Гашков С.В. Современная элементарная алгебра в задачах и решениях
.pdf§ 3.2. Алгоритм Евклида и теорема Безу |
141 |
§ 3.2. Алгоритм Евклида и теорема Безу
Для простоты далее будем считать, что кольцо коэффициентов K есть либо Z – кольцо целых чисел, либо F – поле.
Пусть многочлены f(x) и g(x) принадлежат кольцу K[x].
Определение 73. Многочлен f(x) делится на g(x), если существует такой многочлен a(x) K[x], что f(x) = g(x) · a(x) (обозначение g(x) | f(x)).
Другими словами, многочлен f(x) делится на g(x), если остаток от деления равен нулю.
Справедливы следующие очевидные свойства отношения делимости: 1) если f(x) делится на g(x), а g(x) делится на h(x), то f(x) делится
на h(x);
2) если f(x) и g(x) делятся на h(x), то u(x) f(x) + v(x) g(x) делится на h(x).
Определение 74. Многочлен d(x) называется наибольшим общим делителем (НОД) многочленов f(x) и g(x), если каждый из них делится на d(x) и любой их общий делитель делит d(x), причем будем считать для определенности старший коэффициент d(x) равным 1.
Для НОД будем использовать обозначение d(x) = (f(x), g(x)). Используя теорему о делении с остатком, можно для нахождения
НОД двух многочленов над заданным полем коэффициентов применить алгоритм Евклида аналогично тому, как это делалось для целых чисел:
f(x) = g(x) · q0 (x) + r1 (x), где 0 6 deg r1 (x) < deg g(x), (f(x), g(x)) = (g(x), r1 (x))
g(x) = r1 (x) · q1 (x) + r2 (x), где 0 6 deg r2 (x) < deg r1 (x), (f(x), g(x)) = (g(x), r1 (x)) = (r1 (x), r2 (x)),
r1 (x) = r2 (x) · q3 (x) + r3 (x), где 0 6 deg r3 (x) < deg r2 (x), (f(x), g(x)) = (r1 (x), r2 (x)) = (r2 (x), r3 (x)),
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
rn−2 (x) = rn−1 (x) · qn−1 (x) + rn (x), где 0 6 deg rn (x) < deg rn−1 (x), (f(x), g(x)) = (rn−2 (x), rn−1 (x)) = (rn−1 (x), rn (x)),
rn−1 (x) = rn (x) · qn (x),
(f(x), g(x)) = (rn−1 (x), rn (x)) = rn (x).
Осуществимость и однозначность этого процесса последовательного деления обосновывается теоремой о делении с остатком.
142 |
Глава III. Многочлены |
Аналогично соответствующей теореме о НОД чисел доказывается следующая теорема о линейном представлении НОД многочленов.
Теорема 64. Для любых многочленов f(x), g(x) над произвольным полем F существуют такие многочлены a(x), b(x) F[x], что
d(x) = a(x) f(x) + h(x) g(x).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Индукцией по i проверяем, что
ri (x) = ui (x) f(x) + vi (x) g(x).
Подобно числовому случаю, алгоритм Евклида для многочленов можно расширить так, чтобы он вычислял не только последовательность ri (x), но и последовательности ui (x), vi (x), а значит, и линейное представление НОД. 
Определение 75. Каждому многочлену f(x) K[x] можно сопоставить реализуемую им полиномиальную функцию f˜ : K → K , определяемую равенством
f˜ (x) = anxn + an−1xn−1 + . . . + a1x + a0,
где an, an−1, . . . , a1, a0 – его коэффициенты.
Легко проверить, что сумме многочленов соответствует сумма реализуемых ими полиномиальных функций, а произведению – произведение этих же функций.
Определение 76. Корнем многочлена f(x) K[x] называется любой такой элемент α K , что f(α) = 0.
Теорема 65 (Безу). Для любого f(x) K[x], deg f(x) > 1, и для лю-
бого корня α K данного многочлена f(x) справедливо равенство f(x) = (x − α) g(x).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Выполняя деление с остатком, получаем, что для любого f(x) K[x], deg f(x) > 1, и для любого α K справедливо равенство f(x) = (x − α) g(x) + r, где r K . Подставляя в него x = α, имеем r = 0. 
