Гашков С.В. Современная элементарная алгебра в задачах и решениях

где 0 6 k < m, n¯ · e¯ = ne = k¯ (другими словами, m делит ne − k). Теперь легко доказывается

Теорема 48 (о подкольцах). Кольцо характеристики m содержит подкольцо, изоморфное кольцу вычетов Zm (а в случае m = 0 – кольцу Z), а именно подкольцо, порожденное единицей. Характеристика целостного кольца либо нуль, либо простое число.

lm

Докажем следующую интересную теорему *.

Теорема 49 (о порядках конечных полей). Конечное целостное кольцо является полем, имеет простую характеристику и порядок, равный ее степени.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Теорема вытекает из следствия теоремы 36, теоремы 48, леммы 10 и следующей леммы.

Лемма 12. Конечная абелева группа простого периода p изоморфна декартовой степени циклической группы p-го порядка.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Выберем в рассматриваемой группе G максимальное число ненулевых элементов ai , i = 1, . . ., n, так, чтобы ai / Gi =

= [a1] + . . . + [ai−1]. Тогда G = Gn+1, ибо иначе элемент a G \ Gn+1 можно было бы добавить к системе {ai }.

Из теоремы 35 следует, что группы [ai ] изоморфны группе Z p . Из теоремы 30 следует, что [ai ] ∩ Gi = {0}, ведь если бы 0 6= a [ai ] ∩ Gi , то [ai ] = [a] Gi , чего не может быть. Используя теорему 44 и рассуждая

. . . + [ai ], в частности, G = Gn+1

* Открытую Эваристом Галуа (Evariste Galois, 1811–1832). Мы не пишем после этой теоремы его имя, так как иначе пришлось бы его писать почти после каждой теоремы этой главы, так как именно он ввел понятия группы и поля и заложил основы теории групп и теории полей. Конечные поля были также открыты им и часто называются полями Галуа.

Для доказательства следующей теоремы понадобится

Лемма 13. Пусть G – любая конечная подгруппа группы K . Порядок G не превосходит ее периода.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть {a1, . . ., am} = G, n – период группы G, m > n. Представим для любого x K элемент xn − 1 в виде

(x − a1) . . . (x − an) + b1 (x − a1) . . . (x − an−1) + . . . + bn−1 (x − a1) + bn,

где элементы bi K не зависят от x. Для этого, рассуждая по индукции, подбираем зависящие только от a1, . . . , an элементы bi так, чтобы при раскрытии скобок в суммах

(x −a1) . . . (x −an) + b1 (x −a1) . . . (x −an−1) + . . . + bi (x −a1) . . . (x −an−i)

отсутствовали бы слагаемые вида cxk при k > n − i, k 6= n.

Так как элемент a1 G имеет период, делящий n, то an1 − 1 = 0, значит, bn = 0, ибо сумма всех слагаемых обнуляется, кроме, быть может, последнего, а значит, и он равен нулю. Аналогично, подставляя вместо x последовательно a2, . . ., an, получаем, что bn−1 = . . . = b1 = 0, т. е. при всех

x K

xn − 1 = (x − a1) . . . (x − an). Подставляя вместо x элемент an+1 G, получаем, что

(an+1 − a1) . . . (an+1 − an) = ann+1 − 1 = 0,

а это невозможно в целостном кольце. Теперь легко доказывается следующая красивая

Теорема 50 (Гаусс). Конечная подгруппа мультипликативной группы K целостного кольца K является циклической. В частности, мультипликативная группа конечного поля – циклическая.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Из теоремы 34 и леммы 13 следует, что порядок группы G равен ее периоду, а из теоремы 46 следует, что группа G – циклическая.

Образующие элементы этой группы в теории конечных полей принято называть примитивными элементами.

Теорема 51 (о числе примитивных элементов). Число примитивных элементов в поле порядка q равно ϕ(q − 1), где ϕ – функция Эйлера.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Все следует из теорем 31 и 50. В теории чисел примитивные элементы поля вычетов Z p часто назы-

вают первообразными корнями.

