Гашков С.В. Современная элементарная алгебра в задачах и решениях

27. Модифицируйте алгоритм умножения столбиком, чтобы он позволял умножать числа и в мнимочетверичной системе.

Заметьте, что этот алгоритм умножает комплексные числа без разделения действительных и мнимых частей.

29*. Если точку a C можно отделить некоторой прямой от точек

z1, . . . , zn C, то Pn 1/ (zi − a) 6= 0.

i=1

30*. (Гаусс–Люка.) Докажите, что корни производной многочлена лежат внутри наименьшего выпуклого многоугольника, содержащего все корни этого многочлена.

31.Примените формулу Муавра для вывода тригонометрических формул двойного и тройного угла.

32.Примените формулу Муавра для выражения sin nx и cos nx в виде многочленов от sin x, cos x.

i=1

§ 4.4. Вычисления на калькуляторе

Даже на многих хороших калькуляторах отсутствует прямая возможность вычислений с комплексными числами. Тем не менее покажем на примере отечественного калькулятора MK-71 несколько удобных способов работы с комплексными числами.

Начнем со сложения-вычитания нескольких чисел. Эта операция сводится к сложению-вычитанию двух чисел (a + ib) ± (c + id). Действительные и мнимые части этих чисел придется вводить в калькулятор

Если вычислять по схеме

r = d/c, s = c + dr, Re z = (a − br)/s, Im z = (b − ar)/s,

то достаточно 9 операций. Но и здесь числа a, b, r придется вводить по два раза.

Можно доказать, что меньшим числом операций обойтись нельзя. Но если сомножители заданы в тригонометрической форме, то ана-

логично сложению-вычитанию можно вычислить любую комплексную дробь вида z = z1 ◦ . . . ◦ zn, где знак «◦» обозначает умножение или деление без лишних операций ввода чисел.

Как же на калькуляторе преобразовать комплексное число в тригонометрическую форму? Это можно сделать с помощью кнопки R → P, которая предназначена для перевода декартовых координат в полярные. После последовательности операций

Re z, F, P → R, Im z, =

на индикаторе появляется |z|, если потом нажать кнопки F, ↔ (или x → Π), то |z| окажется в памяти, но если после этого нажать кнопку ↔ без предварительного нажатия кнопки F, то на индикаторе появится полярный угол, а число в памяти не изменится. Можно и не запоминать предварительно |z|, а сразу нажать кнопку ↔, тогда на индикаторе тоже появится полярный угол, но |z| безвозвратно пропадет.

то полярный угол можно использовать при умножении-делении чисел вместо аргумента с тем же успехом.

Для обратного перехода от полярных координат к декартовым нужно выполнить последовательность операций

|z|, F, R → P, ϕ, =,

после чего на индикаторе появится Re z, а если нажать кнопку ↔, то на индикаторе появится Im z. Для того чтобы не пропало число Re z, его предварительно можно занести в память. Если одно из чисел |z|, ϕ находится в памяти, его оттуда надо предварительно извлечь, нажав кнопку Π → x. Заметим, что если вместо полярного угла ввести любое равное ему по модулю 2π число, то результат не меняется.

Если числа в дроби вида z1 ◦ . . . ◦ zn заданы не в полярных, а в декартовых координатах, то неудобно их предварительно переводить в полярные координаты перед вычислением дроби. Можно вычислить по отдельности модуль и аргумент произведения, а потом преобразовать результат к стандартному виду.

Вначале можно вычислить (по модулю 2π) arg z с помощью последовательности операций

Re z1, F, R → P, Im z1, =, ↔, (−, )Π+, Re z2, F, R → P, Im z2, =, ↔, (−, ) Π+, . . . , Re z1, F, R → P, Im z1, =, ◦, Re z2, F, R → P, Im z2, =, ◦, . . . ,

при этом вначале надо обнулить память. После каждой операции F, R → P нажимаем кнопку ↔, чтобы вызвать на индикатор вычисленный arg zi , потом, если надо, меняем у него знак кнопкой «−» и прибавляем к числу в памяти кнопкой Π+.

Потом вычисляем |z| последовательностью операций

Re z1, F, R → P, Im z1, =, ◦, Re z2, F, R → P, Im z2, =, ◦, . . .

Для возведения в n-ю степень числа z есть более быстрый алгоритм. Для этого выполняем следующую последовательность операций:

Re z, F, R → P, Im z, =, F, ↔, ↔, ·, n, =, F, ↔, F, yx , n, =, F, P → R,

Π → x, ↔, x → Π, ↔,

при этом на индикаторе появится Re zn, а в памяти окажется Im zn. Рассмотрим теперь вопрос о решении кубических уравнений с дей-

ствительными коэффициентами на калькуляторе.

