Гашков С.В. Современная элементарная алгебра в задачах и решениях

ребрами графа. Если ребрами графа являются все возможные пары {i, j}, то граф называется полным (несмотря на каламбур) и обозначается Kn.

Определение 35. Перестановка π Sn называется самосовмещением графа , если для любых i, j из En пара {i, j} является ребром графа тогда и только тогда, когда пара {π (i), π (j)} является ребром графа .

Упражнение 25. а) Множество G( ), состоящее из всех самосовмещений графа , является подгруппой в Sn.

б) Множество An, состоящее из всех подстановок π, принадлежащих Sn, у которых I(π) четно, является подгруппой в S.

Теперь естественно ввести общее понятие группы, которое является одним из самых важных понятий алгебры.

Определение 36. Группой (G, ) называется произвольное множество с операцией : G × G → G, которая удовлетворяет следующим условиям, называемым аксиомами группы

Любая подгруппа группы Sn является группой в смысле этого определения, если в качестве взять ◦ (это утверждает теорема 25). Утверждения теоремы 25 легко доказать и для произвольной группы.

Теорема 26 (о свойствах групповых операций). Любая группа имеет единственный нейтральный элемент и у каждого ее элемента имеется единственный обратный к нему элемент.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть e1 и e2 – различные нейтральные элементы. Тогда из A1 следует противоречие: e1 = e1 e2 = e2.

Пусть элементы h1 и h2 – различные обратные к элементу g. Тогда из аксиом A1–A3 следует противоречие:

h1 = h1 e = h1 (g h2) = (h1 g) h2 = e h2 = h2.

Доказанная теорема обосновывает применение обозначений: e – для единичного элемента, g−1 – для обратного элемента.

а) в любой группе G верно, что e−1 = e;

б) для любого g G справедливо равенство (g−1)−1 = g;

в) отображение ϕg : G → G, определяемое равенством ϕg (x) = g x, является взаимно однозначным отображением.

Произведение (. . . ((g1 g2) g3) . . . gn) обозначим через (g1 . . .

Указание. Учесть выполнение равенства (g1 . . . gn) (gn+1 . . . gm) = = ((g1 . . . gn) (gn+1 . . . gm−1)) g = (g1 . . . gm−1) gm = g1 . . . gm, где предпоследнее равенство следует из предположения индукции.

Пользуясь результатом упражнения, можно показать, что произведение элементов группы не зависит от того, как расставлены в этом произведении скобки (лишь бы порядок элементов в обоих произведениях

был одинаков). Например, (g1 g2) (g3 g4) = g1 ((g2 g3) g4). Способ расстановки скобок в произведении далее будем называть

формулой. Дадим индуктивное определение формулы.

Определение 37. (i) Выражение вида ϕ(g1, g2) = (g1 g2), где gi – элемент группы (G, ), является формулой, построенной из g1 и g2. Эта формула вычисляет элемент из G, равный произведению g1 g2.

(ii) Если ϕ(g1, . . . , gn) и ψ (gn+1, . . . , gm) – формулы, построенные из g1, . . . , gn и gn+1, . . . , gm соответственно, то

λ(g1, . . . , gm) = (ϕ(g1, . . . , gn) ψ (gn+1, . . . , gm))

является формулой, построенной из g1, . . . , gm, и вычисляет элемент группы G, равный произведению элементов, вычисляемых формулами

ϕ(g1, . . . , gn) и ψ (gn+1, . . . , gm).

Не требуется, чтобы все g были различны и n, m − n − 1 были больше 1; если, например, n = 1, то ϕ(g1) – это просто g1.

Упражнение 28. Проверьте, что а) (g1 ((g2 g3) g4)) – формула;

б) (g1 g2) g3 (g4 g5) – не формула.

