Гашков С.В. Современная элементарная алгебра в задачах и решениях

Предисловие

Предлагаемая вниманию читателя книга представляет собой учебное пособие по алгебре для учащихся 10-х и 11-х классов физико-математи- ческих школ. Его основу составили записи лекций, читавшихся автором в специализированном учебно-научном центре МГУ им. М. В. Ломоносова – школе имени академика А. Н. Колмогорова, более известной под названиями ФМШ МГУ и интернат МГУ. Книга покрывает курс алгебры для учащихся 10-х классов СУНЦ (и аналогичных ему учебных заведений) и содержит основную часть обязательного курса алгебры для 11-х классов.

О. Н. Василенко, И. Б. Гашков, С. Б. Гашков, А. А. Егоров, А. Н. Земляков, В. А. Колосов, Ю. В. Нестеренко, В. Ф. Пахомов, А. А. Русаков, Т. Н. Трушанина, А. В. Устинов, О. А. Чалых, В. Н. Чубариков (приношу свои извинения тем, кого не вспомнил или о ком не знал), состоит из двух частей: некоторого обязательного набора понятий, конструкций и теорем (эта часть является общей для всех лекционных курсов алгебры, читавшихся в этой школе) и решения некоторой интересной содержательной проблемы (например, построение циркулем и линейкой правильных n-угольников, теорема Абеля–Руффини о неразрешимости в радикалах общего уравнения пятой степени, квадратичный закон взаимности и т. п.). Вторую часть курса лектор определяет в соответствии со своими вкусами.

В этой книге излагается первая часть курса, а также некоторый вариант дополнительных глав. В ней много задач, в основном довольно трудных.

Она может служить учебным пособием по алгебре и для студентов вузов.

Автор выражает глубокую благодарность В. А. Колосову, материалы которого существенно использовались при подготовке книги, а также А. В. Устинову за тщательное редактирование.

Автор приносит извинения за оставшиеся в книге неточности и небрежности и за то, что не успел подготовить ее к 40-летию ФМШ МГУ и 100-летию А. Н. Колмогорова.

С этой точки зрения еще лучше шестидесятеричная система (но таблица умножения в этой системе вгоняет в дрожь). Остатки от былого распространения этой системы видны в картографии и астрономии, а алгоритм перевода из этой системы в десятичную запаян в любом калькуляторе для научных расчетов (речь идет о переводе из градусной меры в десятичную и обратно). Кстати, первая запись дробного числа в позиционной системе в Европе была сделана в XIII в. знаменитым Фибоначчи: корень уравнения x3 + 2x2 + 10x = 20 он нашел в виде 1◦ 26′ 7′′ 42′′′.

Есть поклонники и у восьмеричной и шестнадцатеричной систем. Первую из них хотел вести в Швеции Карл XII (который, возможно, пришел к этой идее самостоятельно), но ряд обстоятельств помешали этому прогрессивному начинанию (среди них, вероятно, и занятость короля в военных компаниях, в частности, под Полтавой в России). Преимущество этих систем в том, что легко осуществляется перевод в двоичную систему и обратно.

Двоичная система в каком-то смысле была известна в Древнем Китае. В классической книге «И цзин» («Книга перемен») приведены диаграммы, так называемые Фу-си, первая из которых имеет вид , а последняя (шестьдесят четвертая) – вид (нулям и единицам соответствуют сплошные и прерывистые линии). Китайцы не поленились придумать для этих диаграмм специальные иероглифы и названия.

Возможно, что идея двоичной системы была известна и древним индийцам. Об этом, например, говорит известная легенда об изобретателе шахмат, который скромно попросил (после настояний магараджи, которому очень понравилась игра) себе в награду положить одно зерно на угловую клетку шахматной доски и удваивать количество зерен на каждой следующей клетке.

В Европе двоичная система, видимо, появилась уже в новое время. Об этом свидетельствует система объемных мер, применяемая английскими виноторговцами: два джилла = полуштоф, два полуштофа = = пинта, две пинты = кварта, два кварты = потл, два потла = галлон, два галлона = пек, два пека = полубушель, два полубушеля = бушель, два бушеля = килдеркин, два килдеркина = баррель, два барреля = хогзхед, два хогзхеда = пайп, два пайпа = тан.