Упражнение 54. Проверить, что элемент g Z p является первообразным корнем тогда и только тогда, когда для числа g наименьший показатель степени k, при котором gk − 1 кратно p, равен p − 1.

Частным случаем теоремы 51 является

Теорема 52 (о первообразных корнях). Для любого простого p среди чисел 1, . . . , p − 1 найдется ровно ϕ(p − 1) первообразных корней.

Из доказанных теорем легко следуют также следующие утверждения.

Теорема 53 (малая теорема Ферма для конечных полей). В конечном поле порядка q выполнено тождество Ферма xq − x = 0.

Д о к а з а т е л ь с т в о. При x = 0 все очевидно, а при x 6= 0 из теорем 31 и 50 следует, что xq−1 = 1.

Частным случаем предыдущего утверждения является

Теорема 54 (малая теорема Ферма). Для любого простого p и любого целого a разность ap − a делится на p.

Задачи и упражнения к § 2.7

1. Докажите, что все поля из четырех элементов изоморфны друг другу.

2*. Пусть K – целостное кольцо характеристики p. Докажите, что отображение x → σ (x) = x p является изоморфизмом K → K , а множество его неподвижных элементов образует подполе, изоморфное полю Z p . Если K – конечное поле порядка q = pn, то σn – тождественный изоморфизм, а множество неподвижных элементов изоморфизма σk при k | n является подполем порядка p.

3. Докажите, что для любых целых x1, . . . , xn имеет место сравнение

Выведите отсюда теорему Ферма, а из нее – теорему Эйлера.

4. Докажите, что при простом p = 4m + 1 решениями сравнения

x2 + 1 ≡ 0 (mod p)

будут x ≡ ±(2m)! mod p.

5*. Докажите, что простых чисел вида 4m + 1 бесконечно много.

6. При простом p = 4m + 3 решите сравнение x2 ≡ a (mod p).

7*. Если p и q – простые, p > 2, p | aq + 1, то либо p | a + 1, либо p = 2qm + 1, где m – натуральное число.

8*. Пусть p1, . . ., pk – все различные простые делители числа p − 1. Докажите, что число a будет первообразным корнем по простому модулю p тогда и только тогда, когда a(p−1)/pi не равно единице по модулю p.

9*. Пусть p1, . . ., pk – все различные простые делители числа pn − 1. Докажите, что элемент a конечного поля порядка q = pn будет примитивным тогда и только тогда, когда a(q−1)/pi не равно единице поля.

10*. Используя бинарный алгоритм возведения в степень из § 3.6, проверьте, что 10 – первообразный корень по модулю 1913.

11*. В поле порядка 2n любой трехчлен x2 − a имеет один двукратный корень.

12. Докажите, что при простом p справедливо сравнение 1n + 2n + . . .

. . . + (p − 1)n ≡ −1 (mod p), если p − 1 делит n, и 1n + 2n + . . . + (p −1)n ≡ ≡0 (mod p), если p − 1 не делит n.

14*. (А. А. Суслин.) Докажите, что при простом p для любых x1, . . .

.. . , x2p−1 Z p найдется сумма xi1 + . . . + xip , равная нулю по модулю p.

Ук а з а н и е. Примените предыдущую задачу и малую теорему Ферма.

15*. (Ю. И. Ионин.) Докажите, что среди любых 2n − 1 чисел можно выбрать n чисел, сумма которых делится на n.

У к а з а н и е. Примените предыдущую задачу и индукцию с шагом, основанным на переходе от A(n) и A(m) к A(nm).

16*. Для любого натурального числа n и простого p найдутся целые числа x, y, z такие, что а) p | (x2 + y2 − n); б) p | (x3 + y3 + z3 − n).

§ 2.8. Первообразные корни

Справедлива следующая теорема.

Теорема 55 (Гаусс). (i) Группа Z pn – циклическая, если p > 2, p – простое.

(ii) Группа Z2pn – тоже циклическая.

(iii) Группа Z2n – циклическая при n 6 2 и изоморфна группе

Z2 × Z2n−2 при n > 2, значит, нециклическая.