Теорема 66 (о числе корней). Любой многочлен f(x) степени n над областью целостности K имеет не более n корней.
Д о к а з а т е л ь с т в о. База индукции (n = 1) очевидна. Выполним шаг индукции.
Пусть теорема верна для многочленов степени n − 1. Если многочлен f(x) степени n не имеет корней в K , то утверждение очевидно верно.
§ 3.2. Алгоритм Евклида и теорема Безу |
143 |
Если α1 – корень f(x), то f(x) = (x − α1)h(x) согласно |
теореме |
Безу. Пусть α2 – корень многочлена f(x) и α1 6= α2, тогда |
f(α2) = |
= (α2 − α1)h(α2) = 0 и α2 − α1 6= 0, но в области целостности нет делителей нуля, следовательно, h(α2) = 0, а h(x) имеет не более n − 1 корней по предположению индукции, значит, многочлен f(x) имеет не более n корней. 
Следствие из теоремы 66. Если многочлен f(x) степени n с коэффициентами из области целостности K имеет в ней n корней, то его можно представить в виде произведения элемента из K на n линейных множителей с коэффициентами из K .
З а м е ч а н и е.
Утверждение теоремы неверно в том случае, если кольцо K не яв- ! ляется областью целостности.
Упражнение 59. Квадратный двучлен x2 − 1 имеет в кольце Z8 четыре корня (1,¯ 3,¯ 5,¯ 7)¯ .
Теорема 67 (о полиномиальных функциях). Пусть область целостности K бесконечна и два многочлена f1 (x) и f2 (x) над K принимают одинаковые значения при всех c K , т. е. равны как функции. Тогда эти многочлены совпадают друг с другом.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассуждаем от противного. Пусть степень многочлена F(x) = f1 (x) − f2 (x) равна n. Из условия теоремы следует, что можно выбрать n + 1 элементов из K , которые являются корнями этого многочлена. Тем самым получено противоречие с теоремой 66. 
Из доказанной теоремы вытекает, что по известным значениям многочлена степени n в n + 1 различных точках многочлен определяется однозначно.
Однако не сразу ясно, как его выразить в явном виде. Если область целостности является полем, то для этого можно использовать интерполяционный многочлен Лагранжа, о котором пойдет речь в следующем параграфе.
Задачи и упражнения к § 3.2
1. Многочлен x3 Z8 [x] имеет в Z8 четыре корня и четыре разныx разложения на неприводимые (т. е. неразложимые далее) множители
вZ8 [x].
2.Если f(x) и g(x) F[x], где F – поле, и степень f(x) не меньше сте-
пени g(x), то f(x) однозначно представим в виде f = f0 + f1 g + . . . + fd gd , где степени fi меньше степени g.
144 |
Глава III. Многочлены |
3.Число корней многочлена f(x) F[x] в поле F не превосходит его степени, даже если каждый корень считать столько раз, какова его кратность.
4.Разложите на множители x5 + x3 + x + 1 над полем Z2.
5.Найдите (x5 + x4 + 1, x4 + x2 + 1) над полем Z2.
6.Найдите (x5 + x4 + 1, x4 + x2 + 1) над полем Q.
Далее все многочлены рассматриваются над полем Q.
7. Применяя алгоритм Евклида, найдите такие многочлены M1 и M2, что (x4 − 4x3 + 1)M1 (x) + (x3 − 3x2 + 1)M2 (x) = 1.
8*. Применяя алгоритм Евклида, найдите (xn + an, xm + am). 9. Применяя алгоритм Евклида, докажите, что
(xn − 1, xm − 1) = x(n,m) − 1.
10. Применяя алгоритм Евклида, докажите, что при k | (n, m)
xk − 1 |
|
xk − 1 |
|
xk − 1 |
|
|
xn − 1 |
, |
xm − 1 |
= |
x(n,m) − |
1 |
. |
11. (Гаусс.) Докажите, что все рациональные корни многочлена
f(x) = anxn + . . . + a0
с целыми коэффициентами имеют вид ±p/q, где
p | a0, q | an, (p − mq) | f(m).
