Гашков С.В. Современная элементарная алгебра в задачах и решениях

Справедливы следующие утверждения о производной многочлена.

Теорема 73.

(i)Производная многочлена нулевой степени равна 0.

(ii)Для любого c F производная многочлена x − c равна 1.

(iii)Производная суммы двух многочленов равна сумме производных.

Лейбница

(f1 f2)′ = f1′ f2 + f1 f2′.

(vi)Для любых многочленов fi F[x], i = 1, . . . , n, справедлива обобщенная формула Лейбница

(f1 . . . fn)′ = f1′ f2 . . . fn + f1 f2′ f3 . . . fn + . . . + f1 f2 . . . fn−1 fn′ . (vii) Для любого многочлена f F[x]

(fk)′ = kfk−1 · f′.

(viii) Для любого элемента c F

((x − c)k)′ = k(x − c)k−1.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Первые четыре утверждения следуют непосредственно из определения. Формула Лейбница (v) легко доказывается сначала в частном случае, а потом переходим к более общему случаю:

(а) f1 (x) = axm, f2 (x) = bxn;

(б) f1 (x) = a0xn + a1xn−1 + . . . + an−1x + an, f2 (x) = bxn;

(в)f1 (x) = a0xn + a1xn−1 + . . . + an−1x + an, f2 (x) = b0xm + b1xm−1 + . . . + bm−1x + bm.

Утверждение (vi) легко выводится из формулы Лейбница по индукции. Утверждение (vii) является частным случаем предыдущего. Последнее утверждение очевидно следует из предыдущих.

Естественным образом можно ввести понятие производных высшего порядка.

Определение 80. Производная от первой производной называется второй производной, производная от второй производной называется третьей производной и т. д.; n-я производная – это производная от (n − 1)-й производной. Производная порядка n многочлена f обозначается обычно f (n) .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Доказательство проводится по индукции. База (n = 1) доказана в предыдущей теореме. Шаг индукции обосновывается с помощью предыдущей теоремы и тождества Паскаля (см. с. 48).

Рассмотрим поле F характеристики 0 и кольцо многочленов над ним.

Теорема 75. Элемент x0 F является корнем многочлена f(x) кратности n (n > 2) тогда и только тогда, когда f(x0) = 0 и он является корнем кратности n − 1 у производной многочлена f(x).

f′ (x) = n(x − x0)n−1 · h(x) + (x − x0)n · h′ (x) =

= (x − x0)n−1 · (n · h(x) + (x − x0) · h′ (x)).

Следовательно, f′ (x) делится на (x − x0)n−1, но не делится на (x − x0)n, так как h(x) не делится на x − x0.

Обратно, пусть f(x0) = 0 и f′ (x) делится на (x − x0)n−1. Докажем, что x0– корень кратности n многочлена f(x). Предположим, что f(x) = = (x − x0)k · h(x), где h(x) не делится на x − x0. Тогда

f′ (x) = k(x − x0)k−1 · h(x) + (x − x0)k · h′ (x) =

= (x − x0)k−1 · (k · h(x) + (x − x0) · h′ (x)),

Любой многочлен f может быть единственным образом разложен по степеням (x − c):

f(x) = b0 (x − c)n + b1 (x − c)n−1 + . . . + bn−1 (x − c) + bn

4.Докажите, что трехчлен xn + axn−m + b не может иметь ненулевых корней кратности выше второй.

5.Докажите, что k-членный многочлен a1xn1 + . . . + akxnk не может иметь ненулевых корней кратности выше (k − 1)-й.

6.Докажите, что многочлен 1 + x + x2/2 + x3/3! + . . . + xn/n! не имеет кратных корней.

7*. Докажите, что многочлен 1 + x + x2/2 + x3/3! + . . . + xn/n! имеет не более одного действительного корня.

8*. Докажите, что многочлен 1+ x + x2/2+ x3/3!+ . . . + xn/n! не имеет рациональных корней. У к а з а н и е. Применить формулу Лежандра

оделимости факториалов.

9.Разложите многочлен x6 − 6x4 − 4x3 + 9x2 + 12x + 4 на множители, не имеющие кратных корней.

10.Если многочлен с целыми коэффициентами принимает в четырех разных целых точках значение a, то он не может принимать ни в одной целой точке значение a + p, где p – простое число.

11*. (Эйлер.) Многочлен n2 + n + 41 при n = 0, 1, . . . , 39 принимает только простые значения, но при n = 40 – нет. Докажите теорему: не существует непостоянного многочлена, принимающего только простые значения при всех натуральных значениях аргумента.

12*. Существует многочлен f(x) n-й степени с целыми коэффициентами такой, что f(0), . . . , f(n) – различные простые числа.

