Гашков С.В. Современная элементарная алгебра в задачах и решениях

7. Нарисовать диаграмму включений семейства всех подгрупп группы Z60.

8*. Множество M N называется полугруппой (без единицы), если для любых x, y M их сумма x + y также принадлежит M. Докажите, что любая такая полугруппа конечно порожденная, т. е. M = {a: a = a1x2 + + . . . + anxn, xi N} при некоторых натуральных ai .

9*. Имеется несколько карточек с числами. Для любого n 6 2004 имеется ровно n карточек, на которых написаны его делители. Докажите, что любое n 6 2004 написано хотя бы на одной карточке.

У к а з а н и е. Примените задачу 4.

§ 2.4. Теорема Лагранжа

Пусть G – группа, H – ее подгруппа.

Определение 45. Множество gH = {gh: h H} называется (левым) смежным классом по подгруппе H, содержащим элемент g (действительно, g = ge gH).

Правым смежным классом называется множество Hg = {hg: h H}.

Если группа G коммутативна, то всегда gH = Hg.

Далее рассматриваем только левые смежные классы. Справедлива следующая

Лемма 7. Любые два смежных класса по подгруппе H либо не пересекаются, либо совпадают.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть, например, aH ∩ bH 6= , c aH ∩ bH. Тогда c = ah1 = bh2, где hi H и

aH = a(h1H) = (ah1)H = cH = (bh2)H = b(h2H) = bH.

При выводе этой цепочки равенств мы пользовались ассоциативностью и равенством hH = H, где h – элемент H, которое проверяется следующим образом.

Для любого элемента h′ из H произведение h′h принадлежит H и поэтому hH – подмножество в H.

Любой элемент h′′ из H можно представить в виде h′′ = h(h−1h′′), откуда видно, что он принадлежит также hH, и поэтому H содержится в hH. Доказанные включения и означают, что H = hH.

Нам понадобится также

Лемма 8. В любом смежном классе по H столько же элементов, сколько и в H.

Сформулированное утверждение обобщает теорему Лагранжа. Его доказательство основано на том, что любая (не только конечная) группа G представляется в виде объединения всех различных смежных классов по подгруппе H, причем эти классы попарно не пересекаются, а их число (если оно конечно) равно [G : H].

Отметим, что в предыдущих рассуждениях вместо левых смежных классов можно с тем же успехом использовать правые.

! Левые смежные классы, вообще говоря, не совпадают с правыми.

Определение 47. Если при любом g H выполняется gH = Hg, то подгруппа H называется нормальной. Если H нормальна в G, то это обозначается H G.

Равенство gH = Hg не означает, что при любом h H обязатель- ! но gh = hg, оно лишь означает совпадение множеств {gh : h H}

и {hg : h H}.

Упражнение 35. Равенство gH = fH справедливо тогда и только тогда, когда gf−1 H.

Будем говорить, что сравнение a ≡H b справедливо тогда и только тогда, когда ab−1 H (или тогда и только тогда, когда aH = bH, что равносильно). Введенное отношение между элементами группы G называется (левой) сравнимостью по подгруппе H. Аналогично вводится правая

сравнимость.

Упражнение 36. Левая и правая сравнимости по подгруппе H совпадают тогда и только тогда, когда H G.

Упражнение 37. Если группа G коммутативна, то H 6 G тогда и только тогда, когда H G. Обратное неверно.

Определение 48. Число t называется периодом группы G, если для

любого g G, gt = e. Наименьший положительный период группы G

обозначим t(G).

Теорема 34 (малая теорема Ферма для групп). (i) Число t является периодом группы G тогда и только тогда, когда t(G) делит t.

(ii)Если группа G конечна, то t(G) равен НОК порядков всех элементов g G.

(iii)Порядок любого элемента является делителем порядка группы.

(iv)Порядок группы является ее периодом.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пункт (i) докажем методом от противного. Пусть t – период группы G, t = t(G)q + r, q – натуральное число,

0 < r < t(G). Так как для любого g G выполняется

e = gt = (gt(G))q gr = eq gr = gr ,

значит, r – положительный период G, меньший t(G), чего не может быть.

делит t. Теперь утверждение (ii) следует из утверждения (i).

Докажем пункт (iii). Пусть g – элемент группы G. Так как его порядок равен порядку порожденной им группы [g], а [g] 6 G, то согласно теореме 33 порядок |G| делит |[g]|, что и требовалось.

Последний пункт следует из двух предыдущих.

Следствие из теоремы 34. Для любого элемента g произвольной группы G его порядок равен минимальному периоду t([g]) порожденной им подгруппы [g].

