Гашков С.В. Современная элементарная алгебра в задачах и решениях

Теорема 38 (обобщение теоремы Вильсона). Если F – конечное поле, то произведение всех его ненулевых элементов равно минус единице.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как x2 − 1 = (x − 1) (x + 1) и в полях нет делителей нуля, то уравнение x2 = 1 в поле имеет ровно 2 решения: x = 1 и x = −1.

Разобьем все элементы поля F (не равные нулю) на пары взаимно обратных элементов. Так как эти пары попарно не пересекаются, то произведение всех ненулевых элементов поля F равно

1 · (−1) · (a1 · a−1 1) . . . (as · a−s 1) = −1.

Следствие из теоремы 38 (Вильсон). Число p делит (p − 1)! + 1

тогда и только тогда, когда p – простое.

(p − 1)! + 1 = 0, т. е. p делит (p − 1)! + 1.

Если p – составное число, например, p = m · n, m, n > 1, то p делит (p − 1)!, значит, p не делит (p − 1)! + 1.

Задачи и упражнения к § 2.5

4*. Найдите какие-нибудь целые a, b такие, что ab(a + b) не кратно 7,

а(a + b)7 − a7 − b7 делится на 77.

5.Докажите, что если a и m взаимно просты, то найдется единственное b такое, что 0 6 b < m и ba mod m = 1.

Это число иногда обозначают a−1 mod m.

6. Докажите, что если a и m взаимно просты, то для любого b найдется единственное c такое, что 0 6 c < m и ca mod m = b.

Это число иногда обозначают ba mod m.

7. Если (a, m) = 1, то

ba mod m = b · aϕ(m)−1 mod m.

8. Докажите, что определенные выше символические дроби по модулю m обладают свойствами обыкновенных дробей:

13. Правильная обыкновенная дробь mn представляется конечной де-

сятичной дробью, если и только если n не делится на простые числа, m

n

представляется десятичной дробью с периодом t и предпериодом k, если и только если 10k (10t − 1) делится на n, причем k и t – наименьшие натуральные числа, удовлетворяющие этому условию. Дробь имеет чисто периодическое разложение, если и только если n не делится ни на 2, ни на 5.

14.Сумма периода и предпериода десятичного разложения любой правильной дроби со знаменателем n не превосходит ϕ(n). Равенство возможно лишь для дробей с чисто периодическим разложением.

15.Длина периода является делителем числа ϕ(n), где n – знаменатель соответствующей обыкновенной дроби. Длина периода равна ϕ(n) для бесконечно многих дробей, например, 1/7k, 1/17k.

не превосходит n − 1. Равенство возможно лишь при простом n. Примерами таких n служат 7, 17, 29 и даже 1913, однако неизвестно, конечно или бесконечно их количество. К. Ф. Гаусс предположил, что оно бесконечно.

17.Как преобразовать десятичную периодическую дробь в обыкновенную?

18.Сумма или разность двух дробей имеет предпериод, не больший максимума их предпериодов, и период, не больший НОК их периодов.

19.Дроби 1/10ki (10ti − 1) = 0,0. . .0(0. . .01), i = 1, 2, имеют предпериоды ki и периоды ti , а их сумма и разность имеет предпериод max(k1, k2)

ипериод [t1, t2].

20.Пусть u = qv + r, 0 6 r < v, u, v – натуральные числа, q – целое

число. Тогда остаток от деления 10u − 1 на 10v − 1 равен 10r − 1. Отсюда выведите, что (10u − 1, 10v − 1) = 10(u,v) − 1.

21*. Если две дроби имеют предпериоды ki и периоды ti , то их произведение имеет предпериод k 6 k1 + k2 и период

t 6 [t1, t2] (10(t1,t2) − 1).

Эти неравенства точные и достигаются на дробях 1/10k1 (10ti − 1), i = 1, 2. Из утверждения задачи 21 следует, в частности, что если периоды дробей взаимно просты, то период их произведения не превосходит удевятеренного НОК их периодов, но если периоды имеют большой НОД, то период произведения может их значительно превосходить. Так, при

(10t1 − 1) · (10t2 − 1). Из задачи 20 выведите, что t = t1n, n – натуральное число. Тогда число 1 + 10t1 + . . . + 10(n−1)t1 делится на a = 10t2 − 1.