Читатели исторических романов знакомы с пинтами и квартами. Частично эта система дожила и до нашего времени (нефть и бензин до сих пор меряют галлонами и баррелями). Удобство двоичной системы при взвешивании демонстрируют также помещенные в конце параграфа задачи, вторая из которых заимствована из материалов жюри международных олимпиад, а третья известна, вероятно, со средневековых времен.

Пропагандистом двоичной системы был знаменитый Г. В. Лейбниц * (получивший от Петра I звание тайного советника). Он отмечал особую простоту алгоритмов арифметических действий в двоичной арифметике

всравнении с другими системами и придавал ей определенный философский смысл. Говорят, что по его предложению была выбита медаль с надписью «Для того, чтобы вывести из ничтожества все, достаточно единицы».

Известный современный математик Д. Данциг ** о нынешнем положении дел сказал: «Увы! То, что некогда возвышалось как монумент монотеизму, очутилось в чреве компьютера». Причина такой метаморфозы – не только уникальная простота таблицы умножения в двоичной системе, но и особенности физических принципов, на основе которых работает элементная база современных ЭВМ (за последние 40 лет она неоднократно менялась, но двоичная система и булева алгебра по-прежнему вне конкуренции).

Отметим еще, что двоичная система находит применения и в других математических задачах, например при анализе известной игры «Ним». Игра состоит в следующем: на столе лежит несколько кучек спичек, и два игрока по очереди выбирают одну из кучек и забирают из нее сколько угодно спичек (хоть все); проигрывает тот, кто забирает последнюю. Эпизод с этой игрой неоднократно повторяется в известном французском фильме «Прошлым летом в Мариенбаде».

Упомянутая стратегия поддается для реализации даже на специализированных машинах. Одна из таких машин была выставлена после войны

вБерлине на английской выставке и с успехом конкурировала с находящимся рядом бесплатным пивным залом. Известный популяризатор математики Мартин Гарднер в одной из своих книг пишет, что Алан Тьюринг *** вспоминал о том, как популярность этой машины повысилась еще больше после победы над тогдашним бундесминистром экономики Л. Эрхардом.

Некоторую конкуренцию двоичной системе как по простоте арифметических алгоритмов, так и по количеству применений в математических задачах может составить троичная система, в частности ее вариант, называемый уравновешенной троичной системой, в которой вместо цифры 2 используется цифра −1.

* Г. В. Лейбниц (Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646–1716) – великий немецкий математик

ифилософ, один из основоположников математического анализа.

**Д. ван Данциг (David van Danzig, 1900–1959) – голландский математик, изобретатель симплекс-метода в линейном программировании.

***А. Тьюринг (Alan Mathison Turing, 1912–1954) – английский математик, один из создателей теории алгоритмов. При его участии был построен первый английский компьютер.

Представление о ней дает следующая в конце параграфа задача 6, опубликованная в книге Баше де Мезириака * в XVII в.

Троичная система применяется при объяснении следующего фокуса Жергонна **. Зритель запоминает одну из 27 карт и выкладывает их в три стопки по 9 карт картинками вверх (первая карта идет в первую стопку, вторая – во вторую, третья – в третью, четвертая – в первую и т. д.). Фокуснику сообщается, в какой из стопок задуманная карта, потом стопки складываются в любом из шести возможных порядков (не перетасовывая карты внутри стопок) и раскладываются снова в три стопки, начиная с верхней карты, потом складываются опять и процедура повторяется в третий раз (каждый раз сообщается, в какую из стопок легла запомненная карта). Фокусник каждый раз замечает, куда легла стопка с запомненной картой – сверху (это отмечается в уме символом 0), в середину (символ 1), или в низ колоды (символ 2), и составляет из этих символов трехзначное число в троичной системе счисления, ставя первый из замеченных символов в младший разряд, следующий символ – во второй и последний символ – в старший разряд. К полученному числу прибавляется единица и отсчитывается столько карт, начиная с верхней карты колоды – последняя из отсчитанных карт и есть запомненная зрителем.

Имеется еще один вариант фокуса Жергонна, но с другим способом раскладки карт. Колода из 27 карт раскладывается в три стопки в следующем порядке: первая карта – в первую стопку, вторая – во вторую, третья – в третью, четвертая – опять в третью, пятая – во вторую, шестая – в первую и т. д. Одна из карт запоминается зрителем и указывается стопка, в которой она лежит, и все повторяется еще два раза. Способ угадывания тот же самый. Можно показывать тот же фокус и с 21 картой, но тогда надо раскладывать карты самому и стопку с задуманной картой всегда класть в середину колоды.

