Гашков С.В. Современная элементарная алгебра в задачах и решениях

d|n

23*. Докажите, что сумма первообразных корней n-й степени из 1 в поле C равна µ(n), а произведение их равно (−1)ϕ(n) , и, значит,

fn (x) = xn − µ(n)xn−1 + . . . + 1. 24*. Докажите, что при простом p

fp (x) = x p−1 + x p−2 + . . . + 1,

иэтот многочлен неприводим над полем рациональных чисел.

25*. Докажите, что при простом p и k > 1

fpk (x) = fp (x pk−1) = x(p−1) pk−1 + x(p−2) pk−1 + . . . + 1,

иэтот многочлен неприводим над полем рациональных чисел. 26*. Докажите, что f2n (x) = fn (−x), если n нечетно.

27*. Докажите, что fpn (x) = fn (x p)/fn (x), если p простое и n не кратно p.

28*. Докажите, что fmn (x) = fn (xm), если каждый простой делитель n делит также m.

29**. Докажите, что любой круговой многочлен неприводим над полем рациональных чисел.

30*. (Быстрый алгоритм вычисления кругового многочлена fn (x).) Находим все простые делители p1, . . ., pm у числа n и вычисляем последовательно многочлены по формулам

g0 (x) = x − 1, gi (x) = gi−1 (x pi )/gi−1 (x), i = 1, . . . , m,

fn (x) = gm (xn/(p1. . . pm)).

Обоснуйте этот алгоритм.

31. Постройте из отрезков длины 1, 2, . . ., 6 выпуклый равноугольный шестиугольник.

32*. Докажите, что из отрезков длины 1, 2, . . . , n нельзя составить выпуклый равноугольный n-угольник при n, равном степени простого, и можно его построить во всех остальных случаях.

У к а з а н и е. Задача равносильна следующей: существует ли много-

член f(x) = a0 + a1x + . . . + an−1xn−1, у которого коэффициенты являются перестановкой последовательности 1, . . . , n, такой, что f(εn) = 0, где

εn = e2πi/n? Примените задачи 24, 25 и 29. Если (m, n) = 1, то

(1 + 2x + . . . + nxn−1) (1 + xn + x2n + . . . + x(m−1)n) +

+ (nx + . . . + n(m − 1)xm−1) (1 + xm + x2m + . . . + x(n−1)m) =

= a0 + a1x + . . . + amn−1xmn−1,

где числа последовательности ak дают при делении на n и m разные пары остатков, так как остатки по модулю n повторяются с периодом n, а остатки по модулю m повторяются с периодом m, и оба периода состоят из разных чисел, поэтому, согласно китайской теореме, все числа последовательности ak будут разными по модулю mn, а значит, образуют перестановку последовательности 1, . . . , mn.

§4.6. Кубические уравнения над полем комплексных чисел

Тригонометрическая форма записи комплексного числа позволяет установить связь между решениями уравнения третьей степени из предыдущих параграфов. Для этого вернемся к нашему уравнению

– сопряженные друг другу комплексные числа.

Нам нужно извлечь из них корень третьей степени.

Определение 100√. Назовем корнем n-й степени из комплексного числа z и обозначим n z множество всех комплексных чисел, при возведении в n-ю степень дающих z.

Из теоремы 97 следует, что этих чисел n штук и что они имеют следующий вид:

В силу того, что u−3 = (v¯ )−3, можно считать, что числа u и v сопряжены. Значит, их сумма вещественна. Это означает, что мы получили три вещественных решения уравнения x3 + Ax + B = 0 в виде

Упражнение 101. Выведите из этой формулы тригонометрическое решение кубического уравнения.

Полученное выражение может иметь, вообще говоря, 36 значений:

внекоторой формуле несколько раз встречается радикал из одного и то-

го же выражения, то этому радикалу придается одно и то же значение. Наше выражение u + v не меняется при одновременной смене знака у √

вдвух местах. Поэтому остается лишь 9 значений для корней, зависящих от выбора значений двух радикалов 3-й степени.

Для устранения этой трудности заметим, что второе уравнение систе-

мы из предыдущего параграфа имеет вид uv = −A3 , т. е. произведение uv

всегда действительно. Выберем произвольное значение u1. Тогда из формулы для произведения комплексных чисел в тригонометрической форме следует, что все другие значения u1 суть u1ρ и u1ρ2, где

√

ρ = cos 23π + i sin 23π = −12 + 23 i

(напомним, что ρ3 = 1). Каждому значению u = u1, u1ρ, u1ρ2 сопоставим

v= −3Au . Тогда v принимает значения v1, v1ρ2, v1ρ.