§ 3.3. Интерполяция
Пусть дана таблица значений многочлена степени n над полем F
x |
x0 |
x1 |
. . . |
xk |
. . . |
xn−1 |
xn |
f(x) |
y0 |
y1 |
. . . |
yk |
. . . |
yn−1 |
yn |
где x1, . . . , xk – различные, а y1, . . . , yk – необязательно различные элементы поля F.
Определение 77. Многочлены
lnk (x) = |
(x − x0) (x − x1) . . . (x − xk−1) (x − xk+1) . . . (x − xn−1) (x − xn) |
, |
|
(xk − x0) (xk − x1) . . . (xk − xk−1) (xk − xk+1) . . . (xk − xn−1) (xk − xn) |
|||
|
|
где k = 0, . . . , n, называются фундаментальными многочленами Лагранжа.
§ 3.3. Интерполяция |
145 |
|
Справедлива следующая лемма. |
|
|
Лемма 19. Для x = x0, . . . , xn |
если x = xk. |
|
lnk (x) = (0, |
|
|
1, |
если x = xk, |
|
|
6 |
|
Д о к а з а т е л ь с т в о. Непосредственно проверяется, что при x =6 xk числитель дроби, определяющей многочлен, обращается в нуль, а при x = xk этот числитель не равен нулю и совпадает со знаменателем. 
Определение 78. Многочлен степени n
f(x) = y0ln0 (x) + y1ln1 (x) + . . . + ynlnn (x)
называется интерполяционным многочленом Лагранжа *, соответствующим данной таблице значений.
Теорема 68 (интерполяционная формула). Интерполяционный многочлен Лагранжа f(x) принимает значения, указанные в данной таблице, т. е. решает задачу интерполяции.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Из леммы следует, что при x = xk yklnk (x) = yk,
а все остальные слагаемые определяющей многочлен суммы обращаются в нуль. Поэтому вся сумма тогда равна yk, т. е. f(xk) = yk. 
Упражнение 60. Проверьте, что вычисление коэффициентов интерполяционного многочлена по формуле Лагранжа–Варинга требует n сложений, 2n2 + 2n вычитаний, 2n2 + n − 1 умножений и n + 1 делений.
Для многочленов над конечными полями последняя теорема пре- ! дыдущего параграфа неверна.
Пусть Z p – поле вычетов по модулю p, где p – простое число, а мно-
гочлен f(x) Z p [x].
Тогда справедлива (предлагавшаяся в § 2.8 в виде задачи)
Теорема 69. Уравнение f(x) = 0, f(x) Z p [x], равносильно уравнению степени не выше p − 1, другими словами, для любого многочлена f(x) Z p [x] найдется многочлен степени не выше p − 1, значения которого для любого x Z p совпадают со значениями многочлена f(x).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Согласно теореме о делении с остатком можно записать, что
f(x) = (x p − x) g(x) + r(x), где deg r(x) 6 p − 1.
* Этот многочлен был открыт также английским математиком XVIII в. Э. Варингом (Eduard Waring, 1734–1798).
10 Гашков
146 Глава III. Многочлены
Но x p − x = 0 для любого x Z p согласно малой теореме Ферма. Значит, уравнение f(x) = 0 равносильно уравнению r(x) = 0, и справедливо тождество f(x) = r(x). 
Поэтому над полем Z p задача интерполяции осмыслена только для многочленов степени, меньшей p. Но для таких многочленов она решается точно так же, как и для бесконечных полей. В частности, из теоремы Лагранжа вытекает следующая теорема.
Теорема 70. Для любого отображения g : Z p → Z p найдется многочлен f(x) степени не выше p − 1, реализующий эту функцию, т. е. такой, что для любого x Z p справедливо равенство f(x) = g(x), причем этот многочлен определен однозначно среди многочленов степени не выше p − 1.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Существование этого многочлена вытекает из теоремы Лагранжа, а единственность фактически была доказана в последней теореме предыдущего параграфа. 
