12.Докажите, что множество симметрических многочленов образует подкольцо в кольце K[x1, . . . , xn].
13.Многочлен называется кососимметрическим (или антисимметрическим), если он меняет знак при любой транспозиции переменных. Проверьте, что кососимметрический многочлен меняет знак при нечетных и не меняет знак при четных перестановках переменных.
14.Докажите, что сумма и разность кососимметрических многочленов – кососимметрический многочлен, а произведение – симметрический многочлен.
15.Докажите, что любой многочлен от двух переменных представляется в виде суммы симметрического и кососимметрического многочленов, причем единственным образом.
16.Докажите, что многочлен
Y
D(x1, . . . , xn) = (xi − xj)
16i< j6n
–кососимметрический.
17.Докажите, что любой кососимметрический многочлен представим в виде произведения D(x1, . . . , xn) на симметрический многочлен.
18*. Докажите, что отображение
X
f(x1, . . . , xn) → fα (x1, . . . , xn)
α Sn
переводит любой многочлен в симметрический, а отображение
Xn
f(x1, . . . , xn) →
ε(α) fα (x1
, . . . , xn)
α S
(где ε(α) – знак перестановки α) – в кососимметрический.
19*. Докажите, что если многочлен не меняется при четных перестановках, то его можно представить как сумму симметрического и кососимметрического многочленов.
§ 3.11. Быстрое умножение
Первым придумал быстрый алгоритм умножения в 1962 г. А. А. Карацуба *.
* Тогда он был аспирантом мехмата. В 1963–64 гг. преподавал в ФМШ № 18 при МГУ. Более 30 лет является профессором мехмата МГУ. Выдающийся специалист по аналитической теории чисел.
192
Глава III. Многочлены
Идею его метода можно пояснить на следующем примере. Пусть перемножаются восьмизначные числа U = u1 . . . u8 и V = v1 . . . v8. Представим их как двузначные числа в 104-значной системе счисления: U = U1U2, V = V1V2. Тогда их произведение можно представить в следующем виде:
Эта формула сводит умножение 8-значных чисел к трем операциям умножения и шести операциям сложения-вычитания 4-значных чисел (с учетом переносов в следующие разряды). Обычный способ требует четырех умножений и трех сложений-вычитаний, но так как три раза сложить 4-значные числа можно быстрее, чем один раз перемножить, то метод Карацубы уже 8-значные числа перемножает быстрее. В общем случае он требует для перемножения n-значных чисел по порядку
не больше
nlog2 3 < n1,585
операций над цифрами, для школьного же метода требуется по порядку n2 операций.
Рассмотрим вопрос о сложности умножения более подробно. Начнем с умножения многочленов.
Лемма 23. Умножение двух многочленов степеней, меньших 2n, можно свести к умножению трех пар многочленов степеней, меньших n, и сложению четырех пар многочленов степеней, меньших n, и вычитанию двух пар многочленов степеней, меньших 2n, с помощью тождества
(f1xn + f0) (g1xn + g0) =
= f1 g1x2n + ((f1 + f0) (g1 + g0) − f1 g1 − f0 g0)xn + f0 g0.
Обозначим через M(n) наименьшее количество операций сложения, вычитания и умножения (выполняемых над коэффициентами многочленов и промежуточными числовыми результатами), требующихся для перемножения двух многочленов степеней, меньших n.
где степени многочленов f1 и g1 меньше n/2 , а степени многочленов f0 и g0 меньше n/2 , и заметим, что для вычисления произведений f1 g1, f0 g0 требуется не более M( n/2 ) + M( n/2 ) операций, для вычисления
сумм f1 + f0, g1 + g0, f1 g1 + f0 g0 нужно не более 2 n/2 + 2 n/2 − 1 операций (так как число операций равно наименьшему из количеств нену-
левых коэффициентов у складываемых многочленов), для вычисления произведения (f1 + f0) (g1 + g0) используется не более M( n/2 ) операций, для вычисления разности (f1 + f0) (g1 + g0) − f1 g1 − f0 g0 достаточна n − 1 операция, так как
(f1 + f0) (g1 + g0) − f1 g1 − f0 g0 = f1 g0 + f0 g1,
значит, степень этого многочлена равна n/2 + n/2 − 2 = n − 2, сложение многочленов f0 g0 и f1 g1x2 n/2 выполняется «бесплатно», так как они не имеют подобных членов, причем в их сумме отсутствует член вида x2 n/2−1, поэтому для сложения многочленов
f0 g0 + f1 g1x2 n/2 , (f1 g0 + f0 g1)x n/2
достаточно n − 2 операции. В итоге требуется дополнительно 4 n/2 + + 2n − 4 операции.
