Гашков С.В. Современная элементарная алгебра в задачах и решениях

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

плексных чисел удовлетворяют следующим тождествам: |zw| = |z|

.pdf

Скачиваний:

134

Добавлен:

27.03.2016

Размер:

1.97 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 / 3322 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 > Следующая >>>

§ 4.3. Комплексные числа

211

П р и м е р ы. 1. (3 + 4i)−1 = 253 − 254 i. 2. (1 + i)−1 = 12 − 12 i.

Определение 94. Обозначим через |z| неотрицательное действитель-

ное число	pRe z2 + Im z2 = pa2 + b2,

называемое модулем комплексного числа z. Через z обозначим комплексное число Re z − i Im z = a − ib, называемое сопряженным к z

комплексным числом.

П р и м е р ы. 1. |3 + 4i| = √32 + 42 = 5. 2. 3 + 4i = 3 − 4i.

Упражнение 85. Проверьте, что

z−1 = |zz¯|2 , |z¯ | = |z|, z + z¯ = 2a, |z−1| = |z1| , |z|2 = z · z¯ .

Проверьте, что уравнение z2w = z1 с комплексной неизвестной w при

z2 6= 0 имеет единственное решение w = z1 · z2−1. Найдите это решение

непосредственно.

Определение 95.

Число z

1 ·

z−1

называется частным чисел z

, z

и обозначается

П р и м е р ы. 1.

(3 − 4i)

+ 25 i.

2. (3 − 4i) = (3 + 4i)

+ 25 i = −25

(3 + 4i)

3.Если |z| = 1, то z1 = z¯ .

4.Иногда деление комплексных чисел можно выполнить быстрее, чем пользуясь непосредственным определением:

8 − 27i

23 + 33i

= 22

−

9 = 5

6i.

2 + 3i

− −

Далее множество всех комплексных чисел обозначается C.

Упражнение 86.

Проверьте, что для любых z, w C

z/w

z ± w

где в последнем тождестве, естественно, w 6= 0.

На алгебраическом жаргоне предыдущее утверждение сформулировали бы так: операция сопряжения является автоморфизмом поля C.

14*

212	Глава IV. Алгебраические уравнения

Это утверждение обобщается в следующей теореме.

Теорема 93. Пусть f(z) – произвольный многочлен с комплексными коэффициентами, а многочлен f (z) получается из него заменой всех коэффициентов на сопряженные. Тогда f (z) = f(z) и, в частности, если все коэффициенты f(z) действительные, то f(z) = f(z).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть f(z) = anzn + . . . + a0, тогда, применяя индукцию и тождества упражнения 86, имеем

anzn +. . .+a0 =anzn +. . .+a0 =anzn +. . .+a0 =an (z)n +. . .+a0 = f (z).

Следствие из теоремы 93. Пусть f(z) – произвольный многочлен с комплексными коэффициентами, а многочлен f (z) получается из него заменой всех коэффициентов на сопряженные. Тогда

f (z) = 0 f(z) = 0

и, в частности, если все коэффициенты f(z) действительные, то f(z) = 0 f(z) = 0.

Определение 96. Скалярным произведением чисел z = a + ib

и w = c + id назовем число hw, zi = Re (wz) = ac + bd.

Упражнение 87. Проверьте следующие свойства скалярного произведения:

а) симметричность: hw, zi = hz, wi;

б) однородность: ahw, zi = haw, zi для любого a R;

в) аддитивность hw1 + w2, zi = hw1, zi + hw2, zi;

г) неотрицательность квадрата (положительная определенность) hz, zi = |z|2 > 0.

Определение 97. Числа z и w назовем ортогональными, если hw, zi = 0.

Упражнение 88. Проверьте, что
а) числа z и iz всегда ортогональны,
б) числа z и w ортогональны	z = iaw, где a R.
Упражнение 89. Выведите	из упражнения 86, что модули

ком-

· |w|,

§ 4.3. Комплексные числа

213

Упражнение 90. а) Запишите первое из двух предыдущих тождеств, заменяя модули их выражениями через действительные и мнимые части. Полученное тождество называется тождеством Фибоначчи и было открыто задолго до появления комплексных чисел.

б) Докажите его непосредственно.

в) Натуральное число назовем шумерским, если оно является суммой двух квадратов натуральных чисел. Докажите, что произведение шумерских чисел – шумерское число.