§ 3.5. Схема Горнера

Деление произвольного многочлена на двучлен может быть выполнено существенно проще, чем деление на произвольный многочлен.

Действительно, если нужно разделить многочлен

+ b1xn−2 + . . . + bn−1. Тогда получим равенство

f(x) = a0xn + a1xn−1 + . . . + an−1x + an =

=(x − c) (b0xn−1 + b1xn−2 + . . . + bn−1) + r,

* В. Горнер (William George Horner, 1786–1837) – английский математик.

равносильное цепочке равенств

a0 = b0,

a1 = b1 − cb0,

a2 = b2 − cb1,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

an−1 = bn−1 − cbn−2, an = r − cbn−1,

откуда последовательно определяются коэффициенты q(x) и остаток r:

b0 = a0,

b1 = a1 + cb0,

b2 = a2 + cb1,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

bn−1 = an−1 + cbn−2, r = an + cbn−1.

Заметим, что остаток r равен значению f(c) многочлена f(x) при x = c. Действительно, переходя в равенстве f(x) = (x − c)q(x) + r к значениям при x = c, получим f(c) = (c − c)q(c) + r, откуда r = f(c).

Указанный способ вычисления коэффициентов частного q(x) и остатка r носит название схемы Горнера (хотя она была, по существу, известна, например, и Ньютону, и Руффини, и даже в Китае в XIII в.).

Далее сложностью алгоритма будем называть число выполняемых

внем арифметических операций.

Вприведенном выше алгоритме Горнера использовались только операции сложения-вычитания и умножения и фактически была доказана следующая

Теорема 77. Частное и остаток от деления многочлена f(x) степени n на x − c находятся со сложностью n плюс число ненулевых коэффициентов у многочлена f(x) минус единица.

Упражнение 63. Найдите неполное частное и остаток при делении многочлена x5 на x − 2.

Выпишем последовательно коэффициенты многочлена x5 и, после вертикальной черты, число 2:

1 0 0 0 0 0 | 2 .

Под этой строкой запишем коэффициенты неполного частного и остаток, пользуясь только что выведенными формулами:

(остаток – подчеркнутое число). Итак,

x5 = (x − 2) (x4 + 2x3 + 4x2 + 8x + 16) + 32.

З а м е ч а н и е. В связи с этим примером отметим, что деление x100 на x − 1000 на компьютере таким способом выполнить затруднительно, потому что остаток будет равен 1030 и вызовет переполнение. Не все, что легко в теории, является таким и на практике.

Описанному в предыдущем параграфе алгоритму разложения многочлена по степеням двучлена x − c можно придать следующий вид.

Теорема 78. Младшие k + 1 коэффициентов многочлена f(x + c),

равные

f(c), f′ (c), . . . , f (k) (c)/k!,

можно вычислить со сложностью (k + 1) (2n − k), где n = deg f(x).

В частности, все коэффициенты вычисляются со сложностью n(n + 1).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим G(n, k + 1) сложность этого вычисления. С помощью схемы Горнера со сложностью 2n вычислим q(x)

и f(c), где

f(x) = (x − c)q(x) + f(c).

Тогда

f(x + c) = xq(x + c) + p(c),

и для вычисления остальных k коэффициентов достаточно найти k младших коэффициентов у многочлена q(x + c) степени n − 1. Поэтому

G(n, k + 1) 6 G(n − 1, k) + 2n, G(n, 1) 6 2n,

значит,

G(n, k + 1) 6 2n + 2(n − 1) + . . . + 2(n − k) = (k + 1) (2n − k).

При k = n получаем G(n, n+ 1) = n(n+ 1), причем используется n(n+ 1)/2 сложений и столько же умножений на константу c.

Тот факт, что коэффициент при xk в многочлене f(x + c) равен f (k) (c)/k!, следует из формулы Тейлора.

З а м е ч а н и е. Если c = 1, то реально умножений вообще не производится. В общем случае почти все умножения можно сэкономить, если предварительно вычислить c2, . . . , cn, и от многочлена

f(x) = a0 + . . . + anxn

перейти к многочлену

F(x) = f(xc) = a0 + . . . + ancnxn,

вычислив его коэффициенты a0, a1c, . . ., ancn, далее получить разложение F(x) по степеням x − 1

F(x) = b0 + b1 (x − 1) + . . . + bn (x − 1)n

с помощью n(n + 1)/2 сложений, откуда при y = xc

f(y) = b0 + b1 (y/c −1) + . . . + bn (y/c −1)n = b0 + bc1 (y −c) + . . . + bcnn (y −c)n,

значит, нужные нам коэффициенты f (k) (c)/k! находятся по формулам bk/ck с помощью n делений.