Пусть r1, r2, r3, . . . – остатки от деления чисел t1, 2t1, 3t1, . . . на число at2. Тогда последовательность остатков от деления чисел 10t1 , 102t1 ,

103t1 , . . . на число a есть 10r1 , 10r2 , 10r3 , . . . Докажите, что последовательность r1, r2, r3, . . . – периодическая с длиной периода d = t2/(t1, t2), ее период r1, r2, r3, . . . , rd состоит из всех различных чисел из промежутка от 0 до t − 1, делящихся на b = (t1, t2), и заканчивается нулем. Отсюда следует, что последовательность остатков от деления чисел 10t1 , 102t1 , 103t1 , . . . на число a – периодическая с длиной периода d = t2/(t1, t2), ее период 10r1 , 10r2 , . . . , 10rd состоит из переставленных

Следовательно, при n = (10b − 1)d число s делится на a, а при меньших натуральных n – нет. Выведите отсюда, что наименьшее натуральное t, при котором число 10t − 1 делится на число (10t1 − 1) (10t2 − 1), есть число

t1n = (10b − 1)dt1 = (10b − 1)t1t2/(t1, t2) = [t1, t2] (10(t1 ,t2) − 1).

ется

t= [t1, t2] (10(t1,t2) − 1).

§2.6. Прямое произведение

Напомним, что прямым (или декартовым) произведением множеств A1 и A2 называется множество A1 × A2 = {ha1, a2i: ai Ai }, состоящее из всех упорядоченных пар элементов из A1 и A2.

паре элементов ha1, a2i A, hb1, b2i A сопоставляет элемент

ha1 1 b1, a2 2 b2i A.

Эта операция обозначается 1 × 2 .

Определение 56. Прямым произведением групп (G1, 1) и (G2, 2) называется (G, ◦), где G = G1 × G2, ◦ = 1 × 2 .

Аналогично определяется прямое произведение полугрупп и прямое произведение колец. С целью краткости, знаки операций опускают, и, например, прямое произведение полугрупп K1 и K2 обозначают просто K1 × K2 (а операции в ней обозначают , как обычно, знаками «+» и «◦»). Прилагательное прямое тоже часто опускают (если нет опасности спутать прямое произведение с другим типом произведений).

Теорема 39. Произведение полугрупп является полугруппой, а произведение групп – группой, причем она будет коммутативной, если сомножители коммутативны. Произведение колец является кольцом.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Выполнение соответствующей аксиомы для произведения следует из выполнения этой аксиомы для сомножителей, если учесть, что в качестве нейтрального элемента произведения можно взять упорядоченную пару, составленную из нейтральных элементов сомножителей, а в качестве элемента, обратного к элементу ha1, a2i – элемент ha−1 1, a−2 1i, где a−i 1 обозначает элемент, обратный к ai относительно соответствующей операции.

Упражнение 45. Операция произведения групп (полугрупп, колец) коммутативна в том смысле, что, например, кольца K1 × K2 и K2 × K1 изоморфны.

Упражнение 46. Операция произведения групп (полугрупп, колец) ассоциативна в том смысле, что, например, группы

(G1 × G2) × G3 и (G1 × G2) × G3

изоморфны.

Указанные утверждения дают возможность рассматривать произведение n сомножителей и обозначать их без всяких скобок, например, G1 × . . . × Gn (но такие произведения можно определить и непосредственно обобщая предыдущие определения).

Упражнение 47. Проверьте, что 1 = G1 × e2 и 2 = e1 × G2 – подгруппы в G1 × G2, где ei – единица группы Gi , i = 1, 2.

Упражнение 48. Проверьте, что 1 ∩ 2 = {he1, e2i} – единичная подгруппа.

и применить теорему 39.

Упражнение 52. Докажите, что произведение полей не является ! полем.

