Гашков С.В. Современная элементарная алгебра в задачах и решениях

4**. Докажите, что сложность деления без остатка многочлена степени m на многочлен степени n оценивается как

3(M(m − n) + m − n) + M(m).

5*. Докажите, что сложность деления двух разных многочленов степени не выше m на один и тот же многочлен степени n оценивается как

3(M(m − n) + m − n) + 2M(m).

6.Докажите, что сложность деления с остатком многочлена степени m на многочлен степени n со старшим коэффициентом 1 оценивается как (m − n + 1) (2n + 1), а без остатка – как (m − n) (2n + 1).

7.Докажите, что обычный алгоритм Евклида для многочленов степени не выше n имеет оценку сложности

G(n) 6 72 n2 + 32 n.

У к а з а н и е. Надо учесть необходимость на каждом шаге алгоритма выполнять приведение полученного остатка к виду, в котором старший коэффициент будет равен единице.

8. Докажите, что обычный алгоритм Евклида для многочленов степени не выше n имеет оценку сложности 72 (n2 − m2) + O(n), где m – степень

вычисленного НОД.

9*. Докажите, что предыдущую оценку нельзя существенно улучшить, рассмотрев вычисление НОД(Tn, Tn−1), где Tn – многочлены Чебышёва.

10*. Докажите, что обычный алгоритм Евклида для многочленов степени n и m имеет оценку сложности G(n) 6 2nm + 12 m2 + 52 n.

У к а з а н и е. Сначала рассмотрите случай, когда на каждом шаге алгоритма степень уменьшается на единицу. Потом покажите, что в общем случае оценка не выше, чем в этом частном случае.

11. Докажите, что сложность деления с остатком n-разрядного числа на m-разрядное имеет оценку сложности C(n − m)m, где C > 0 – константа.

12*. Докажите, что обычный алгоритм Евклида для n-разрядных чисел имеет оценку сложности G(n) 6 Cn2.

У к а з а н и е. Примените предыдущую задачу.

13. Докажите, что сложность вычисления последовательности мно-

гочленов Qi , qi по формулам Qi = Pi /Pi+1, qi = Qi /Qi+1 при известной последовательности Pi с помощью школьного алгоритма оценивается как

2(n2 + n21), где n = deg P = deg P1, n1 = deg Q1. У к а з а н и е. Примените задачу 6.

14. Докажите, что сложность вычисления последовательности многочленов Pi стандартным алгоритмом по формулам

Pi+1 = Pi , dPi dx

оценивается как 4n2 + O(n).

У к а з а н и е. Примените задачу 8.

15. Докажите, что сложность стандартного алгоритма бесквадратной факторизации многочлена степени n оценивается как 8n2 + O(n).

У к а з а н и е. Примените предыдущую задачу.

Глава IV. Алгебраические уравнения

§ 4.1. Решение кубических уравнений

Значительно сложнее, чем квадратное, решить кубическое уравнение x3 + ax2 + bx + c = 0.

Оно было решено только в XVI в. итальянцами дель Ферро * и Тарталья. Вкратце история этого замечательного открытия такова. Первым нашел решение в нескольких важных частных случаях профессор математики из Болоньи дель Ферро. Перед смертью под большим секретом он передал тайну своему близкому другу или родственнику Фиоре, который, будучи посредственным математиком, после этого легко выигрывал популярные в то время научные диспуты, предлагая оппонентам для решения

задачи, сводящиеся к кубическим уравнениям.

Никколо Тарталья в детстве во время войны был сильно напуган и, кажется, ранен в лицо, и поэтому он вошел в историю не под своим именем, а под прозвищем Тарталья, в переводе означающим «заика». Азбуку он выучил под руководством учителя только до буквы «K» (на дальнейшее у матери не хватило денег), и все остальное ему пришлось постигать самоучкой. Повзрослев, он подрабатывал научным консультантом в Венецианском арсенале (и был одним из первых математиков-прикладни- ков **). За неделю до диспута до него дошла молва, что оппонент владеет секретом решения кубических уравнений...

На диспуте Тарталья решил все предложенные ему задачи, а ошеломленный противник не сумел решить в ответ ни одной, даже основанной на известных ему случаях разрешимости, полученных в наследство от дель Ферро.

Тот вариант решения кубического уравнения, который мы сейчас изложим, принадлежит Гудде ***. Прежде всего, выделив полный куб,

* Ш. дель Ферро (Scipion del Ferro, 1465–1526) – итальянский математик. Нашел способ решения кубических уравнений типа x3 + mx = n.

**Легенда гласит, что он первым объяснил артиллеристам, что для максимальной дальнобойности орудия надо поднять его ствол под углом 45◦.

***И. Гудде (Johann Hudde, 1633–1704) – голландский математик. Открыл правило нахождения кратных корней.

В переписанном таким образом уравнении в качестве неизвестного удобно рассматривать x + a/3. После нахождения корней уравнения x3 + Ax + B, вычтем из них a/3 и получим корни исходного уравнения.

Самый простой путь к решению уравнения третьей степени x3 + Ax + B состоит в следующем. Будем искать решение в виде суммы двух слагаемых (!!!) x = u + v, на которые потом наложим некоторые условия.

Подставим x = u + v в уравнение:

0 = (u + v)3 + A(u + v) + B = u3 + v3 + 3uv(u + v) + A(u + v) + B =

= (u3 + u3 + B) + (u + v) (3uv + A).

Пусть и первое, и второе слагаемые по отдельности равны нулю:

(

u3 + v3 + B = 0;

(u + v) (3uv + A) = 0.