г) Проверьте тождество hw, zi2 + hiw, zi2 = |z|2|w|2. У к а з а - н и е. Так как Re (iz) =−Im z, то hiw, zi = Re (iwz) = − Im (wz), значит,

hw, zi2 + hiw, zi2 = Re (wz)2 + Im (wz)2 = |wz|2 = |z|2|w|2.

д) Проверьте, что предыдущее тождество – это просто другая запись тождества Фибоначчи.

Из тождества Фибоначчи немедленно следует частный случай неравенства Коши–Буняковского–Шварца |hw, zi| 6 |z| · |w|.

Упражнение 91. Проверьте, что в равенство оно обращается тогда

и только тогда, когда z = aw, где a R.
Из неравенства \|hw, zi\| 6 \|z\| · \|w\| немедленно	следует неравенство
треугольника \|z\| + \|w\| > \|z + w\|. Действительно,	согласно упражне-
нию 87 и неравенству Коши–Буняковского

|z + w|2 = hw + z, w + zi = hw, wi + hz, zi + 2hw, zi 6

6 |w|2 + |z|2 + 2|z||w| = (|z| + |w|)2. Для комплексных чисел есть удобная геометрическая интерпрета-

ция * – их изображают точками плоскости с координатами (a, b).
Эквивалентным образом, их можно изоб-	Im z			z(a, b)
ражать векторами, выходящими из начала	•6		*•
координат и с концом в точке (a, b) (рис. 24).
Множество всех действительных чисел при					Re z
этом изображается одной из осей координат,			-
называемой действительной осью, а мно-			•
называемой действительной осью, а мно-		Рис. 24
жество всех чисто мнимых чисел, т. е. чисел		Рис. 24
жество всех чисто мнимых чисел, т. е. чисел

с нулевой действительной частью, изображается другой осью координат, называемой мнимой осью. Модулем комплексного числа является длина изображающего его вектора.

* Предложенная в начале XIX в. независимо французом Ж. Арганом и датчанином К. Весселем, но вошедшая во всеобщее употребление благодаря Гауссу.

214	Глава IV. Алгебраические уравнения

6z(2, 1)•

- HHHHHHHH•

z¯ (2, −1)

Рис. 25. Операция сопряжения

0 6 arg z < 2π.

Очевидно, например, что на комплексной плоскости числа z и z¯ расположены симметрично относительно действительной оси (рис. 25).

Операция сложения комплексных чисел интерпретируется как сложение векторов (рис. 26).

Определение 98. Угол ϕ, образованный вектором z и положительным направлением действительной оси Ox, называется аргументом комплексного числа z и обозначается arg z.

Аргумент определяется только для ненулевых чисел и обычно берется в пределах

6		z(3, 2) = z1				+ z2
		z(3, 2) = z1				+ z2
					*
				3•



2 (1,				1
2 (1,	• *•			1
z	1)		z (2, 1)



						-
						-

Рис. 26. Сложение комплексных чисел

6			• (a, b)

				b
\|z\|				b
\|z\|


	ϕ		-
		a
		a

Рис. 27. Тригонометрическая форма

Пр и м е р ы. 1. arg(1 + i) = π/4. 2. arg(1 − i) = 7π/4. 3. arg(−1 − i) =

=5π/4. 4. arg(−1 + i) = 3π/4.

Из треугольника, изображенного на рис. 27, легко выразить тригонометрические функции от аргумента ϕ:

cos ϕ =

sin ϕ =

tg ϕ =

Отсюда

a2 + b2

a = a2 + b2 cos ϕ = |z| cos ϕ,

b = a2 + b2 sin ϕ = |z| sin ϕ,

значит,

z = a + bi = |z|(cos ϕ + i sin ϕ).

Получившаяся (так называемая тригонометрическая) форма записи числа z удобна при умножении.

Рис. 28. Умножение комплексных чисел

§ 4.3. Комплексные числа

215

Упражнение 92. Используя тригонометрические теоремы сложения, проверьте, что если

z1 = |z1|(cos ϕ1 + i · sin ϕ1), z2 = |z2|(cos ϕ2 + i · sin ϕ2),

то

z1 · z2 = |z1 · z2|(cos(ϕ1 + ϕ2) + i sin(ϕ1 + ϕ2)),

z1 = ||z1|| (cos(ϕ1 − ϕ2) + i sin(ϕ1 − ϕ2)). z2 z2

Впоследнем равенстве предполагается, конечно, что z2 6= 0. Упражнение 93. Из предыдущих равенств выведите, что

arg (z1z2) = (arg z1 + arg z2) mod 2π, arg	z1	= (arg z1 − arg z2) mod 2π.
	z2

Применяя индукцию, докажите, что

arg(z1z2 . . . zn) = (arg z1 + arg z2 + . . . + arg zn) mod 2π.