Упражнение 64. Разложим многочлен x5 по степеням x − 2. Применяя схему Горнера, получим:

где остатки подчеркнуты. Таким образом,

x5 = (x − 2)5 + 10(x − 2)4 + 40(x − 2)3 + 80(x − 2)2 + 80(x − 2) + 32.

Для приближенного вычисления корней многочлена бывает нужно найти одновременно f(c) и f′ (c). Выполнить это можно при помощи схемы Горнера, вычислив два коэффициента разложения f по степеням x − c.

Упражнение 65. Для многочлена x3 −x −1 вычислим f(1,2) и f′ (1,2). Применим схему Горнера:

Итак, f(1,2) = −0,472 и f′ (1,2) = 3,32.

В качестве еще одного применения схемы Горнера опишем алгоритм перевода из двоичной системы в десятичную и обратно.

Сначала переведем число из двоичной системы в восьмеричную. Для этого разбиваем справа налево его цифры на тройки (последняя тройка на самом деле может быть парой или одной цифрой) и переводим их в восьмеричную систему схемой Горнера (выполняемой устно). Например,

(1111110000)2 = (1.111.110.000)2 = (1760)8.

Выполним перевод из восьмеричной системы в десятичную. Пусть число u = (un . . . u1)8. На k-м шаге выполняем над полученной на предыдущем шаге записью в десятичной арифметике действия

un . . . un−k−1 − 2 · un . . . un−k = vn+1 . . . vn−k−1

и получаем запись

vn+1 . . . vn−k−1.un−k−2 . . . u1,

где точка используется вместо десятичной запятой, а старшие разряды могут оказаться нулевыми и в реальных вычислениях участвовать не будут. На (n − 1)-м шаге получаем десятичную запись числа u. Например, (1760)8 = (1008)10:

(1.7 6 0)8

− 2

1 5.6 0 − 3 0

1 2 6.0 − 2 5 2

(1 0 0 8)10

Алгоритм перевода из десятичной системы в двоичную почти такой же. Сначала переводим в восьмеричную запись. Для этого, пользуясь восьмеричной арифметикой, на k-м шаге выполняем над полученной на предыдущем шаге записью действия:

un . . . un−k−1 + 2 · un . . . un−k = vn+1 . . . vn−k−1

и получаем запись

vn+1 . . . vn−k−1.un−k−2 . . . u1

(поначалу (n + 1)-е разряды окажутся нулевыми и в реальных вычислениях участвовать не будут). На (n − 1)-м шаге получаем восьмеричную запись числа u. Например, (1945)10 = (3631)8:

+(1.9 4 5)10 2

+ 2 3.4 5 4 6

+3 0 2.5

6 0 4

(3 6 3 1)8

Здесь числа левее точки записаны в восьмеричной системе. Далее переводим восьмеричное n-значное число в двоичное (вычисляя для каждой восьмеричной цифры двумя делениями на два с остатком ее двоичную запись).

Задачи и упражнения к § 3.5

1.Укажите ускоренный вариант схемы Горнера, удобный для вычисления четных и нечетных многочленов, и дайте оценку его сложности.

2.Переведите из десятичной в двоичную число 12345678987654321.

3.Переведите из двоичной в десятичную число 10101010101010101.

4.Дайте подробное обоснование изложенных в этом параграфе алгоритмов перевода из двоичной в десятичную систему и обратно.

5.На одной из шумерских клинописных табличек написано число 608 + 10 · 607. Переведите его из шестидесятеричной системы в десятичную.

6*. (Параллельная схема Горнера.) Если компьютер имеет k параллельно работающих процессоров, операции обмена между которыми занимают пренебрежимо малое время, то вычисление значения многочлена степени n в заданной точке требует не более

На j-м процессоре вычисляем x j pj (xk). Для этого на (k − 1)-м процессоре вычисляется со сложностью l(k) + O(1) степени xk−1 и xk и последняя передается на остальные процессоры, которые тем временем вычисляют степени x j . После этого все процессоры вычисляют x j pj (xk) со сложностью 2n/k + O(1) каждый (используя обычную схему Горнера).

Остается сложить полученные результаты за время log2 k + O(1), используя параллельно k/2 процессоров.

7*. Для одновременного вычисления значений многочлена в нескольких точках схему Горнера иногда можно немного ускорить.

Докажите, что для одновременного вычисления значений p(c) и p(−c) достаточно 2n + 1 операции, где n – степень многочлена p(x).

У к а з а н и е. Разделим p(x) на x2 − c2. Получим равенство

p(x) = q(x) (x2 − c2) + r1x + r0.

Представляя p(x) в виде суммы многочленов, содержащих только четные и только нечетные степени переменной, получим, что p(x) = p0 (x2) + + xp1 (x2), где сумма степеней многочленов p0 (x) и p1 (x) равна n − 1.