(iv)Все остальные группы Zm нециклические.

До к а з а т е л ь с т в о. Докажем (i). В силу теорем 37 и 31 достаточно доказать существование элемента a Z pn порядка ϕ(pn).

Лемма 17. Для числа g из леммы 16 и любого натурального n gϕ(pn) 6≡1 (mod pn+1), gϕ(pn) ≡ 1 (mod pn)

и для любого положительного m < ϕ(pn)

gm 6≡1 (mod pn).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Индукция по n. База (n = 1) доказана в лемме 16. Шаг индукции: n (n + 1). Пусть gm ≡ 1 (mod pn+1), тогда согласно предположению индукции и теореме 31 (i) число ϕ(pn) делит m, откуда

gϕ(pn+1) 6≡1 (mod pn+2).

Для этого достаточно убедится в справедливости сравнения

Положив a = gϕ(pn) и учитывая, что pn делит a − 1, получаем с помощью леммы 15 сравнение

В случае n > 2 требуемое утверждение следует уже из более простого

Докажем теперь теорему. Утверждение (i) следует из леммы 17. Утверждение (ii) следует из пункта (i) и того факта, что согласно те-

ореме 41 имеет место изоморфизм

Z2pn Z2 × Z pn Z pn . Докажем утверждение (iii). Для этого потребуется

Лемма 18. Справедливо сравнение

Докажем (iv). Разлагая m каноническим образом на простые

m = p1α1 . . . pnαn

и проводя индукцию по n с помощью теоремы 41, получаем, что

Zm = Z pα1 × . . . × Z pnαn .

Из (i) и (iii) с помощью теоремы 47 выводим, что период t(Z piαi ) четен, кроме случая p1 = 2, α1 = 1.

Вычисляя период t(Zm) с помощью теоремы 47, замечаем, что t(Zm) 6 |Zm| · 22−n

и t(Zm) = |Zm|, лишь когда n = 1, p1 > 2 либо p1 = 2, α1 6 2 или когда n = 2, p1 = 2, α1 = 1.

Пусть далее до конца параграфа m = pn или m = 2 · pn, p > 2, p – простое и α Zm – первообразный корень (в другой терминологии – порождающий или образующий элемент) группы Zm.

Определение 59. Индексом (или дискретным логарифмом) элемента x Zm по основанию α назовем минимальное неотрицательное n такое, что αn = x, и обозначим его indα x или просто ind x.

Теорема 56 (Эйлер–Гаусс). (i) Для любых x, y Zm справедливы

(ii) Пусть 1 6 n 6 ϕ(m), (n, ϕ(m)) = d. Двучлен xn − a Zm [x] имеет в Zm ровно d корней, если d | ind a, и не имеет корней, если d

не делит ind a. Все корни принадлежат Zm и в случае a = 1 образуют циклическую подгруппу порядка d, а в общем случае – смежный

класс группы Zm по этой группе.

(iii) Множество всех a Zm, при которых двучлен xn − a Zm [x] имеет в Zm корни, образует циклическую подгруппу порядка ϕ(m)/d в группе Zm, а именно группу корней двучлена

xϕ(m)/d − 1 Zm [x].

(iv) Порядок (в другой терминологии – период) любого элемента x Zm равен ϕ(m)/(ϕ(m), ind x). В частности, элемент x будет

первообразным корнем в Zm тогда и только тогда, когда

(ind x, ϕ(m)) = 1.

(v)Число всех элементов в Zm, имеющих порядок δ, равно ϕ(δ).

Вчастности, число первообразных корней в Zm равно ϕ(ϕ(m)).

До к а з а т е л ь с т в о. Докажем утверждение (i). Так как

x = αind x , y = αind y ,

то

y−1 = α− ind y , xy = αs , x/y = αt ,

где s = ind x + ind y, t = ind x − ind y. С другой стороны,

xy = αind xy , x/y = αind x/y ,

значит,

αs−ind xy = 1 = αt−ind x/y ,

поэтому

s ≡ ind xy, t ≡ ind x/y (mod ϕ(m)).