Упражнение 94. Докажите, что при умножении чисел zi всегда на диаграмме Весселя–Аргана (рис. 28) треугольники с вершинами в точках (0, 0), (1, 0), z1 и (0, 0), z2, z подобны.

Упражнение 95. Постройте циркулем и линейкой сумму, разность, произведение и частное двух данных комплексных чисел (единица масштаба, действительная и мнимая оси заданы). Попробуйте сделать это самым экономным образом.

Скалярное произведение чисел z и w теперь, оказывается, совпадает со скалярным произведением векторов z и w, которое геометрически определяется как произведение длин векторов на косинус угла между ними.

Упражнение 96. Проверьте, что действительно для ненулевых векторов

|z||w| cos arg(w/z) = Re (wz) = hw, zi.

6		z(2, 6) = z1z2
			•


			ψ




			•z2 (2, 2)


			* z1 (2, 1)
	ϕ		•

		ψ	-
	ϕ	-	-

Теперь мы можем использовать комплексные числа для доказательства геометрических теорем. Например, теорему о высотах треугольни-

ка можно доказать следующим образом. Пусть дан треугольник ABC (см. рис. 29). Выберем систему координат так, чтобы основание AB

216

Глава IV. Алгебраические уравнения

лежало на действительной оси, а мни-

мая ось проходила по высоте CO, где O

совпадает с началом координат. Тогда

вершины треугольника A, B изобража-

ются

действительными числами a, b,

а вершина C – чисто мнимым числом ic.

Тогда

ортоцентру H (точке

пересече-

ния высот) треугольника ABC отвеча-

AAA

ет чисто мнимое число

−iabc

. Действи-

тельно, вектор AH соответствует числу

a + (iab)/c, а вектор BC – числу b − ic,

−iab/c

а согласно упражнению 88 эти век-

тора ортогональны (перпендикулярны),

PPP

так как a + (iab)/c = (b − ic)ia/c, ана-

PPPA

логично BH ортогонален AC, так как

b + (iab)/c = (a − ic)ib/c, а ортогональ-

Рис. 29. Теорема об ортоцентре

ность OH и AB ясна из условия.

Неравенства |z1| − |z2| 6 |z1 ± z2| 6 |z1| + |z2| можно интерпретировать на комплексной плоскости как неравенства треугольника. Первое

из них уже было доказано. Второе неравенство следует из первого при смене знака у z2.

Упражнение 97. а) Найдите условие обращения неравенства тре-

угольника в равенство с помощью комплексных чисел.

б) Докажите неравенство

|z1 + z2| 6 |z1| + |z2|

использованием

действительных чисел, сведя его к неравенству

√

+ y1 +

+ y2

(x1 + x2)2 + (y1 + y2)2.

1 ±

± n| | 1| + + |

в) Докажите неравенство

. . .

z 6 z

. . .

z .

С помощью тригонометрической формы доказывается следующая теорема.

Теорема 94 (формула Муавра). Если z = r (cos α + i sin α), то при любом натуральном n

zn = rn (cos nα + i sin nα).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Доказательство проводится по индукции. База индукции (n = 1) очевидна. Шаг индукции обосновывается с помощью упражнения 92. Легко видеть, что формула Муавра верна и для отрицательных целых n.

§ 4.3. Комплексные числа

217

z3 (−2, 2)

z2 (2, 0)

@6 z(1, 1)

z8 (16, 0)

z4 (−4, 0)

(−4, −4)

(8, −8)

z6 (0, −8)

Рис. 30. Возведение в степень комплексных чисел

На рис. 30 видно, что точки wn укладываются на спиральную линию, состоящую из точек w, удовлетворяющих условию

|w| = carg w .

Упражнение 98. Найдите эту константу c, соответствующую изображенным числам.

Свойство этой спирали не изменяться при преобразованиях подобия так потрясло Якоба Бернулли *, что согласно завещанию ее изобразили на его могильной плите в Базельском соборе с надписью «Eadem mutata resurgo» **. Кроме Бернулли, ее изучали ранее Декарт и Торичелли. Любопытно, что логарифмическая спираль используется в технике и даже встречается в живой природе (ее можно увидеть на раковине моллюска Haliotis splendis, а также внимательно разглядывая расположение семечек в подсолнухе).