Теорема 27 (обобщенный закон ассоциативности). Любые две формулы ϕ(g1, . . . , gn) и ψ (g1, . . . , gn), построенные из элементов g1, . . . , gn, вычисляют один и тот же элемент. Этот элемент называется произведением элементов g1, . . . , gn и его (согласно предыдущему утверждению) можно записывать в виде g1 g2 . . . gn без указания скобок, но в указанном порядке.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Доказательство проводится индукцией по n с помощью упражнения 27. Действительно, согласно предположению индукции, элементы, вычисленные формулами ϕ и ψ, равны соответственно

(g1, . . . , gk) (gk+1, . . . , gn) и (g1, . . . , ge) (ge+1, . . . , gn),

а согласно упражнению оба этих элемента совпадают с элементом (g1, . . . , gn). Шаг индукции обоснован. База индукции (n = 1, 2) очевидна.

Задачи и упражнения к § 2.1

1.Для множества N с обычной операцией умножения выполнены A1

иA2, но не A3. Такие алгебраические системы называются полугруппами. Проверить, что Z с операцией обычного умножения и N {0} с операцией обычного сложения – полугруппы.

2.Множество Q образует группу относительно обычного сложения, а множество Q \ {0} относительно умножения. В обеих этих группах операция коммутативна.

3.Найдите группы самосовмещений графов:

ющий тривиальную группу самосовмещений.

7. Докажите, что любая подстановка порядка два разлагается в произведение попарно не пересекающихся транспозиций.

8*. Докажите, что любой цикл разлагается в произведение двух перестановок порядка два.

У к а з а н и е. Поворот можно разложить в произведение двух осевых симметрий.

9*. Докажите, что любая подстановка разлагается в произведение двух перестановок порядка два.

10*. Найдите все подгруппы групп S6 и S4.

11.Четные перестановки образуют подгруппу в Sn, а нечетные – нет.

12.Множество всех степеней любой подстановки образует подгруппу в Sn.

§ 2.2. Группы и подгруппы

Напомним, что непустое подмножество H группы (G, ◦) называется подгруппой, если оно само является группой относительно операции ◦.

Для этого необходимо, чтобы для любых элементов g, h из H их произведение g ◦ h принадлежало бы H. Любая нетривиальная группа всегда содержит не менее двух подгрупп.

Упражнение 29. Подгруппами группы G являются а) единичная подгруппа {e};

б) сама группа G.

Определение 38. Все остальные подгруппы группы G, если они есть, называются собственным подгруппами.

Запись H 6 G будет всегда означать, что H – подгруппа группы G. Легко доказывается следующая

Теорема 28 (о подгруппах). Подмножество H образует подгруппу в группе G тогда и только тогда, когда для любых элементов g, h из H элемент g ◦ h−1 принадлежит H.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Прямое утверждение ( ) следует из аксиомы A2 и теоремы 26.

Докажем обратное утверждение ( ). Пусть g, h – элементы H. Тогда элементы

e = h · h−1, h−1 = e · h−1, g · h = g · (h−1)−1

тоже принадлежат подмножеству H.

Аксиомы A1–A3 для множества (H, ◦) выполняются теперь потому, что они выполняются для группы (G, ◦).

группой.

Определение 39. Группа G называется коммутативной, если произведение в ней не зависит от порядка сомножителей.

n

Подмножество {gn : n Z} G обозначим [g].

Определение 40. Если gn = e, то будем говорить, что n – период g.

Наименьший положительный период элемента g обозначим t(g) и назовем порядком элемента g.

Если gn 6= e при всех n 6= 0, то можно положить t(g) = ∞. Справедлива следующая

Теорема 29 (об 1-порожденных подгруппах). Наименьшая подгруппа, содержащая элемент g, совпадает с [g]. Она коммутативна и ее порядок равен t(g). Любой период элемента g делится на его порядок t(g). Если gk = gl , то t(g) делит k − l.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если элемент g принадлежит подгруппе H 6 G, то из теоремы 28 следует, что подгруппа [g] содержится в под-

= (gn)q ◦ gr = gr , откуда r = 0 (иначе имеем противоречие с определением t(g)), т. е. число n делит m.

Поэтому, если gk = gl , то gk−l = e и число n делит k − l, в частности, множества [g] и {e, g, . . . , gn−1} равны и все элементы gk, 0 6 k < n, различны, т. е. |[g]| = n = t(g).