Предыдущую теорему можно обобщить и на функции нескольких переменных.
В частности, справедлива следующая теорема.
Теорема 71. Для любой функции g(x1, . . ., xn), переменные и значения которой принадлежат полю Z p , найдется многочлен f(x1, . . .
. . . , xn) от n переменных степени не выше p − 1, по каждой перемен-
ной реализующий эту функцию, т. е. такой, что для любого набора (x1, . . ., xn) Znp справедливо равенство f(x1, . . ., xn) = g(x1, . . ., xn), причем этот многочлен определен однозначно среди многочленов
указанного вида.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Сначала реализуем указанными многочленами функции, которые всюду равны нулю, кроме одной точки. Пусть,
например, функция δk1, ..., kn (x1, . . . , xn) равна единице при (x1, . . . , xn) = = (k1, . . ., kn), а в остальных случаях равна нулю. Для каждого i = 1, . . ., n
возьмем многочлен fiki (xi) степени p − 1 от переменной xi , который равен единице при xi = ki и нулю в остальных случаях, существование которого доказано в предыдущей теореме. Тогда многочлен, равный их произведению
fk1, ..., kn (x1, . . . , xn) = f1k1 (x1) . . . fnkn (xn),
будет равен единице при (x1, . . . , xn) = (k1, . . . , kn) и нулю в остальных случаях, т. е.
fk1, ..., kn (x1, . . . , xn) = δk1, ..., kn (x1, . . . , xn).
§ 3.3. Интерполяция |
147 |
Если же функция δk1, ..., kn (x1, . . ., xn) в точке (k1, . . ., kn) равна не единице, а некоторому значению a Z p , а в остальных точках равна нулю,
то многочлен fk1, ..., kn (x1, . . . , xn) после умножения на a опять будет реализовывать эту функцию.
Произвольная функция g(x1, . . . , xn) реализуется многочленом, рав-
ным сумме всех многочленов g(k1, . . . , kn) fk1, ..., kn (x1, . . . , xn). Действительно, для любого набора (k1, . . . , kn) Znp при (x1, . . . , xn),
равном набору |
(k1, . . . , kn), в этой сумме все слагаемые |
обращают- |
ся в нуль, и |
только слагаемое g(k1, . . . , kn) fk1, ..., kn (x1, . . |
. , xn) равно |
g(k1, . . . , kn), поэтому и вся сумма при (x1, . . . , xn) = (k1, . . . , kn) равна g(k1, . . . , kn). Указанная сумма является многочленом от перемен-
ных x1, . . . , xn степени не выше p − 1 по каждой из них. Тем самым существование реализующего функцию g(x1, . . . , xn) многочлена доказано.
Для доказательства единственности заметим, что каждый из многочленов от n переменных степени, меньшей p по каждой из них, однозначно определяется набором коэффициентов при своих одночленах x1k1 . . . xnkn , 0 6 ki 6 p − 1. Этих коэффициентов, как и одночленов, pn штук, каждый из них независимо от других принимает p значений, поэтому число всех таких многочленов равно p pn .
Число же различных реализуемых функций тоже равно p pn , так как каждая из них однозначно определяется набором своих pn значе-
ний при
(x1, . . . , xn) = (k1, . . . , kn), 0 6 ki 6 p − 1.
Поэтому согласно принципу Дирихле каждая из функций реализуется ровно одним многочленом, иначе многочленов не хватило бы для реализации всех функций. 
Используя многочлены над полем Z p , можно дать другое доказательство теоремы Вильсона: если p – простое число, то число (p − 1)! + 1
делится на p. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Д о к а з а т е л ь с т в о. Для |
p = 2 эту |
теорему можно |
проверить |
|||||||||
непосредственно. Пусть |
p > 2. Согласно малой теореме Ферма много- |
|||||||||||
член x |
p−1 |
¯ |
|
|
|
|
¯ ¯ |
|
|
|
||
|
− 1 над полем Z p имеет ровно |
p − 1 корень 1, 2, . . . , p − 1, |
||||||||||
поэтому этот многочлен можно разложить на линейные множители |
||||||||||||
|
|
|
p−1 |
¯ |
¯ |
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
(x − (p − 1)). |
|
|
|
||||||
|
|
|
− 1 |
= (x − 1) (x − 2) . . . |
p−1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
¯ |
¯ |
|
|
|
||
Подставим в полученное тождество 0 и получим, что −1= (−1) |
(p −1)!, |
|||||||||||
а так как (p − 1) – число четное, то (p − 1)! + 1 делится на p. 
