Гашков С.В. Современная элементарная алгебра в задачах и решениях

26**. (Чебышёв.) Докажите, что сумма по всем простым p, не превосходящим n, слагаемых lg p/p больше, чем C lg n, где C – некоторая

константа. √

У к а з а н и е. n n! > n/3.

27**. (Чебышёв.) Докажите, что сумма по всем простым p, не превосходящим n, слагаемых 1/p больше, чем C lg lg n, где C – некоторая

константа.

У к а з а н и е. Если P – множество всех простых чисел, S – множество всех квадратов, F – множество всех чисел, не делящихся на квадраты, то

§ 1.8. Сочетания и разбиения

Обозначим через Pk (A) множество {M: M A, |M| = k} всех подмножеств множества A, имеющих мощность k, другими словами, k-подмно- жеств.

Определение 26. Элементы множества Pk (A) называются сочетаниями элементов из A по k.

Теорема 18 (о числе k-подмножеств). Справедливо равенство

|Pk (A)| = C|k |.

A

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть A = {a1, . . ., a|A|}. Сопоставим каждому сочетанию M из Pk (A) слово α1 . . . α|A| {0, 1}|A| такое, что αi = 1 тогда и только тогда, когда элемент ai принадлежит M. Таким образом, построено взаимно однозначное отображение из множества Pk (A) в мно-

жество S(k, |A| − k). В силу теоремы 14 имеем |Pk (A)| = C|kA|.

Теорема 19 (об упорядоченных разбиениях). Число решений уравнения x1 + . . . + xn = k в натуральных числах равно Ckn−−11.

4*

X

k=0

5.Вычислите коэффициент при x10 в многочлене (1 + x + x2)10.

6.Решите задачу 4, используя биномиальную теорему и тождество (1 + x)m = (1 + x)l · (1 + x)m−l .

7.Найдите сумму квадратов чисел n-й строки треугольника Паскаля.

8.Докажите тождество для n-го континуанта

nk=0

Ук а з а н и е. Можно применить задачу 4 из § 1.4.

9.В треугольнике Паскаля найдите числа Фибоначчи, правда, не в явном виде, а виде суммы чисел по диагоналям.

Проверьте, что это равенство верно при n = k, если положить Cmk = 0 при k > m.

11. Докажите, что многочлен ((x + y)2 + 3x + y)/2 осуществляет взаимно однозначное отображение (биекцию) множества N2 = N × N всех упорядоченных пар натуральных чисел на множество N = {0, 1, 2, . . .}.

12**. Используя задачу 10, докажите, что многочлен

* А. Вандермонд (Alexandre Théophile Vandermonde, 1735–1796) – французский математик, член Парижской академии наук.

осуществляет биекцию множества Nk = N × . . . × N всех наборов натуральных чисел длины k на множество N = {0, 1, 2, . . .}. Докажите, что многочлен меньшей степени не может осуществлять такой биекции.

13*. Установите взаимно однозначное соответствие между множеством рациональных чисел и множеством натуральных чисел.

14*. Назовем цепью любую строго расширяющуюся последовательность множеств, начинающуюся с A0 = и заканчивающуюся An = {1, . . . , n}. Докажите, что

а) число всех таких цепей n!;

б) число цепей, в которые входит заданное k-элементное множество, равно k!(n − k)!;

в) число k-элементных подмножеств в {1, . . . , n} равно Cnk (вывести из б)).

15*. (Шпернер *.) Докажите, что если есть семейство попарно не содержащих друг друга подмножеств в {1, . . ., n}, то их число не превосходит Cnn/2 .

У к а з а н и е. Пусть U – шпернерово семейство и для любого множества A из семейства U множество Ц(A) состоит из цепей, проходящих через A, тогда для любых множеств A, B из семейства U

Ц(A) ∩ Ц(B) =

иможно применить задачу 14.

16.В классе все учатся на 4 и 5 и никто не учится лучше другого. Какое наибольшее число учеников может быть в классе, если изучаются n предметов?

17*. Индукцией по n докажите формулу включения-исключения **

Сколько слагаемых в m-й по счету сумме?

18. (Эйлер.) Используя задачу 17, докажите, что число правильных несократимых дробей со знаменателем n равно ϕ(n) = n(1 − 1/p1) · . . .

. . . · (1 − 1/pk), где p1, . . . pk – все различные простые делители n.

* Немецкий математик Э. Шпернер доказал эту теорему в 20-е годы XX в.

** Эту формулу первым получил французский математик А. де Муавр (Abraham de Moivre, 1667–1754), проживший почти всю жизнь в Англии.

c

d

(cd)

a(b(cd)) b

b(cd)

Рис. 11. Дерево, формула, путь шашки и двоичная последовательность

все числа, кроме первого и последнего, кратны заданному простому p тогда и только тогда, когда n = pk.

17. Докажите, что в ряду биномиальных коэффициентов

Cn0, . . . , Cnk, . . . , Cnn

количество нечетных чисел равно степени двойки.

18. Докажите, что в ряду биномиальных коэффициентов

тоже;

в) Cnp+m − CnkCms кратно p при неотрицательных n, m, k, s и при m и s меньших p (биномиальный коэффициент равен нулю, если нижний индекс меньше верхнего, а коэффициент C00 по определению равен 1);

г) Cnk − Cnkmm . . . Cnk00 кратно p при

д) Ckpn−1 − (−1)νp (k) кратно p;

е) Cnkpp − Cnk кратно p2, а при p > 5 – кратно и p3.

§ 1.9. Перестановки и подстановки

Множество всех перестановок множества En = {1, 2, . . ., n} обозначим

1 2 . . . n

π(1) π (2) . . . π (n)

Рис. 12. Граф подстановки Рис. 13. Умножение подстановок

Слова «перестановка» и «подстановка» для нас по существу будут синонимами.

Определение 28. Если π1, π2 Sn – произвольные перестановки, то назовем их произведением и обозначим π1 ◦ π2 такую перестановку

πSn, что для любого i из En

π(i) = π1 (π2 (i)).

нужно для каждого i = 1, . . . , n выбрать из массива {π2 (1), π2 (2), . . ., π2 (n)} (начинаем со второй подстановки!) i-й элемент π2 [i], равный, например, j, а потом выбрать из массива {π1 (1), π1 (2), . . . , π1 (n)} j-й элемент π1 [j] = π1 [π2 [i]] и поместить его на i-е место в массив {π (1), π (2), . . .

. . ., π (n)}. Всего понадобилось 2n операций выборки элемента из массива и n операций записи элемента в массив.

При устных вычислениях достаточно все это проделать при i = 1, . . .

. . . , n − 1, так как последний элемент результата определяется автомати-