Гашков С.В. Современная элементарная алгебра в задачах и решениях

В некоторых случаях, например, когда многочлен Qn (cos x, sin x) однородный, т. е. состоит только из одночленов вида sink x cosn−k x, соответствующее уравнение можно свести к уравнению относительно tg x, не повышая при этом его степени.

Если тригонометрический многочлен четный или нечетный, то соответствующее уравнение можно свести к уравнению относительно cos x, не повышая при этом его степени.

Задачи и упражнения к § 4.17

Задачи в этом параграфе, как правило, трудны, но они становятся вполне доступными, если решать их в частных случаях n = 2, 3, 4, . . .

Первый цикл задач посвящен многочленам Чебышёва. Подобных задач известно колоссальное количество, и мы здесь приводим только некоторые из них.

1. Докажите рекуррентные соотношения и проверьте начальные условия

2.Эти последовательности можно продолжить и для отрицательных индексов. Докажите соотношения Tn = T−n, Un = −U−n−2.

3.Докажите при n 6= −1 тождество

ивторого рода.

9.Докажите рекуррентные соотношения:

а) TmTn = 12 (Tm−n + Tm+n);

б) UmTn = 12 (Um−n + Um+n);

в) Tm (x)Tn (x) ± (1 − x2)Um−1Un−1 (x) = Tm n (x); г) Um−1 (x)Tn (x) ± TmUn−1 (x) = Um±n−1 (x);

д) Tm (Tn) = Tmn (x);

е) Um−1 (Tn) = Umn−1/Un−1;

ж) Tn = 12 (Un − Un−2);

з) Tn (x) = Un (x) − xUn−1; и) Tn (x) = xUn−1 (x) − Un−2.

10**. Докажите, что сложность совместного вычисления значений Tn (x), Un (x) не больше C log2 n, где C – константа.

11*. Для любого тригонометрического многочлена

n

X

= am cos mx + bm sin mx.

294 Глава IV. Алгебраические уравнения

12*. Назовем нормой и обозначим ktnk максимум модуля тригонометрического многочлена tn. Докажите для любого m, n > m > n/3, неравенство q

ktnk > a2m + bm2 .

13. Докажите, что среди всех тригонометрических многочленов tn степени n с данными старшими коэффициентами an, bn наименьшую норму ktnk имеет тригонометрический многочлен an cos nx + bn sin nx и только он.

14*. Назовем нормой и обозначим kpnk максимум модуля многочлена pn на отрезке [−1, 1]. Докажите, что среди всех многочленов pn степени n с данным старшим коэффициентом an наименьшую норму имеет многочлен Чебышёва an21−nTn (x).

15*. а) Для любого n N существует многочлен Pn (x) Z [x] такой, что 2 cos nt = Pn (2 cos t).

б) Выведите из а), что при любом q Q или cos qπ {0, 1/2, 1}, или число cos qπ иррационально.

16*. Вычислите Pn qk cos(kx + α).

k=0

17*. Вычислите Pn cos2 kx.

k=0

18*. Решите уравнение

cos ϕ + Cn1 cos(ϕ + α)x + . . . + Cnn cos(ϕ + αn)xn = 0.

19. Докажите тождества и найдите корни тригонометрических многочленов

23*. Докажите, что для любого неотрицательного тригонометрического многочлена

которое обращается в равенство лишь для ядра Фейера.

24*. Пусть tn (x) – тригонометрический многочлен n-й степени,

26*. Докажите, что для любого тригонометрического многочлена

Xn

Примером расширения поля K служит поле, получающееся присоединением к полю K некоторых чисел α1, α2, . . . , αn C. Оно обозначается

K(α1, α2, . . ., αn). По определению поле K(α1, α2, . . ., αn) есть наименьшее из полей, содержащее все числа из поля K и числа (α1, α2, . . . , αn).

Теорема 114. Поле K(α1, α2, . . . , αn) есть множество чисел вида

P(α1, α2, . . . , αn) , Q(α1, α2, . . . , αn)

где P(α1, α2, . . ., αn), Q(α1, α2, . . ., αn) – многочлены от n переменных

скоэффициентами из поля K и Q(α1, α2, . . . , αn) 6= 0.

До к а з а т е л ь с т в о. По определению поля K(α1, α2, . . . , αn) оно содержит все числа вида P(α1, α2, . . . , αn) и Q(α1, α2, . . . , αn), а значит,

и частные

P(α1, α2, . . . , αn) . Q(α1, α2, . . . , αn)

Осталось заметить, что множество таких частных является числовым полем, так как сумма, разность, произведение и частное чисел такого вида тоже является числом вида

F(α1, α2, . . . , αn)

G(α1, α2, . . . , αn)

для некоторых многочленов F(α1, α2, . . ., αn) и G(α1, α2, . . ., αn) 6= 0.

3. Если K = Q, αi (i = 1, . . ., n) – различные корни n-й степени из единицы, то расширение поля рациональных чисел Q (α1, α2, . . . , αn) называется полем деления круга на n частей.

Упражнение 183. Проверьте, что

K(α1, α2, . . . , αn) = K(α1) (α2, . . . , αn) = K(α1, α2) (α3, . . . , αn) =

= K(α1, α2, . . . , αn−1) (αn).

300 Глава IV. Алгебраические уравнения

Определение 115. Простым расширением поля K называют поле вида K(α), где α C.

Для простых расширений существенно, является ли α корнем некоторого многочлена f(x) с коэффициентами из поля K или нет.

Определение 116. Число α C называется алгебраическим над K , если существует многочлен f(x) K[x] такой, что f(α) = 0. Алгебраическое над Q число называется (просто) алгебраическим числом.

Напомним, что многочлен f неприводим над полем K , если он разлагается в произведение многочленов над K только тривиальным образом, а многочлен с целыми коэффициентами f называется неприво-

над K многочлен. Тогда, если fn (α) = 0, α C, то простое расширение K(α) поля K совпадает с множеством

{a0 + a1α + . . . + an−1αn−1 : a0, . . . , an−1 K}.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть β = P(α) K(α) – произвольный эле-

Q(α)

мент этого поля. Представим его в указанном виде.

Заметим сначала, что многочлен f(x) взаимно прост с Q(x). В самом деле, по условию, у многочлена f(x) нет нетривиальных делителей, а если f(x) – делитель Q(x), то Q(α) = 0, чего не может быть.

Воспользуемся теперь известным нам линейным представлением

представляются как значения многочленов с коэффициентами из поля K . Осталось доказать, что для этого можно брать многочлены степеней меньших, чем n. Действительно, пусть β = F(α) K(α). Поделим F(x)

на f(x) с остатком и получим равенство

F(x) = f(x)q(x) + r(x), где deg r(x) < deg f(x) = n.

Подставив в него x = α, найдем, что β = F(α) = 0 · q(α) + r(α) = r(α).