Задачи и упражнения к § 4.3

1.Вычислите (29 + 23i)/(1 + 5i).

2.Докажите, что:

а) точки 1 + 4i, 2 + 7i, 3 + 10i лежат на одной прямой;

б) точки 2 + i, 4 + 4i, 6 + 9i, 8 + 16i лежат на одной параболе.

*	Я. Бернулли (Jacob Bernoulli, 1654–1705) – знаменитый швейцарский математик.
Брат не менее знаменитого Иоганна Бернулли.
**	Измененная, воскресаю прежней (лат.).

218 Глава IV. Алгебраические уравнения

3. Докажите неравенство треугольника с помощью тригонометрической формы.

У к а з а н и е. Пусть z1 = r1 (cos ϕ1 + i sin ϕ1), z2 = r2 (cos ϕ2 + i sin ϕ2), тогда z1 + z2 = r1 cos ϕ1 + r2 cos ϕ2 + i(r1 sin ϕ1 + r2 sin ϕ2), откуда

|z1 + z2|2 = (r1 cos ϕ1 + r2 cos ϕ2)2 + (r1 sin ϕ1 + r2 sin ϕ2)2 =

=r12 + 2r1r2 cos(ϕ1 − ϕ2) + r22 6 (r1 + r2)2 = (|z1| + |z2|)2.

4.Какие части комплексной плоскости C выделяются условиями:

Re z > 0, Re z > 0, Re z = 0, a 6 Im z 6 b, |z − z0| = R, |z − z0| < R,

R6 |z| 6 R′, Re 1/z = 1/R?

5.Найдите множество точек на комплексной плоскости C, удовлетворяющее условиям:

а) |z − a| + |z − b| = k (эллипс); б) |z − a| + |z − b| 6 k;

в) |z − a| − |z − b| = k (гипербола);

г) |z − a|/|z − b| = k (окружность Аполлония); д) |z − a|/|1 − az¯ | < 1;

е) |z − a|/|1 − az¯ | > 1.

6.Отображение комплексной плоскости C в себя, задаваемое формулой w = iz, есть поворот вокруг начала координат на угол 90◦.

7.Отображение комплексной плоскости C в себя, задаваемое формулой w = az, |a| = 1, есть поворот вокруг начала координат.

8.Отображение комплексной плоскости C в себя, задаваемое формулой w = az + b, a, b C, есть подобие первого рода (не меняющее ориентации), при |a| = 1 – движение (т. е. преобразование, не меняющее расстояния между точками), при a = 1 – параллельный перенос.

9*. Отображение комплексной плоскости в себя, задаваемое формулой w = 1/z¯ , есть инверсия с центром в 0 относительно окружности

\|z\| = 1.	Найдите максимум и минимум \|z\| при условии
10.	Найдите максимум и минимум \|z\| при условии
	z + z1	= a.


11.	Отображение C в C, задаваемое формулой

az + b	, a, b, c, d C, ad − bc 6= 0,
w = cz + d

переводит прямую и окружность в прямую или окружность и сохраняет углы между ними.

12. Если точки zk лежат на одной прямой, то (z1 − z2)/(z2 − z3) R, и обратно.

§ 4.3. Комплексные числа

219

13. Если точки zk лежат на одной окружности, то

и обратно.

(z1 − z3)/(z2 − z3) / (z1 − z4)/(z2 − z4) R,

14*. Найдите наибольшее натуральное n такое, что существуют числа

, . . .

, zn

min

j |

> max

. Найдите эти числа.

, для которых i6= j

| i −

i |

15. Если стороны треугольника удовлетворяют равенству a2 + b2 + c2 = ab + bc + ac,

то треугольник правильный.

16. Если вершинами треугольника на комплексной плоскости являются числа u, v, w, удовлетворяющие равенству

u2 + v2 + w2 = uv + vw + uw,

то треугольник правильный.

