Гашков С.В. Современная элементарная алгебра в задачах и решениях

до ai − 1. Тогда, собравшись вместе, они могут выработать пароль k, взяв в качестве него такое число в пределах от 1 до a − 1, a = a1a2a3, которое при делении на ai дает в остатке ki . Как было показано в этом параграфе, число k можно вычислить по формуле k = k′ − [k′/a]a, где

k′ = k1n1 + k2n2 + kn3, ni mi −ai qi = 1, mi = aj ak, j =6 k=6 i =6 j.

Для вычисления ni можно применить алгоритм Евклида. Нетрудно написать программу для компьютера, которая будет вычислять пароль k после того, как «компаньоны», таясь друг от друга, введут в него свои ключи. Положим N = 2n. Если двое, в тайне от третьего, захотят найти ключ k, то им придется перебрать все возможные варианты выбора третьего ключа (потому что разным способам выбора ключей соответствуют разные значения k), т. е. перебрать не менее 2N вариантов.

7*. Предложите алгоритм разделения секрета со свойствами, аналогичными предыдущему, но основанный на лагранжевой интерполяции.

Глава III. Многочлены

§ 3.1. Кольцо многочленов

Возьмем произвольное кольцо K и назовем многочленом над этим кольцом формальную сумму

f(x) = anxn + an−1xn−1 + . . . + a1x + a0,

где элементы a0, a1, . . . , an−1, an, n > 0, принадлежат кольцу K , а x – не входящий в кольцо символ переменной.

Определение 65. Элементы кольца a0, . . ., an называются коэффициентами многочлена. Будем рассматривать только многочлены, у которых старший коэффициент an отличен от нуля.

Степенью многочлена называется в этом случае число n, обозначаемое далее как deg f(x).

Элементы кольца K , не равные 0, будем рассматривать как многочлены нулевой степени. Нуль также считаем многочленом. Степень у нулевого многочлена не определена.

Определение 66. Многочлены

f(x) = anxn + an−1xn−1 + . . . + a1x + a0, g(x) = bmxm + am−1xm−1 + . . . + b1x + b0

называются равными, если m = n и равны все коэффициенты при соответствующих степенях переменной, т. е. ai = bi , i = 0, 1, . . . , n.

Определим арифметические операции на множестве многочленов K[x] с коэффициентами из кольца K .

Определение 67. Назовем суммой многочленов

f(x) = anxn + an−1xn−1 + . . . + a1x + a0, g(x) = bmxm + am−1xm−1 + . . . + b1x + b0

многочлен h(x), коэффициент которого при xi равен ci = ai + bi для любого i = 0, 1, . . . , max{n, m}.

Если один или несколько старших коэффициентов у рассматриваемой суммы равны нулю (а это возможно лишь при n = m), то они просто

удаляются из нее, так, чтобы старший из оставшихся коэффициентов был отличен от нуля. Многочлен, имеющий только один ненулевой коэффициент, называется одночленом. Аналогично определяются двучлены и трехчлены.

Определение 68. Произведением многочленов

f(x) = anxn + an−1xn−1 + . . . + a1x + a0, g(x) = bmxm + am−1xm−1 + . . . + b1x + b0

называется многочлен h(x), коэффициент которого при xi равен

если условиться, что все входящие в нее коэффициенты с индексами, не лежащими в пределах от 0 до n, равны нулю.

Теорема 57. Множество всех многочленов над кольцом K – кольцо.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Нулевым элементом кольца многочленов является нулевой многочлен, отождествляемый с нулем кольца K , а единичным – единица кольца K .

Обратным элементом для произвольного многочлена f(x) = anxn + an−1xn−1 + . . . + a1x + a0

относительно операции сложения является многочлен

−f(x) = (−an)xn + (−an−1)xn−1 + . . . + (−a1)x + (−a0),

получающийся из исходного «сменой знака» у всех коэффициентов. Поэтому вычитание многочленов осуществляется так же, как и сложение, но с заменой операции сложения коэффициентов на операцию вычитания.

Выполнение аксиом коммутативной группы относительно операции сложения непосредственно вытекает из справедливости этих аксиом для кольца коэффициентов, которое, кстати, можно считать содержащимся в соответствующем кольце многочленов.

Легко видеть, что каждый многочлен равен сумме всех своих одночленов.

136 Глава III. Многочлены

Аксиома дистрибутивности (другими словами, распределительный закон умножения относительно сложения) для кольца многочленов легко

а аксиома ассоциативности умножения для кольца многочленов легко следует из аксиомы дистрибутивности, если с ее помощью выполнять умножение многочленов, разбивая их на суммы одночленов и складывая потом получившиеся произведения одночленов, для которых выполнение ассоциативного закона относительно умножения очевидно.

Теорема 58. Степень суммы многочленов над кольцом не превосходит наибольшей из степеней слагаемых.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Для двух слагаемых это очевидно из определения операции сложения. Для случая многих слагаемых это легко доказывается по индукции. Напомним, что областью целостности называется кольцо без де-

лителей нуля.

Упражнение 56. Докажите, что а) кольцо целых чисел является областью целостности;

б) любое поле также является областью целостности.