Заметим, что если B =6 0, то x = 0 не является корнем уравнения (при B = 0 уравнение становится тривиальным). Значит, x = u + v =6 0, и, упро-

−

Эта система легко решается. Выразим из второго уравнения переменную v через u формулой v = −A/(3u), и подставим ее в первое уравнение:

u3 − A33 = −B.

27u

Получаем квадратное относительно неизвестного u3 уравнение

(u3)2 + Bu3 − A3 = 0.

27

r

то экстремальные точки x = ± −A3 , а экстремальные значения

r r r r ymin = y −A3 = 23 A −A3 , ymax = y − −A3 = −23 A −A3 .

Значит, в точности при

r r

2 A 2 A

3 A − 3 < B < −3 A − 3 , A < 0

либо при A > 0 уравнение третьей степени имеет единственный вещественный корень. Заметим, что эти условия эквивалентны единственному

условию A3 + B2 > 0.

27 4

Задачи и упражнения к § 4.1

1.Если все корни уравнения x3 + px + q = 0 действительны, то p < 0.

2.Используя формулу Кардано–Ферро–Тартальи, решите уравнения: а) x3 + 3x2 − 3x − 14 = 0; б) x3 − 12x + 16 = 0.

3.Найдите сумму кубов всех корней уравнения ax3 + bx2 + cx + d = 0.

4.Пусть a, b, c – корни уравнения x3 + px + q = 0. Напишите уравнение, корнями которого будут числа

5. Докажите, что с помощью подстановки x = y + a можно свести любое уравнение n-й степени к уравнению с нулевым коэффициентом при xn−1.

6. Пусть уравнение anxn + . . . + a0 = 0 имеет корни xi , i = 1, . . . , n.

Решите уравнения

а) anxn − an−1xn−1 + an−2xn−2 − . . . a0 = 0;

б) a0xn + . . . + an = 0;

в) anxn + an−1bxn−1 + . . . + a0bn = 0.

7.С помощью замены переменных x = u + v решите, подобно кубическому, уравнение Муавра x5 − 5ax3 + 5a2x − 2b = 0.

8.При каких a, b, c корни уравнения x3 + ax2 + bx + c = 0 образуют а) арифметическую;

б) геометрическую прогрессию?

§ 4.2. Неприводимый случай

Как следует из исследования, проведенного в предыдущем пункте, при

A3 + B2 < 0

27 4

уравнение x3 + Ax + B = 0 имеет ровно три действительных решения. Однако можно показать, что найти эти решения с помощью четырех правил арифметики и извлечения арифметических корней произвольных степеней невозможно. Поэтому первооткрыватели формул для решения уравнения третьей степени старательно обходили этот так называемый неприводимый случай уравнения третьей степени.

В конце XVI в. Виет сделал открытие, позволившее ему решить это уравнение в неприводимом случае в тригонометрических функциях. Он обратил внимание на то, что формула косинуса тройного аргумента имеет вид некоторого уравнения третьей степени:

cos 3ϕ = 4 cos3 ϕ − 3 cos ϕ.

Упражнение 82. Докажите эту формулу.

Можно попытаться свести уравнение третьей степени x3 + Ax + B = 0 к виду 4x3 − 3x = C заменой переменной. Это достигается уже простейшей заменой вида x = kt:

x3 + Ax + B = 0 k3t3 + Akt + B = 0.

Потребуем, чтобы коэффициент при t3 относился к коэффициенту при t

208 Глава IV. Алгебраические уравнения

(заметим, что A меньше нуля). Уравнение перепишем в виде

и, соответственно, три вещественных корня уравнения x3 + Ax + B = 0 при

Задачи и упражнения к § 4.2

1. Решите уравнение x3 − 19x + 30 = 0 «угадыванием» корней и убедитесь в том, что это неприводимый случай. Найдите тригонометрическое решение методом Виета.

ется одним из решений квадратного уравнения x = −1 (другим решением должно быть число −i). Чтобы рассматривать решения произвольных квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом, нужно ввести в рассмотрение суммы вида z = a + bi, где a и b – действительные числа. Действительно, мы перешли от произвольного квадратного уравнения к уравнению x2 = c при помощи замены переменной x′ = x + d, где d – действительное число.

Оказывается, что для выражений вида z = a + bi, называемых комплексными числами, можно построить свою арифметику.

Определение 92. Определим сложение и умножение комплексных чисел чисел z1, z2 следующими формулами:

z1 + z2 = (a1 + b1i) + (a2 + b2i) = (a1 + a2) + (b1 + b2)i,

z1 · z2 = (a1 + b1i) (a2 + b2i) = a1a2 − b1b2 + (a1b2 + a2b1)i,

где a1, a2, b1, b2 – действительные числа.

Заметим, что при сложении мы почленно складываем «действительные» части a1 + a2 и «мнимые» части b1 + b2. При умножении мы раскрываем скобки и, как обычно, перемножаем члены, пользуясь только свойством мнимой единицы i · i = −1.

П р и м е р ы. 1. (1 + i) + (2 − 3i) = 3 − 2i.

2.(1 + i) + (−1 − i) = 0.

3.(1 + i) (1 − i) = 1 − i2 = 2.

Определение 93. У комплексного числа z = a + bi число a называется действительной частью и обозначается Re z, а число b называется мнимой частью и обозначается Im z.

П р и м е р ы. 1. Re (1 + i) = 1. 2. Im (1 − i) = −1.

Упражнение 83. Проверьте тождество Re (iz) = −Im z.

Очевидно, что для любого комплексного числа z = a + bi есть противоположное −z = −a − bi: z + (−z) = 0 + 0i = 0.

Менее очевидно, что для z =6 0 есть обратное число (относительно умножения)

Упражнение 84. Проверьте, что z · z−1 = 1 + 0i = 1.