В некоторых случаях более удобной является интерполяционная
формула Ньютона.
10*
148 |
Глава III. Многочлены |
Теорема 72. Для произвольного многочлена f(x) K[x] степени n и произвольных c0, . . . , cn K справедлива формула
f(x) = a0 + a1 (x − c0) + a2 (x − c0) (x − c1) + . . . + an (x − c0) . . . (x − cn−1),
где ai = Fi (ci), i = 0, . . . , n, а последовательность функций
Fi : {c0, . . . , ci−2, ci , . . . , cn} → K
определяется формулами F0 (ci) = f(ci), i = 0, . . . , n,
Fi (x) = |
Fi−1 (x) − Fi−1 |
(ci−1) |
, x {c0 |
, . . . , ci−2, ci , . . . , cn}. |
||
x |
− |
ci−1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о. Существование |
формулы указанного вида |
|||||
можно доказать по индукции, при этом в качестве an берется старший коэффициент многочлена f(x).
Единственность коэффициентов ai также с помощью индукции выводится из формул
f(c0) = a0;
f(c1) = a0 + a1 (c1 − c0);
f(c2) = a0 + a1 (c2 − c0) + a2 (c2 − c0) (c2 − c1);
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
f(cn) = a0 + a1 (cn − c0) + . . . + an (cn − c0) . . . (cn − cn−1),
которые получаются из формулы для f(x) подстановками констант ci , i = 0, . . . , n.
Из определения функций Fi , i = 0, . . ., n, также по индукции выводятся формулы
F0 (x) = a0 + F1 (x) (x − c0),
F0 (x) = a0 + a1 (x − c0) + F2 (x) (x − c0) (x − c1),
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
F0 (x) = a0 + a1 (x − c0) + . . . + Fn (x) (x − c0) . . . (x − cn−1).
Подставляя в них константы c1, . . ., cn и пользуясь доказанной единственностью коэффициентов ai , i = 0, . . . , n, получаем формулы
ai = Fi (ci), i = 0, . . . , n.
Упражнение 61. Проверьте, что вычисление коэффициентов интерполяционного многочлена по формуле Ньютона требует n2 + n вычитаний, (n2 + n)/2 делений.
Если коэффициенты ai , i = 0, . . . , n, в формуле Ньютона уже вычислены и нам нужно найти значение интерполяционного многочлена
§ 3.3. Интерполяция |
149 |
в заданной точке x, то для этого удобно использовать следующую формулу (обобщающую схему Горнера, которая появится у нас дальше)
f(x) = a0 + a1 (x −c0) + a2 (x −c0) (x −c1) + . . . + an (x −c0) . . . (x −cn−1) =
= ((an (x −cn−1) + an−1) (x −cn−2) + . . .) (x −c0) + a0.
Упражнение 62. Проверьте, что вычисление значения интерполяционного многочлена по этой формуле требует n умножений и 2n сложений.
Заметным преимуществом формулы Ньютона при обработке экспериментальных данных является то обстоятельство, что если мы решили добавить еще одну точку в формулу для интерполяции и соответственно увеличить на 1 степень интерполяционного многочлена, то не надо заново пересчитывать все ее коэффициенты, а нужно найти только последний (старший) коэффициент.
Но формула Ньютона не дает явно коэффициентов интерполяционного многочлена, как формула Лагранжа–Варинга.
Задачи и упражнения к § 3.3
Далее рассматриваем только многочлены над полем действительных чисел, если не оговорено противное.