Теорема 41. Если (m, n) = 1, m, n > 1, то имеют место изомор-

физм Zmn Zm × Zn и изоморфизм Zmn Zm × Zn.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим ϕk : Z → Zk гомоморфизм колец, задаваемый равенствами ϕk (a) = r¯ a, где r¯ a – остаток от деления a на k. Гомоморфизм ϕn естественным образом определяет гомоморфизм колец

ϕm,n : Zmn → Zn так, что ϕn = ϕm,n (ϕmn) (проверьте!).

Рассмотрим отображение ψ : Zmn → Zm × Zn, задаваемое равенствами ψ (a¯ ) = (ϕn,m (a¯ ), ϕm,n (a¯ )). Непосредственно проверяется, что оно является

Следствие из теоремы 41 (Эйлер). Для любых взаимно простых m, n справедливо равенство (мультипликативность функции Эйлера)

ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n).

До к а з а т е л ь с т в о. Если m = 1 или n = 1, то формула очевидна.

Если m, n > 1, то она следует из того, что |Zmn| = |Zm| · |Zn|. Упражнение 53. Докажите, что ϕ(pn) = pn − pn−1 = pn−1 (p − 1)

при n > 1.

Теорема 42 (Эйлер). Если m = p1α1 . . . pnα1 – каноническое разложение m на простые множители, то

Д о к а з а т е л ь с т в о. Индукция по n с использованием следствия из теоремы 41 и предыдущего упражнения.

Теорема 43 (китайская теорема об остатках). Если m1, . . . , mn

попарно взаимно просты, то система сравнений xi ≡ ri (mod mi), i = 1, . . . , n, равносильна одному сравнению x ≡ r (mod m), где m = = m1. . .mn, а r – некоторое число, 0 6 r 6 m − 1.

Доказательство. Индукция по n с использованием теоремы 41. Далее до конца параграфа речь пойдет только о коммутативных

группах.

Если Hi 6 G, то определим сумму множеств Hi равенством

H1 + H2 = {h1 + h2 : hi Hi }.

qi

t(Gi) = qi , i = 1, . . . , n. Применяя индукцию по n и теорему 45, получаем, что

G = G1 × G2 × . . . × Gn.

З а м е ч а н и е. Любая конечная p-группа разлагается в прямое произведение циклических p-групп, но мы не будем это доказывать (и использовать).

Теорема 46 (характеристика циклических групп). Произвольная группа G является конечной циклической, если и только если это коммутативная группа, период которой равен ее порядку.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Прямое утверждение ( ) следует из теоремы 31. Докажем обратное утверждение ( ).

Пусть группа G коммутативна и t(G) = |G|. Согласно следствию из теоремы 45 справедливо разложение

G = G1 × G2 × . . . × Gn,

где t(Gi) = piαi , pi – простое, i = 1, . . ., n, t(G) = p1α1 . . . pnαn . Из условия |G| = t(G) и теоремы 33 следует, что

p1α1 . . . pnαn = |G| = |G1| . . . |Gn| > t(G1) . . . t(Gn) = p1α1 . . . pnαn ,

значит, |Gi | = t(Gi) = pi , i = 1, . . . , n. Применяя еще раз теорему 34, получаем, что для некоторого gi Gi

|gi | = t(Gi) = |Gi | = piαi , i = 1, . . . , n,

значит, Gi = [gi ], т. е. Gi – циклическая группа. Из теоремы 41 с помощью индукции по n получаем, что

G = G1 × G2 × . . . × Gn

– тоже циклическая группа. Докажем еще следующую теорему.

Теорема 47 (о периоде произведения групп). Для любых групп G1, G2 справедливо равенство t(G1 × G2) = НОК(t(G1), t(G2)).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если t(G1 × G2) = n, то

{0} = n(G1 × G2) = nG1 × nG2,

откуда nG1 = {0} = nG2, т. е. t(Gi) | n, i = 1, . . ., n, значит, согласно упражнению 1 из § 2.3 [t(G1), t(G2)] делит n. В тоже время, если обозначить