Теорема 35 (о циклических группах простого порядка). Группа G не имеет собственных подгрупп тогда и только тогда, когда она циклическая простого порядка. Любая группа простого порядка циклична.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Тот факт, что группа простого порядка не имеет собственных подгрупп, следует из теоремы Лагранжа. Если же группа не имеет собственных подгрупп, то, согласно теореме 29, она циклическая, а согласно теореме 31 – простого порядка.

Далее появятся и другие применения теоремы 33.

Задачи и упражнения к § 2.4

1. Найдите период группы S4.

2. Если |G : H| = 2, то H G и H – одна из наибольших из подгрупп G.

3.Найдите наибольшую подгруппу в Sn.

4.Проверить, что всегда:

а) a ≡H a;

б) a ≡H b b ≡H a;

в) a ≡H b, b ≡H c a ≡H c.

5. Если G = Z, H = mZ, то вместо a ≡H b будем писать a ≡ b (mod m). Докажите, что:

а) a ≡ b (mod m) тогда и только тогда, когда m | a − b и тогда и только тогда, когда a и b равноостаточны при делении на m;

7. Докажите сравнения:

а) a0 + a110 + . . . + an10n ≡ a0 + a1 + . . . + an (mod 9); б) a0 + a110 + . . . + an10n ≡ a0 − a1 + . . . an (mod 11).

8.Решите сравнение 27x ≡ 6 (mod 51).

9.Найдите с точностью до изоморфизма все группы порядка не выше 6 и все нормальные подгруппы в них.

! Теорема, обратная к теореме Лагранжа, неверна.

10.Докажите, что группа четных перестановок в S4 изоморфна группе вращений тетраэдра, имеет порядок 12, но не имеет подгрупп порядка 6 (контрпример к обращению теоремы Лагранжа).

11.На множестве всех подмножеств данного n-элементного множества определим операцию симметрической разности множеств: A B = (A \ B) (B \ A). Докажите, что это множество образует группу относительно введенной операции. Докажите, что ее порядок и порядок любой ее подгруппы равен степени двойки.

12.В военкомате занимаются составлением списков призывников.

Вконце года оказалось, что для каждых двух составленных списков A и B был составлен еще список C, в котором записаны все призывники, входящие только в один из списков A и B, но не в оба сразу. Докажите, что число составленных списков на единицу меньше степени двойки.

13*. Докажите, что группа A5 четных подстановок не имеет нетривиальных нормальных делителей (такие группы называют простыми).

14*. В Москве 18***** телефонных номеров («*» означает неизвестную цифру). Докажите, что найдутся два номера, сумма которых (рассматриваемых как числа в десятичной записи) оканчивается на семизначное число, не являющееся московским номером (на телефонную книгу не ссылаться).

15. Если H G, a ≡H b, c ≡H d, то ac ≡H bd. Без предположения о нормальности это неверно.

16*. Определим на множестве смежных классов группы G по нормальной подгруппе H операцию умножения равенством: gH fH = = g · fH. Проверить, что это определение корректно, т. е. если g1H = gH, f1H = fH, то gH fH = g1H f1H, и что рассматриваемое множество превращается в группу, обозначаемую далее G/H и называемую факторгруппой группы G по подгруппе H.

Докажите, что отображение ϕ из G в G/H, определяемое равенством ϕ(g) = gH, является гомоморфизмом групп, т. е. переводит произведение в произведение.

17*. Докажите, что Z/mZ изоморфна Zm.

18*. Найдите факторгруппу группы перестановок n-элементного множества по подгруппе четных перестановок.

§ 2.5. Кольца и поля вычетов

Напомним обозначение: a ≡ b (mod m) тогда и только тогда, когда m | a − b (читается «a сравнимо с b по модулю m»).

В упражнении 5 из § 2.4 установлено, что сравнения можно почленно складывать и умножать. Это дает возможность на множестве

Z/mZ = {0,¯ 1,¯ . . . , m − 1}

всех смежных классов по подгруппе mZ (через a обозначается смежный класс, содержащий a, т. е. множество {a + mn : n Z}) определить следующим образом операции сложения и умножения:

Таблицы этих операций состоят из равенств

(

Если обозначить через ra остаток от деления a на m, то эти равенства записываются в виде:

r¯ a+b = r¯ a + r¯ b = a¯ + b¯ , a¯ · b¯ = r¯ a · r¯ b = r¯ a·b .

Множество Z/mZ относительно сложения является изоморфной группе (Zm, +) коммутативной группой. Относительно умножения оно является коммутативной полугруппой, нейтральным элементом которой является 1¯ .

Упражнение 38. Докажите сформулированные утверждения, а также следующее тождество (дистрибутивность): (x + y)z = xz + yz.

Определение 49. Множество (Zm, +, · ) с введенными операциями сложения и умножения называется кольцом вычетов по модулю m.

Определение 50. Вообще кольцом называется любое множество K с двумя двуместными операциями «+» (сложение) и « · » (умножение), если эти операции связаны дистрибутивным тождеством, (K, +) яв-

ляется коммутативной группой, а (K, ·) – коммутативной полугруппой.