Врезультате доказана

Теорема 98. Все вещественные корни уравнения

x3 + Ax + B = 0

при вещественных A и B находятся среди трех чисел:

< 0, то все три числа вещественны.

Сделаем теперь следующий шаг в обобщении: будем считать коэффициенты исходного уравнения комплексными числами. При решении ничего по сути не меняется: мы приходим к системе, решая которую, получаем формулу для корней кубического уравнения в радикалах. Три корня определяем, как и выше: выбираем произвольно u1, потом берем

Тогда получаем комплексный вариант формулы Кардано:

Теорема 99. Все корни уравнения

x3 + Ax + B = 0

при произвольных комплексных A и B задаются формулами

а v1 = −3u1 .

Легко видеть из формул для решения кубического уравнения, что = 0 тогда и только тогда, когда у исходного уравнения есть кратные

корни.

В дальнейшем, если не оговорено противное, мы будем считать коэффициенты алгебраических уравнений комплексными числами.

Задачи и упражнения к § 4.6

1. Докажите, что при решении уравнений с рациональными коэффициентами по формуле Кардано все корни в формуле извлекаются тогда и только тогда, когда решения уравнения имеют вид 2a, −a bi√3 при рациональных a и b.

§ 4.7. Уравнения четвертой степени

Общее уравнение четвертой степени имеет вид:

x4 + ax3 + bx2 + cx + d = 0.

Как и раньше, уничтожим коэффициент a, выделяя полную четвертую степень. Для этого сделаем замену переменной x′ = x + a/4.

Упражнение 102. Проверьте, что после этой замены уравнение примет вид x4 + Ax2 + Bx + C = 0.

Попробуем разложить его в произведение двух квадратных уравнений:

x4 + Ax2 + Bx + C = (x2 + u1x + v1) (x2 + u2x + v2).

Раскрывая скобки и приравнивая коэффициенты, получаем систему

u1 + u2 = 0;

v1 + v2 + u1u2 = A;

u1v2 + u2v1 = B;

v1v2 = C.

Заменяя u2 на −u1 = −u, приходим к системе с тремя неизвестными:

v1 + v2 = A + u2;

u(v2 − v1) = B;v1v2 = C,

систематичный метод решения уравнений третьей и четвертой степеней. Он основан на изучении свойств многочленов от корней исходного уравнения в зависимости от перестановок корней.

Пусть x1, . . . , xn – все корни уравнения

xn + a1xn−1 + . . . + an = 0.

Упражнение 103. Вспомните, как доказываются формулы Виета (здесь мы уже можем считать, что корни уравнения – произвольные ком-

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

an = (−1)nx1 . . . xn.

Упражнение 104. Вспомните, как решается система

(

u + v = a; uv = b.

Лагранж предложил следующий метод нахождения корней x1, x2, x3 уравнения x3 + ax + b = 0.

Прежде всего заметим, что сумма x1 + x2 + x3 равна нулю (так как она

Напишем еще две суммы:

(ρ, x) = x1 + ρx2 + ρ2x3 и (ρ, x) = x1 + ρ2x2 + ρx3.

Заметим, что, циклически переставляя переменные в них, получим пропорциональные им выражения:

x2 + ρx3 + ρ2x1 = ρ2 (ρ, x), x2 + ρx1 + ρ2x3 = ρ(ρ2, x) и т. д.

Кроме того, меняя местами пару переменных одной из сумм в (ρ, x) и (ρ2, x), получим выражение, пропорциональное другой сумме:

x2 + ρx1 + ρ2x3 = ρ(ρ2, x), x2 + ρ2x1 + ρx3 = ρ2 (ρ, x) и т. д.

При указанных заменах переменных коэффициенты пропорциональности всегда суть корни третьей степени из единицы, так что при возведении в куб они равны единице. Поэтому выражение (ρ, x)3 + (ρ2, x)3 не меняется при перестановках переменных.

Отметим, что коэффициенты пропорциональности у выражений (ρ, x) и (ρ2, x) при одной и той же перестановке переменных взаимно обратны. Поэтому выражение (ρ, x) · (ρ2, x) также не меняется при заменах переменных.