17. Если вершинами треугольника на комплексной плоскости являются числа u, v, w, то его центр тяжести (точка пересечения медиан)

изображается числом (u + v + w)/3.
18. Докажите неравенство Птолемея: для лю-				D
бого четырехугольника ABCD				D
бого четырехугольника ABCD
\|AD\|\|BC\| 6 \|BD\|\|AC\| + \|CD\|\|AB\|.
\|AD\|\|BC\| 6 \|BD\|\|AC\| + \|CD\|\|AB\|.	B
У к а з а н и е. Примените тождество для комплекс-	B
У к а з а н и е. Примените тождество для комплекс-	HH
ных чисел			HH
(a − d) (c − b) + (b − d) (a − c) + (c − d) (b − a) = 0		C
(a − d) (c − b) + (b − d) (a − c) + (c − d) (b − a) = 0
и выведите из него с помощью неравенства тре-	A
угольника, что	Рис. 31. Теорема
\|a − d\|\|b − c\| 6 \|b − d\|\|a − c\| + \|c − d\|\|a − b\|.	Птолемея
\|a − d\|\|b − c\| 6 \|b − d\|\|a − c\| + \|c − d\|\|a − b\|.
19. Докажите, что для четырехугольника ABCD равенство

|AD||BC| = |BD||AC| + |CD||AB|

справедливо тогда и только тогда, когда вокруг него можно описать окружность.

У к а з а н и е. Примените указание к задаче 18 и задачу 13.

20. Докажите тождества и предложите для них геометрическую ин-

терпретацию:
а) \|z + w\|2 + \|z − w\|2 = 2(\|z\|2 + \|w\|2),
		√				√
б) \|z\| + \|w\| = \|(z + w)/2 −			zw	\| + \|(z	+ w)/2 +		zw	\|.
У к а з а н и е. √		= b, если b2 = a.
У к а з а н и е. √	a	= b, если b2 = a.

220	Глава IV. Алгебраические уравнения

21.Докажите, что отображение w = (1 + iz)/(1 − iz) переводит полуплоскость Im z > 0 в круг |w| 6 1.

22.Пусть |z| = |u| = |w|. Докажите, что

zuz + u + w

= |z|.

условии

+ uw

+ zw

Докажите, что при

следующие утверждения экви

| |

валентны:

а) точки z, u, w образуют правильный треугольник, т. е. |z − w| = = |z − u| = |u − w|,

б) справедливо равенство z + u + w = 0,

в) числа z, u, w являются корнями уравнения вида x3 = v, v C. 23. Пусть |z1| = |z2| = |z3| = |z4|. Докажите, что следующие утвержде-

ния эквивалентны:

а) точки zi образуют прямоугольник,

б) справедливо равенство z1 + z2 + z3 + z4 = 0, в) числа zi являются корнями уравнения вида

(z2 − a2) (z2 − b2) = 0,

|a| = |b| 6= 0.

|a|

24. Пусть

z = 1. Докажите, что

−

z − a|

25*.

комплексных числах системы

Решите в действительных и

−

−+

−

x − 3y

= 2;

x +

= 2;

y +

3x y = 3;

2xy +

3x y

= 3.

2 + 2

26. Можно в качестве основания позиционной системы счисления выбирать даже комплексные числа, например, при выборе основания b = 2i получается «мнимочетверичная» система. В качестве цифр в ней используются 0, 1, 2, 3, и запись (an, . . . , a0, a−1, . . . , a−k)2i означает

aS · (2i)S .

S=−k

Проверьте, что

(a2n . . . a0, a−1 . . . a−2k)2i =

=(a2n . . . a2, a−2 . . . a−2k)−4 + 2i(a2n−1 . . . a1, a−1 . . . a−2k+1)−4.

Вэтой системе любое комплексное число с двоично-рациональными компонентами можно записать без знака и без разделения на действительную и мнимую часть.

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 / 3322 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
04.06.2015154.11 Кб281ВЫСОКОЧАСТОТНАЯ ЭЛЕКТРОТЕРАПИЯ.doc
#
16.11.2019606.72 Кб3ВЭД.doc
#
12.11.2019181.76 Кб3Г.О.Крылов.Lektsia_1.doc
#
12.08.2019203.78 Кб8Г1.doc
#
12.08.2019986.62 Кб10Г2.doc
#
27.03.20161.97 Mб134Гашков С.В. Современная элементарная алгебра в задачах и решениях.pdf
#
04.06.2015169.47 Кб114Гидролиз солей.doc
#
01.07.2025392.19 Кб2Гидромеханика.doc
#
05.06.2015160.63 Кб7ГК_РФ_ч3.rtf
#
01.03.20252.39 Mб11Глава первая.docx
#
23.09.2019848.38 Кб148Главные вопросы.doc