Теорема 91. Если 2k делит n, то справедливо неравенство M(n) 6 3k (M(n/2k) + 8n/2k − 2) − 8n + 2,
а при любом n – неравенство
M(n) < (35/3)nlg2 3.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть 2km = n. Тогда неравенство M(n) 6 3k (M(m) + 8m − 2) − 8n + 2
доказывается индукцией по k. База (k = 1) доказана в лемме 2. Шаг индукции обосновывается тем же неравенством.
Выберем k так, чтобы 2k < n 6 2k+1. Тогда если 3 · 2k−1 < n, то M(n) 6 M(2k+1) < 3k−1 (M(4) + 30) 6 3k−1 ·55< 55· n3 lg2 3 < 353 nlg2 3.
Пусть теперь M(n) обозначает наименьшее количество операций сложения, вычитания и умножения, выполняемых над числами, меньшими a, требующихся для перемножения двух n-значных чисел, записанных в позиционной системе счисления по основанию a.
13 Гашков
194 Глава III. Многочлены
Лемма 25. Справедливы неравенства
M(2n) 6 3M(n) + 19n, M(2n + 1) 6 2M(n + 1) + M(n) + 17n + 10. Д о к а з а т е л ь с т в о. Применим тождества
где числа f1 и g1 – n/2 -разрядные, а числа f0 и g0 соответственно n/2 -разрядные, и заметим, что для вычисления произведений f1 g1 и f0 g0 требуется M( n/2 ) + M( n/2 ) операций, для вычисления разностей и суммы f0 − f1, g0 − g1, f1 g1 + f0 g0 требуется не более
операций, так как числа f1 g1 и f0 g0 имеют не более чем 2 n/2 и 2 n/2 разрядов соответственно, а в случае четного n нужно еще 2 n/2 = n операций для предварительного сравнения чисел (чтобы не вычитать из меньшего большее). Заметим далее, что для вычисления произведения (f1 − f0) (g1 − g0) требуется не более M( n/2 ) + 1 операций (одна операция для вычисления знака у произведения), для вычисления разности
f1 g1 + f0 g0 − (f1 − f0) (g1 − g0) = f1 g0 + f0 g1
требуется не более 2 n/2 + 1 + 2 n/2 − 1 = 4 n/2 операций, сложение чисел f0 g0 и f1 g1b2 n/2 осуществляется «бесплатно» (записи этих чисел просто объединяются в одну запись), а для сложения чисел f1 g1b2 n/2 + + f0 g0 и (f1 g0 + f0 g1)b n/2 требуется не более 2n − n/2 + n + 1 − 1 = = 2n + n/2 операций (так как число f1 g0 + f0 g1 имеет не более n + 1 разряда, а младшие n/2 разрядов числа f0 g0 не участвуют в операциях). В итоге требуется дополнительно
В следующим цикле задач речь идет о том, как по возможности быстрее производить арифметические операции с дробями, сводя их к операциям над целыми числами (или многочленами).
M(n) 6 Ms (n) = n2 + (n − 1)2.
§ 3.11. Быстрое умножение
195
1. Допустим, что дроби a/b и c/d несократимы. Пусть (a, d) = g1, (b, c) = g2. Докажите, что
((a/g1) (c/g2), (d/g1) (b/g2)) = 1.
2.Допустим, что дроби a/b и c/d несократимы и числа a, b, c, d меньше 10n. Предложите способ умножения и деления этих дробей, в котором все промежуточные результаты будут меньше 10n, если в окончательном ответе числитель и знаменатель меньше 10n.
3.Пусть (a, b) = (c, d) = 1, (b, d) = g1, t = ad/g1 + bc/g1, (t, g1) = g2. Докажите, что
(d/g1, b/g1) = (t, d/g1) = (t, b/g1) = 1,
g2 = (t, g1) = (t, (d/g1) (b/g1) g1) = (t, bd/g1), (g2, d/g1) = 1, b делится на g2 и
(t/g2, (d/g1) (b/g2)) = 1.
4. Допустим, что дроби a/b и c/d несократимы и числа a, b, c, d меньше 10n. Предложите способ сложения и вычитания этих дробей, в котором все промежуточные результаты будут меньше 10n, кроме одного, который будет меньше 102n, если в окончательном ответе числитель и знаменатель меньше 10n.
Отметим, что утверждения этих задач можно перенести и на многочлены.
5. Проверьте, что обычный способ умножения многочленов дает оценку
6. Для умножения многочленов найдите наименьшее n, при котором
M(n) < Ms (n).
7.Докажите, что сложение двух n-значных чисел можно выполнить за 2n − 1 операцию, вычитание меньшего из большего – за 3n − 1 операцию, вычитание с определением знака разности – за 4n − 1 операцию, а сложение (n + m)-значного числа с n-значным можно выполнить за 2n + m − 1 операцию.
8.Докажите, что обычный способ умножения чисел дает оценку
M(n) < 5n2.
