одну и только одну касательную к ней плоскость (докажите это).

Прямая, лежащая в касательной к шару плоскости и проходящая через точку касания, называется касательной. Понятно, что пря- мая, касательная к шару, имеет лишь одну с ним общую точку.

Шар является простейшим телом, так как он определяется с точностью до равенства одним параметром — радиусом. Поэтому он очень часто встречается в комбинации с другими телами. Шар может содержаться в другом теле и может содержать другое тело в себе. При этом интересными являются экстремальные случаи: най- ти наибольший шар, содержащийся в данном теле и наименьший шар, содержащий данное тело. Эти вопросы приводят к понятиям вписанного и описанного шаров. Haиболее

просто вписанный и описанный шары стро- ятся для прямого кругового цилиндра.

Шар называется вnucaнным в npя-

мой круговой цuлиндp, если он касает-

ся обоих его оснований и каждой образу- ющей, составляющей боковую поверхность цилиндра (рис. 262).

Шар называется onucaнным вокруг

npямoгo кругового цилиндра, если обе окружности его оснований принадлежат по- верхности шара (рис. 263).

Шар нaзывaетcя вnucaнным в npямой кpугoвой кoнуc,

если он касается его ocнoвания и каждой образующей конуса

(рис. 264). Шар нaзывaетcя onucaнным вокруг npямoгo кpу-

гoвoгo кoнуca, если окружность ocнoвания и вepшинa кoнуca лeжaт на пoвepxности шара (рис. 265).

Шар называется вnucанным в мнoгoгpaннuк, если все гра- ни многогранника касаются шара. Шар называется onucaнным вокруг мнoгoгpaннuкa, если все вершины многогранника при- надлежат поверхности шара. Ha рис. 266 и рис. 267 изображены

шары, вписанные в призму и пирамиду, а на рис. 268 и рис. 269 — описанные вокруг упомянутых выше многогранников.

Так как касательная плоскость и ка- сательная прямая к шару являются ка- сательными к соответствующей сфере, и наоборот, то в приведенных определени-