Выразим их через коэффициенты a и b. Прежде всего заметим, что (ρ, x)3 + (ρ2, x)3 = ((ρ, x) + (ρ2, x)) (((ρ, x) + (ρ2, x))2 − 3(ρ, x) (ρ2, x)),

(ρ, x) + (ρ2, x) = (x1 + ρx2 + ρ2x3) + (x1 + ρ2x2 + ρx3) =

= 2x1 + (ρ + ρ2) (x2 + x3) = 2x1 − (x2 + x3) =

= 3x1 − (x1 + x2 + x3) = 3x1 − 0 = 3x1

(так как ρ + ρ2 = −1) и

(ρ, x) (ρ2, x) = (x1 + ρx2 + ρ2x3) (x1 + ρ2x2 + ρx3) = x12 + x22 + x32 +

+(ρ + ρ2) (x1x2 + x2x3 + x3x1) = x1 + x2 + x3 − (x1x2 + x2x3 + x3x1) =

=(x1 + x2 + x3)2 − 3(x1x2 + x2x3 + x3x1) = 0 − 3a = −3a

(так как x1 + x2 + x3 = 0). Поэтому

(ρ, x)3 + (ρ2, x)3 = 3x1 (9x12 + 9a) = 27(x13 + ax1).

Однако x1 – корень исходного уравнения, значит, x13 + ax1 + b = 0, откуда x13 + ax1 = −b.

Поэтому в результате получаем, что

(

(ρ, x)3 + (ρ2, x)3 = −27b; (ρ, x) · (ρ2, x) = −3a.

Полученная система легко решается относительно неизвестных (ρ, x) и (ρ2, x). Действительно,

Выразим x1, x2, x3 из (ρ, x) и (ρ2, x), последовательно исключая неиз-

вестные из системы:

x1 + x2 + x3 = 0; √x1 + ρx + ρ2x = 3√3 A;x1 + ρ2x + ρx = 3 3 B.

Складывая все три уравнения с учетом равенства 1 + ρ + ρ2 = 0 и сокра-

Аналогично, умножая второе уравнение на ρ2, третье на ρ и складывая их с первым, после сокращения на три находим

А умножая второе уравнение на ρ, третье на ρ2 и складывая их с пер-

В результате мы получили формулы Кардано (3) из теоремы 98 с точностью до порядка следования x1, x2, x3.

Из этих формул вытекает выражение

((ρ, x)3 − (ρ2, x)3)2 = ((ρ, x)3 + (ρ2, x)3)2 − 4(ρ, x)3 (ρ2, x)3 =

= (−27b)2 + 4(27a3) = 27(4a3 + 27b2) = 27 · 108 .

Упражнение 106. Выведите из предыдущего равенства, что 108 = (x2 − x1)2 (x3 − x2)2 (x3 − x1)2,

используя равенства

u3 − v3 = (u − v) (u − ρv) (u − ρ2v), (1 − ρ) (1 − ρ2) = 3.

Определение 101. Выражение

D = (x2 − x1)2 (x3 − x2)2 (x3 − x1)2

называют дискриминантом кубического уравнения.

240 Глава IV. Алгебраические уравнения

Вообще, дискриминантом уравнения n-й степени xn + an−1xn−1 + . . . + a1x + a0 = 0

называют симметрический многочлен от корней x1, x2, . . ., xn этого уравнения D = Q (xi − xj)2.

i> j

Задачи и упражнения к § 4.8

1.Выразить дискриминант D через коэффициенты для общего уравнения третьей и четвертой степени.

2.Решите общее уравнение третьей степени в случае нулевого дискриминанта.

3*. Решите уравнение

x4 + px2 + q действительны и образуют арифметическую прогрессию.

§4.9. Решение методом Лагранжа уравнений четвертой степени

Попытаемся обобщить метод предыдущего параграфа на случай 4-й степени. Рассмотрим выражение

t(x1, x2, x3, x4) = x1 + αx2 + α2x3 + α3x4,

где α = i – корень 4-й степени из 1, а x1, . . . , x4 – корни уравнения x4 + ax2 + bx + c = 0, то есть

t = x1 − x3 + (x2 − x4)i.

Сколько значений принимает выражение t при различных перестановках корней? Очевидно, 24 значения – столько же, сколько всех возможных перестановок.