Обозначим через K(n) сложность возведения n-разрядного числа в квадрат и такое же обозначение будем использовать для сложности возведения в квадрат многочлена степени n − 1.
13*
196
Глава III. Многочлены
9.
Используя тождество
ab = (a + b)2 − (a − b)2 , 4
докажите для случая операций с числами неравенство
M(n) 6 2K(n) + 13n + O(1),
а для случая операций с многочленами – неравенство
M(n) 6 2K(n) + 6n + 4.
§ 3.12. Разложение на бесквадратные множители
Для многочленов над произвольным полем дадим следующее Определение 91. Разложение многочлена
P = q1q22 . . . qkk
такое, что сомножители qi не имеют кратных корней и попарно взаимно просты, называется бесквадратной факторизацией первого типа
многочлена P.
Обозначим
Qi = qi qi+1 . . . qk,
тогда
P = Q1 . . . Qk, Qi | Qi+1, i = 1, . . . , k − 1,
и многочлены Qi не имеют кратных корней. Такую факторизацию назовем бесквадратной факторизацией второго типа.
Упражнение 81. Проверьте, что оба типа бесквадратной факторизации однозначно восстанавливаются один по другому с помощью формул
qi = Qi /Qi+1, Qi = Pi /Pi+1, Pi = qi qi2+1 . . . qkk−i+1.
Пусть P = q1q22 . . . qkk, – бесквадратная факторизация первого типа. Следующая лемма справедлива для многочленов над любым полем нуле-
вой характеристики. Производную многочлена P обозначаем dPdx .
Лемма 26. Для последовательности многочленов Pi , начинаю-
щейся с P1 = P и определяемой равенствами Pi+1
=
Pi ,
dPi
, спра-
ведливо тождество
dx
Pi = qi qi2+1 . . . qkk−i+1 = Qi Qi+1 . . . Qk
(i = 1, . . . , k),
§ 3.12. Разложение на бесквадратные множители
197
где Qi = qi qi+1 . . . qk, откуда
Qi =
Pi
, qi =
Qi
(i = 1, . . . , k),
Pi+1
Qi+1
и таким образом оба вида факторизации существуют и определены однозначно.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Согласно предположению индукции и формуле Лейбница
Сумма, стоящая в скобках, взаимно проста с qi , потому что все слагаемые, кроме первого, кратны qi , а первое слагаемое взаимно просто с ним. Действительно все его сомножители взаимно просты с qi , так как qi взаимно просты друг с другом и не имеют кратных корней, поэтому
qi ,
dq
= 1.
dxi
Аналогичным образом проверяем, что сумма, стоящая в скобках, взаимно
проста с qi+1, . . ., qk, а значит, и с произведением Qi = qi qi+1 . . . qk. Поэтому
dPdxi , Pi = Pi+1 dPdxi /Pi , Qi = Pi+1,
чем и доказан шаг индукции. В стандартном алгоритме бесквадратной факторизации рекуррентно
вычисляется
последовательность
многочленов по формулам Pi+1 =
dPi
только что доказано,
= Pi , dx , где, как
2
k−i+1
= Qi Qi+1 . . . Qk,
Pi = qi qi+1 . . . qk
после чего находятся делением многочлены
Qi =
Pi
,
qi =
Qi
.
Pi+1
Qi+1
Изложим
алгоритм
Остроградского *
бесквадратной факторизации
в обозначениях самого Остроградского и
оценим его сложность (т. е.
число выполняемых им операций).
* Остроградский Михаил Васильевич (1801–1862) – выдающийся русский математик и механик. Один из основателей петербургской математической школы.
198
Глава III. Многочлены
Пусть P = P1 – факторизуемый многочлен, положим
dP1
P1
dP1
dQ1
dx
P2 = P1,
,
Q1 =
,
R1 =
, q1
= Q1
, R1
−
,
dx
P2
P2
dx
Q1
R1 −
dQ1
q2 = Q2
dQ2
dx
,
, R2 −
Q2 =
,
R2 =
q1
q1
dx
и так далее, пока не получим Rk+1
=
dQk+1
. Тогда P = q1q2
. . . qk
– ис-
dx
2
k
комое разложение, потому что
qi
не имеют кратных корней и взаим-
но просты. Отметим, что попутно найдено разложение P = Q1Q2 . . . Qk, где Qi = qi . . . qk (i = 1, . . . , k) тоже бесквадратные множители, но уже не взаимно простые, а последовательно делящие друг друга.
Обосновывается алгоритм Остроградского с помощью его замечательных тождеств.
Теорема 92 (Остроградский). Для определенных выше последовательностей многочленов справедливы тождества
dPi+1
=
dQi
,
qi = Qi , Ri − dx .