1. Построить многочлен наименьшей степени по таблице значений
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
1 |
|
2 |
|
|
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
2 |
|
1 |
|
|
4 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
а) над полем Q; б) над полем Z5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
n |
|
1 |
n |
|
|
|
||
|
|
|
Qn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
iP |
li (x) |
|
|||||||
|
Пусть P(x) = i=1 |
(x − ai), li (x) = |
P(x) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
2. |
x |
|
ai |
. Докажите, что =1 |
li (ai) |
= 1. |
|||||||||||||||||||||
3*. Пусть P(x) = i=1 |
(x − ai). Докажите, что i=1 |
|
|
= 0, при n > 1. |
|||||||||||||||||||||||
P′ (ai) |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
Лагранжа можно придать следующий более элегант |
|
||||||||||||||||||||||||
4*. Формуле |
|
|
Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
- |
|||
ный вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
f(xk) |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
f(x) |
|
|
|
|
= |
X |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
||||||
|
|
(x |
− |
x ) . . . (x |
− |
x ) |
|
f ′ (x ) (x |
− |
x ) |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
n |
|
k=1 |
|
|
|
k |
|
|
k |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где стоящая слева дробь – правильная. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
5. |
Многочлен P(x) |
при делении на x − a дает остаток a для всех |
|||||||||||||||||||||||||
a = 1, 2, 3, 4. Найдите остаток от деления его на (x −1) (x −2) (x −3) (x −4). 6. Докажите, что если p(x) – многочлен степени n со старшим коэффициентом 1, то при некотором целом m [0, n] его модуль не меньше
n!/2n.
150 |
Глава III. Многочлены |
7. Докажите, что если p(x) – многочлен степени 2n и при каждом целом k [−n, n] справедливо неравенство |p(k)| 6 1, то при любом
x[−n, n] справедливо неравенство |p(x)| 6 22n.
8.Построить многочлен наименьшей степени по таблице значений
а) |
x |
0 |
1 |
2 |
. . . |
9 |
; |
б) |
|
x |
1 |
2 |
3 |
. . . |
99 |
. |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
y |
1 |
2 |
4 |
. . . |
512 |
|
y |
1 |
1/2 |
1/3 |
. . . |
1/99 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
, |
|||
9*. Многочлен p(x) степени n удовлетворяет равенству p(k) = |
|||||||||||||||||||
k + 1 |
|||||||||||||||||||
k = 0, . . . , n. Найдите p(n + 1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||||||
10*. Многочлен p(x) степени n удовлетворяет равенству p(k) = |
, |
||||||||||||||||||
Cnk+1 |
|||||||||||||||||||
k = 0, . . . , n. Найдите p(n + 1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Многочлен называется целозначным, |
если он принимает во всех |
||||||||||||||||||
целых точках только целые значения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
11*. Докажите, что целозначный многочлен имеет вид |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
a0 + a1x + . . . + an |
x(x − 1) . . . (x − n + 1) |
, |
|
|
|
|||||||||||
где ai Z. |
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
У к а з а н и е. Применить формулу Ньютона. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
12. Докажите, что операция |
P(x) = P(x + 1) − P(x) переводит цело- |
||||||||||||||||||
значный многочлен в целозначный.
13*. Докажите, что многочлен степени n, принимающий в n + 1 подряд идущих целых точках только целые значения, является целозначным.
14*. Докажите, что многочлен степени n, принимающий в точках 0, 1, 4, . . ., n2 только целые значения, принимает целые значения в любой целой точке вида m2, m Z.
15*. Многочлен степени n со старшим коэффициентом 1 при целых значениях аргумента принимает целые значения, делящиеся на m. Докажите, что m | n!.
16**. Многочлен степени n в любой целой точке равен n-й степени целого числа. Докажите, что он равен n-й степени линейного многочлена с целыми коэффициентами.
§ 3.4. Производные и кратные корни
Рассмотрим кольцо многочленов над произвольным полем F.
Определение 79. Производной многочлена
f(x) = a0xn + a1xn−1 + . . . + an−1x + an
называется многочлен f′ (x) = na0xn−1 + (n − 1)a1xn−2 + . . . + an−1.