Например, (Zm, +, ·) является кольцом.

Нейтральный элемент относительно сложения обозначается 0, а нейтральный элемент относительно умножения обозначается 1.

Упражнение 39. Совпадение 0 и 1 возможно лишь в кольце, состоящем из одного элемента. В любом кольце выполняются тождества:

0 · x = 0, 1 · x = x, (−1) · x = −x.

Определение 51. Отображение ϕ : K → K˜ является гомоморфизмом колец, если ϕ(1) = 1,˜ для любых x, y K

ϕ(xy) = ϕ(x) ϕ(y), ϕ(x + y) = ϕ(x) ϕ(y),

где «+» и «·» – операции в кольце K , а « » и « » – в кольце K˜ . Взаимно однозначный гомоморфизм называется изоморфизмом.

Лемма 9. Если ϕ – гомоморфизм K → K˜ , то

ϕ(0) = 0, ϕ(−x) = −ϕ(x).

До к а з а т е л ь с т в о. Пусть a K, тогда

Заметим, что отображение ϕ : Z → Zm, задаваемое равенством ϕ(x) = = x (mod m), является гомоморфизмом колец.

Введем несколько определений.

Определение 52. Элемент a K называется обратимым, если найдется b K такой, что a · b = 1. Множество всех обратимых элементов кольца K обозначим K .

Заметим, что если ab = 1 = ac, то b = c. Действительно, умножив равенство ab = ac на b, имеем bab = bac 1 · b = 1 · c b = c. Это позволяет ввести для элемента, обратного к a (относительно умножения), обозначение a−1, так как обратный элемент, если он есть, определен однозначно.

Определение 53. Элемент a K называется делителем нуля, если найдется b K \ {0}, для которого a · b = 0. Множество всех делителей нуля K обозначим K 0.

Имеет место

Теорема 36 (о делителях нуля и обратимых элементах). Справедливы следующие утверждения: (K , ·) – группа, (K \ K , ·) и (K 0, ·) – полугруппы без единицы, причем K 0 содержится в K \ K , (K \ K 0, ·) – полугруппа, причем K содержится K \ K 0. Все упомянутые группы и полугруппы коммутативны.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Согласно определениям K и K 0 справедливы следующие утверждения:

1 K , a K a−1 K , K · K K

(так как 1−1 = 1, (a−1)−1 = a, (ab)−1 = a−1b−1),

K 0 ∩ K =

(если ab = 0, a K , то b = b · 1 = (a−1a)b = a−1 (ab) = a−10 = 0),

K 0 · K = K · K 0 K 0

(если ab = 0, b 6= 0, то (a · c) · b = (c · a) · b = c · (a · b) = c · 0 = 0 при лю-

бом c K),

(K \ K 0) (K \ K 0) K \ K 0

и полугруппы следует из выполнения аксиом ассоциативности, коммутативности и существования единицы в кольце K .

Упражнение 41. Докажите, что

Z = {1, −1} =6 Z \ Z0 = Z \ {0}.

Дадим важное

Определение 54. Кольцо K , в котором K 0 = {0}, называется целостным, или кольцом без делителей нуля. Кольцо, в котором K = K \ {0}, называется полем.

Упражнение 42. Целостное кольцо – это такое кольцо, в котором произведение ненулевых элементов всегда отлично от нуля.

Упражнение 43. Поле – это такое кольцо, в котором любой ненулевой элемент всегда имеет обратный элемент относительно умножения, и, значит, всегда возможно деление на ненулевой элемент.

Упражнение 44. Проверить, что Z – целостное кольцо, но не поле, а Q, R – поля (и целостные кольца).

Следствие 2 из теоремы 36. Поле является целостным кольцом. Конечное целостное кольцо является полем.

Следствие 3 из теоремы 36. Справедливы равенства

Zm = {a¯ : (a, m) = 1}, Z0m = Zm \ Zm.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Непосредственно проверяется, что согласно теореме 31

Следствие 4 из теоремы 36. Кольцо вычетов Zm является полем тогда и только тогда, когда p – простое число.

Теорема 37 (Эйлер). Если (a, m) = 1, m > 1, то m делит aϕ(m) − 1,

где ϕ(m) – функция Эйлера.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как (a, m) = 1 тогда и только тогда, ко-

то теорему можно сформулировать так: порядок группы Zm является ее периодом. Но это доказано в теореме 34.

Следствие из теоремы 37 (малая теорема Ферма). Если p – простое число, то при любом a число ap − a делится на p.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если p делит a, то это очевидно. Если p не делит a, то a Zm и согласно теореме 37 p делит aϕ(m) − 1 = ap−1 − 1, значит, p делит ap − a.