Теорема 59. В кольце многочленов над областью целостности степень произведения ненулевых многочленов равна сумме степеней сомножителей.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Доказательство для случая двух сомножителей следует из определения умножения многочленов: наибольшая возможная степень x в произведении многочленов f(x) = anxn + an−1 +

+ . . . + a1x + a0, an =6 0, и g(x) = bmxm + am−1xm−1 + . . . + b1x + bm, bm =6 0, равна n + m, т. к. a0b0 =6 0 согласно свойству области целост-

ности. Для случая нескольких сомножителей это легко доказывается по индукции.

! Если в кольце K есть делители нуля, то теорема 59 неверна.

Упражнение 57. Например, если K = Z6, то 3¯ x · 2¯ x = 0,¯ и в этом случае степень произведения меньше суммы степеней сомножителей. Для произвольного кольца коэффициентов степень произведения не больше суммы степеней сомножителей.

Определение 69. Если для многочленов f(x) и g(x) =6 0 справедливо разложение f(x) = g(x) · h(x) + r(x), где h(x) и r(x) – некоторые другие многочлены, причем deg r(x) < deg g(x), то h(x) называется частным,

а r(x) – остатком.

Теорема 60 (о делении с остатком). Для любых многочленов f(x)

и g(x) 6= 0 над произвольным полем F частное и остаток существуют и определены однозначно как многочлены над тем же полем F.

До к а з а т е л ь с т в о. Существование частного и остатка очевидно

вслучае deg f(x) < deg g(x).

В случае deg f(x) > deg g(x) применим для их нахождения следующий алгоритм деления с остатком.

кончится, так как на каждом шаге будет понижаться степень разности до тех пор, пока она не станет меньше m = deg g(x). Тогда получим, что f(x) = g(x) · ϕ(x) + r(x), причем deg r(x) < deg g(x).

Доказательство единственности проведем от противного. Пусть f(x) = g(x) · h1 (x) + r1 (x) = g(x) · h2 (x) + r2 (x),

h1 (x) = h2 (x), а значит, и r1 (x) = r2 (x). Противоречие.

З а м е ч а н и е. Для доказательства единственности требуется, по крайней мере, чтобы кольцо коэффициентов было областью целостности. Для доказательства существования в случае, если K не поле, достаточно считать, что старший коэффициент g(x) равен 1.

Далее у нас изредка будут встречаться и многочлены от нескольких переменных. Определения основных понятий в этом случае, как правило, являются естественными обобщениями соответствующих определений для одной переменной.

Назовем многочленом над кольцом K от переменных x1, . . . , xn

конечную формальную сумму

где коэффициенты ai1 ... in принадлежат кольцу K , а x1, . . ., xn – не входящие в кольцо символы переменных.

называются равными, если попарно равны все их коэффициенты

ai1 ... in = bi1 ... in .

Определение 71. Многочлен, имеющий только один ненулевой коэффициент, называется одночленом. Степенью одночлена называется сумма степеней всех его переменных. Степенью многочлена называется максимальная из степеней всех его одночленов. Одночлены с максимальной степенью называются старшими одночленами. Так же называются их коэффициенты.

! Старших одночленов может быть несколько.

1+ x1x2 + x22 – неполный квадрат суммы.

2.Если переменных немного, то стараются обходится без индексов: x2 + xy + y2.

Будем рассматривать только многочлены, у которых старшие коэффициенты отличны от нуля.

Элементы кольца K , не равные 0, будем рассматривать как многочлены нулевой степени. Степень у нулевого многочлена не определена.

Множество всех определенных выше многочленов от переменных x1, . . . , xn обозначают K[x1, . . . , xn]. Определим арифметические операции на этом кольце.

Определение 72. Назовем суммой многочленов

приведением подобных членов.

П р и м е р ы. 1. x2 − y2 = (x − y) (x + y).

2.x3 − y3 = (x − y) (x2 + xy + y2).

3.x3 + y3 = (x + y) (x2 − xy + y2).

4.xn − yn = (x − y) (xn−1 + xn−2y + . . . + xyn−2 + yn−1).

5.x2n+1 + y2n+1 = (x + y) (x2n − x2n−1y + . . . − xy2n−1 + y2n).

6.Еще примерами могут служить биномиальная и полиномиальная теоремы.

1.Найдите сумму коэффициентов многочлена (1−1998x + 1999x2)2001.

2.Сравнить коэффициенты при x1994 в многочленах

на x − c – остаток d. Какой остаток будет при делении на (x − a) (x − c)? 6*. Найдите коэффициент при x14 в частном от деления x1994 − 1 на

x4 + x3 + 2x2 + x + 1.

У к а з а н и е. Сначала поделить с остатком на x12 − 1, а потом умно-

жить на многочлен

x12 − 1

x4 + x3 + 2x2 + x + 1 .

7*. Найдите все многочлены P(x), для которых справедливо тождество

xP(x − 1) = (x − 26)P(x).

8*. Пусть f(x) = 1 + x + x2 + x3 + x4. Найдите остаток от деления f(x5) на f(x).

9*. Многочлен P(x) с а) натуральными; б) целыми коэффициентами при любом n принимает натуральное значение с суммой десятичных цифр s(n). Докажите, что последовательность s(n) содержит бесконечно много одинаковых чисел.

10.Многочлен от двух переменных x1994y1994 + 1 нельзя представить

ввиде произведения двух многочленов от переменных x и y соответственно.

11.Разделить многочлен

12. Если x − 1 делит P(xn), то xn − 1 делит P(xn).

13*. При каком целом a многочлен x13 + x + 90 делится на x2 −x + a?