Теперь легко доказывается следующая

Теорема 30 (о подгруппах конечных групп). Если группа G конечна и H – такое ее подмножество, что для любых h, g H произведение h · g H, то H – подгруппа группы G.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если элемент g принадлежит H, то из теоремы 29 следует, что |[g]| = n, g−1 = gn−1 [g] H, а из теоремы 28 следует, что H 6 G.

(т. е. такая, что все ее элементы являются степенями одного и того же элемента), называется циклической группой.

Упражнение 31. Если (G, ) – группа, а g – ее элемент, то [g] – циклическая группа.

Из теоремы 29 следует, что если (G, ) – бесконечная циклическая группа, а g G – ее образующий элемент, т. е. G = [g], G = {gn : n Z}, то все элементы gn различны и таблица умножения группы (G, ) задается системой равенств gn gm = gn+m, где n, m – целые числа.

Если же |G| = n, то из теоремы 29 следует, что

G= {gk : 0 6 k 6 n − 1},

итаблица умножения группы (G, ) задается системой равенств

Из сказанного ясно, что любые две циклические группы равных порядков отличаются друг от друга лишь названиями своих элементов; таблицы умножения у этих групп совпадают с точностью до названия строк и столбцов.

На алгебраическом жаргоне предыдущее высказывание произносят так: эти группы изоморфны. Дадим точные определения.

Определение 42. Отображение ϕ : G1 → G2, где (G1, ) и (G2, ◦) – группы, называется изоморфизмом (точнее, изоморфным отображением G1 в G2), если оно удовлетворяет следующим условиям:

(i)оно взаимно однозначно;

(ii)для любых элементов g, h G1 справедливо равенство ϕ(g h) =

=ϕ(g) ◦ ϕ(h).

Упражнение 32. Докажите, что

а) если ϕ : G1 → G2 – изоморфизм, то ϕ−1 : G2 → G1 – тоже изоморфизм;

б) тождественное отображение ε : G → G всегда является изоморфизмом;

в) если ϕ : G1 → G2 и ψ : G2 → G3 изоморфизмы, то ψ ◦ ϕ : G1 → G3 – также изоморфизм.

Определение 43. Группы (G1, ) и (G2, ◦) изоморфны, если существует отображение ϕ: G1 → G2, являющееся изоморфизмом (обозначение G1 G2).

Задачи и упражнения к § 2.2

1.Единица (а также минус единица) – образующий элемент в группе (Z, +).

2.Если g G, G – группа, gn = e, то порядок g делит n. Если поря-

док g – простое число, то либо gm имеет тот же порядок, что и g, либо gm = e.

3.Если H – подгруппа G, g G, то gHg−1 – подгруппа G.

4.Обозначим Z(G) множество всех g G таких, что при любом h G верно, что h · g = g · h (центр группы G). Докажите, что центр группы является подгруппой. Группа G коммутативна тогда и только тогда, когда она совпадает со своим центром.

5.Изоморфное отображение переводит единицу в единицу и обратный элемент – в обратный.

6. Изоморфные группы имеют одинаковые порядки. Обратное не- ! верно.

7. Обозначим Aut G множество всех перестановок элементов группы G, являющихся изоморфизмами G в себя (такие изоморфизмы называются автоморфизмами). Докажите, что Aut G – подгруппа группы перестановок множества G.

8*. Найдите Aut Zn.

! 9*. Теорема 30 для бесконечных групп неверна.

10. Бесконечная группа имеет бесконечно много подгрупп.

11*. Если порядки всех элементов не больше 2, то группа абелева. 12*. Если порядок группы четен, то некоторый элемент имеет поря-

док 2.

13*. (Кэли.) Каждая конечная группа изоморфна подгруппе группы подстановок.

14*. Найдите все (с точностью до изоморфизма) полугруппы порядка n, порожденные одним элементом (т. е. циклические).

15*. В любой конечной полугруппе (даже без единицы) есть такой элемент g, что g2 = g. Конечная полугруппа будет группой тогда и только тогда, когда такой элемент в ней единственный (единица).

§ 2.3. Циклические группы

В качестве конкретных реализаций циклических групп используем далее (Z, +) и (Zn, +).

Определение 44. Для любого натурального n обозначим ϕ(n) число тех m, которые взаимно просты с n (далее это обозначается

так: (m, n) = 1) и удовлетворяют неравенствам 1 6 m 6 n. Отображение

ϕ : N → N называется функцией Эйлера.