Начать естественно с преобразования уравнения x3 + ax2 + bx + c = 0 к виду x3 + px + q = 0. Делается это заменой x′ = x + a/3, тогда

p = b − a2/3, q = 2a3/27 − ab/3 + c.

Удобный алгоритм для вычисления p, q на калькуляторе таков:

a, a → Π, · , /, −3, +, b, F, ↔, · , /, 9, Π+, √,−, · , Π → x, +, c.

Число q оказывается на индикаторе, а p остается в памяти. Использовать формулу Кардано–Тартальи для вычислений неудобно,

так как придется неоднократно записывать промежуточные результаты.

Поэтому преобразуем уравнение x3 + px + q = 0 к виду 4x3 ± 3x + r = 0 заменой x = 2p|p|/3x′, тогда r = √27q/(2|p|3/2).

Рассмотрим три возможных случая.

1. Пусть 4x3 − 3x + r = 0, |r| 6 1. Это рассмотренный нами ранее неприводимый случай, и тогда корни находятся по формулам (ранее мы использовали косинусы, но с тем же успехом годятся и синусы)

x1 = sin ϕ, x2,3 = sin(ϕ ± 2π/3),

где r = sin 3ϕ.

записи комплексных чисел, мы можем ввести для числа z = r (cos ϕ + + i sin ϕ) полярную форму записи (r, ϕ). Полярная форма записи соответствует полярной системе координат, когда задано начало координат O, луч OB, а точка A, задаваемая комплексным числом (r, ϕ), получается, если от этого луча отложить угол BOA = ϕ, причем длина отрезка OA равна r, где r > 0. Число 0 в этой системе координат соответствует началу координат точке O.

В показательной форме записи комплексного числа z, т. е. в форме ex+iϕ = ex (cos ϕ + i sin ϕ), где x = ln(|z|) = ln r, формула умножения приобретет особенно красивый вид:

ex1+iϕ1 · ex2+iϕ2 = ex1+x2 · e(ϕ1 +ϕ2)i = ex1+x2+i(ϕ1+ϕ2) .

Задачи и упражнения к § 4.5

1. Докажите, что

где sign b – знак числа b R.

2.Постройте квадратные корни из данного числа с помощью циркуля

илинейки наиболее экономным способом.

3.Постройте корни четвертой степени из данного числа с помощью циркуля и линейки наиболее экономным способом.

4.Изобразите извлечение корня шестой степени из единицы с помо-

спомощью спичек.

6.На плоскости даны два квадрата Ai Bi Ci Di , i = 1, 2. Векторы OA, OB, OC, OD равны векторам A1A2, B1B2, C1C2, D1D2 соответственно. Докажите, что ABCD – квадрат.

7.Найдите сумму всех корней n-й степени из единицы.

8.Найдите произведение всех корней n-й степени из единицы.

9.Найдите сумму k-х степеней всех корней n-й степени из единицы.

10.Докажите равенство

a−1 a−1

(a, b) = X X 1 e2πibmn/a. m=0 n=0 a

11. Решите в действительных числах систему

(

sin x + sin y + sin z = 0; cos x + cos y + cos z = 0.

12. Решите в действительных числах систему

(

sin x + sin y + sin z = 1; cos x + cos y + cos z = 0.

13. Пусть |z|, |u|, |w| 6 1. Докажите, что |(z −u) (z −w) (u−w)|2 6 27. 14*. Правильный n-угольник вписан в единичную окружность. До-

кажите, что

а) сумма квадратов всех его сторон и диагоналей равна n; б) сумма всех его сторон и диагоналей равна n ctg π/2n; в) произведение всех его сторон и диагоналей равно nn/2.

15*. Обозначим вершины правильного n-угольника, вписанного в единичную окружность, через A1, . . . , An и продолжим нумерацию

16*. Вершины правильного n-угольника раскрашены в несколько цветов так, что все одноцветные вершины образуют также правильные многоугольники. Докажите, что среди них найдутся хотя бы два одинаковых.

17*. Обозначим fn (x) многочлен со старшим коэффициентом 1, корнями которого являются первообразные корни n-й степени из 1 в поле C и только они. Этот многочлен называется n-м круговым многочленом. Докажите, что fn (x) Z [x], deg fn (x) = ϕ(n) и

Y

xn − 1 = fd (x).

(iv) 1 + x15.

20*. Разложите на множители 1 + xn.