Ri+1 = Pi+2
qi
dx
Ri −
dx
dQi
Д о к а з а т е л ь с т в о. Применяя индукцию, получаем, что
dQ
dPi
d(Pi /Pi+1)
Pi
dPi+1
Qi
dPi+1
Qi+1qi
dPi+1
dx
dx
dx
dx
Ri −
i
=
−
=
=
=
,
dx
Pi+1
dx
Pi2+1
Pi+1
Pi+1
откуда имеем
Ri −
dQi
Qi+1
dPi+1
dPi+1
Ri+1 =
dx
=
dx
=
dx
.
qi
Pi+1
Pi+2
Так как
dPi
Pi = qi qi2+1 . . . qkk−i+1,
Ri
=
dx
,
Qi = qi . . . qk,
Pi+1
из теоремы о понижении кратности корня при дифференцировании вытекает, что (Ri , Qi) = 1, откуда следует уже безо всякой индукции, что
Преимущество алгоритма Остроградского перед стандартным алгоритмом очевидно ввиду того, что на каждом шаге итерации он требует нахождения НОД многочленов меньшей степени, чем в стандартном алгоритме, и вместо двух делений использует только одно, причем для многочленов опять же меньшей степени. Кроме того, он допускает хорошую оценку сложности при использовании в нем быстрых алгоритмов умножения, деления и вычисления НОД.
Оценка сложности алгоритма Остроградского получается довольно просто, если воспользоваться следующим замечанием.
Пусть M(n) – любая оценка сложности умножения двух многочленов степени n, удовлетворяющая условию супераддитивности: M(x) + M(y) 6 6 M(x + y), и G(n) – такая же оценка сложности вычисления НОД двух многочленов. Например, в качестве M(n) можно взять Cnlog23, а в качестве G(n) можно взять CM(n) lg n при большой константе C (это мы не будем доказывать).
Положим deg Qi = ni , deg qi = mi , deg P2 = p = n2 + . . . nk, тогда mi = = ni − ni+1, deg Ri = ni − 1. Сложность деления без остатка многочлена
степени m на многочлен степени n оценим как 3(M(m − n) + m − n) + + M(m), значит, сложность деления двух разных многочленов степени не выше m на один и тот же многочлен степени n оценивается как 3(M(m − n) + m − n) + 2M(m), тогда нужная оценка имеет вид
k
k
X
n + G(n) + 3M(n − p) + 3n − 3p + 2M(n) +
(G(ni) + 2M(ni) + 2ni) +
X
i=1
+(3M(ni) + 3ni) 6 n + G(n) + 3(M(n − p) + n − p) + 2M(n) +
Полученная оценка показывает, что сложность алгоритма Остроградского бесквадратной факторизации многочлена степени n асимптотически лишь в два раза превосходит сложность алгоритма нахождения НОД двух многочленов степени n.
Интересно отметить, что Остроградский предложил еще один вариант
алгоритма факторизации, основанный на тождестве qj = Q, R − j dQdx ,
200
Глава III. Многочлены
где
dP1
Q = Q1
= P2
= P2
, R = R1
, P2
=
dx , P1 .
= P2
P1
P
dx
dP1
Доказательство вытекает из цепочки равенств (в которой для краткости дифференцирование обозначается штрихом)
R = (P1)′ =
(q1q22 . . . qkk)′
k
iq1 . . . qi−1 (qi)′qi+1 . . . qk,
=
X
P2
q2 . . . qkk−1
i=1
k
X
Q′ = q1 . . . qi−1 (qi)′qi+1 . . . qk,
i=1
k
X
R − jQ′ = (i − j)q1 . . . qi−1 (qi)′qi+1 . . . qk,
i=1
обосновываемой правилом дифференцирования Лейбница, и замечания о том, что в последней сумме все слагаемые, кроме s-го, делятся на qs , а оно взаимно просто с многочленом qs (так как все его сомножители с ним взаимно просты), следовательно, (R − jQ′, qs) = 1 при s 6= j, и, очевидно, многочлен R − jQ делится на многочлен qj .
Указанные формулы Остроградского более элегантны, чем предыдущие, но сложность последнего алгоритма очевидно больше, чем предыдущего, так как в нем степени многочленов последовательности, у которых приходится вычислять НОД, не уменьшаются, и он не допускает очевидной хорошей верхней оценки. Однако если нужно вычислить не все множители qi , а только любой один из них, то этот алгоритм, вероятно, является быстрейшим.
Задачи и упражнения к § 3.12
1.Обоснуйте стандартный алгоритм бесквадратной факторизации со всеми подробностями.
2.Обоснуйте второй алгоритм бесквадратной факторизации Остроградского со всеми подробностями.
3.Выполните бесквадратную факторизацию многочлена стандартным методом и методом Остроградского
В стандартном алгоритме бесквадратной факторизации рекуррентно