Далее в этой главе часто будет использоваться следующая

Теорема 31 (о циклических группах). (i) Любая подгруппа груп-

пы Z имеет вид δZ = {δm : m Z}, где δ – целое число, а любая подгруппа группы Zn – вид δZn = {δm : 0 6 m < n/δ}, где δ делит n.

(ii) Подгруппы циклической группы цикличны. Все подгруппы бесконечной циклической группы Z (кроме тривиальной подгруппы {0}) изоморфны ей самой. Порядок любой подгруппы конечной циклической группы Zn является делителем n и для любого m, делящего n, имеется ровно одна подгруппа порядка m. Общее число всех подгрупп в группе Zn равно d(n) – числу всех делителей числа n и все эти подгруппы попарно неизоморфны.

и совпадает с порядком порожденной им группы [a¯ ]. Число всех элементов a¯ Zn, у которых t(a¯ ) = m, равно ϕ(m).

(iv) Образующими группы Z являются элементы a = ±1 и только они. Элемент a¯ порождает всю группу Zn тогда и только тогда, когда его порядок t(a¯ ) = n, а последнее справедливо тогда и только

тогда, когда (a, n) = 1. Число образующих в группе Zn равно ϕ(n).

(v) Для любого m Z множество mZn = {a¯ : a¯ = mb¯ , b¯ Zn} состоит из элементов.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть H 6 Zn. Если H = {0}, то H = n · Zn. Если {0}¯ 6= H, то пусть δ – наименьшее число такое, что δ¯ H \ {0} (оно

существует в силу принципа индукции). Тогда H = δZn. Действительно, если бы существовал элемент a¯ H \ δZn, то, деля a на δ с остатком, мы бы получили, что r¯ = a − δq H, где q – частное, r – остаток, так как

r¯ = a − δq = a¯ + q(−δ¯ ) = a¯ + q(n − δ), a¯ H, n − δ = −δ¯ H,

0 < r < δ, а это противоречит определению δ. Поэтому H 6 δZn, а так как

δ¯ H, δZn 6 [δ¯ ], то согласно теореме 29 имеем δZn = H = [δ¯ ]. Равенство δZn = {δm : 0 6 m < n/δ} следует из того, что δ | n (если δ

не делит n, то, заменяя a на n в уже проведенном рассуждении, получим противоречие).

Пусть H 6 Z. Если H = {0},¯ то H = 0¯ · Z. Если {0}¯ =6 H, то рассуждением, аналогичным уже приведенному, получим, что H = δ · Z = (−δ) · Z, где δ N. Утверждение (i) доказано.

Утверждение (ii) следует из того, что отображения x → x · δ и x¯ → x · δ являются изоморфизмами между Z и δZ и между Zn и δZn соответственно

80 Глава II. Числа и группы

(последнее при (δ, n) = 1), а отображение δ → δ · Zn устанавливает взаимно однозначное соответствие между делителями числа n и подгруппами группы Zn.

|{a¯ : [a¯ ] = Zn}| = |{a: 1 6 a 6 n, (a, n) = 1}| = ϕ(n).

Далее (согласно (ii)), t(a¯ ) = m тогда и только тогда, когда |[a¯ ]| = m, другими словами, когда [a¯ ] = mn Zn Zm. Применяя полученную формулу для |{a: [a¯ ] = Zn}|, имеем

n n

|{a¯ : a¯ = Zn, t(a¯ ) = m}| = |{a¯ : a¯ m Zn, [a¯ ] = m Zn}| =

= |{b¯ : b¯ Zm, [b¯ ] = Zm}| = ϕ(m).

Так как тот факт, что [a] = Z тогда и только тогда, когда a = ±1, очевиден, то утверждения (iii) и (iv) доказаны.

Из доказанной теоремы выведем еще одну теорему.

Теорема 32 (о линейном представлении НОД). Пусть a1, . . ., an –

целые числа, (a1, . . . , an) – их наибольший общий делитель. Тогда найдутся целые числа xi , для которых

(a1, . . . , an) = x1a1 + . . . + xnan.