Уравновешенная система может быть рассмотрена и для любого натурального основания, правда, при четном основании запись в ней перестает быть однозначной. Преимуществом уравновешенных систем является то, что в них записываются и отрицательные числа без знака минус перед записью, а также то, что таблица умножения в этих системах в сравнении

собычными примерно в четыре раза короче, как отметил О. Л. Коши ***.

* Баше де Мезириак (Gaspard Claude Bachet de Mésiriac, 1587–1638) – французский математик и поэт, автор одной из первых книг по занимательной математике.

**Ж. Жергонн (Josef Diaz Gergonne, 1771–1859) – французский математик, членкорреспондент Парижской академии наук.

***О. Л. Коши (Augustin Louis Cauchy, 1789–1857) – великий французский математик, член Петербургской академии наук. По политическим взглядам ультрароялист, сторонник Бурбонов, клерикал. Восемь лет провел в эмиграции.

например, число −(123456789)10 записывается как 876543210 (каждая цифра дополняется до 9). В этом коде сложение и вычитание производятся фактически по модулю 109 − 1.

Задачи и упражнения к § 1.1

1. Оцените, сколько тонн зерна придется выплатить магарадже.

2*. За какое наименьшее количество взвешиваний на чашечных весах можно отвесить один килограмм сахарного песка, если имеется лишь одна однограммовая гирька?

3*. Чтобы взвесить любое число граммов песка от 1 до n граммов за одно взвешивание, достаточно иметь гири весом 1, 2, 4, . . ., 2m граммов, где m = log2 n , и меньшего числа гирь недостаточно, если песок лежит на одной чашке весов, а гири разрешается ставить на вторую чашку.

4**. Укажите выигрывающую стратегию в игре «Ним».

5. Любое целое число от −(3n − 1)/2 до (3n − 1)/2 может быть однозначно представлено в виде

an−13n−1 + . . . + a13 + a0,

где цифры ai = 0 или ±1.

6*. Допустим, что при взвешивании разрешается класть гири и на чашку весов с грузом. Тогда для того, чтобы взвесить любой груз от 1 до (3n − 1)/2 граммов за одно взвешивание, достаточно иметь гири весом 1, 3, 9, . . . , 3n−1 граммов, и меньшего количества гирь недостаточно.

7*. Объясните фокус Жергонна.

8*. Докажите, что во втором варианте фокуса Жергонна (с 21 картой) после трех сдач задуманная карта окажется точно в середине колоды, т. е. на одиннадцатом месте от любого края.

9.Запишите число (1234567890)10 в уравновешенной десятичной системе счисления.

10.Докажите, что любое ненулевое целое число имеет единственное знакопеременное двоичное представление

2α0 − 2α1 + . . . + (−1)k2αk ,

где α0 < . . . < αk.

11. Представьте в «негадесятичной» системе (т. е. в системе с отрицательным основанием −10) числа

(1234567890)10 , −(1234567890)10 .

12*. Запишите в факториальной системе счисления число e – основание натуральных логарифмов.

13.Докажите, что остаток от деления произвольного числа на 9 равен остатку от деления на 9 суммы его цифр в записи по основанию 10. Такой же признак делимости справедлив и для числа 3.

14.Обозначим сумму десятичных цифр числа a через ν10 (a). Найдите

ν10 (ν10 (ν10 (44444444))).

Целой частью числа x называется такое целое число n = x , которое удовлетворяет неравенствам n 6 x < n + 1. Дробной частью числа x называется число {x} = x − x . Целое число m = x такое, что m − 1 < x 6 m, называется верхней целой частью. Число

kxk = min(x − x , x − x)

называется расстоянием до ближайшего целого числа, а само это целое число обозначается ((x)) в случае, если x =6 n + 1/2, т. е. не является полуцелым. В последнем случае функция ((x)) естественным образом не определена, но ее можно доопределить, если угодно, например, равенством ((n + 1/2)) = n. Название для последней функции не является общепринятым, впрочем, общепринятого названия и нет.

Для целой части в последнее время (благодаря книгам Д. Кнута и распространению издательской системы TEX) входит в моду название «пол» и обозначение x , а верхнюю целую часть все чаще называют «потолком» и обозначают x . В старое время целую часть называли иногда французским термином «антье».

15. Докажите, что функции {x}, kxk периодичны с наименьшим периодом единица и постройте их графики. Проверьте, что