Гашков С.В. Современная элементарная алгебра в задачах и решениях

множество {f(a) : a M} образов всех элементов M обозначим f(M) и назовем образом множества M.

Для первого отображения предыдущего примера f(A) = {a, b, c, . . ., h}, а для второго f(A) = {a, c, e, g}.

Определение 15. Отображение f : A → B назовем наложением, если f(A) = B.

Первое отображение предыдущего примера является наложением, а второе – не является.

Определение 16. Отображение f : A → B назовем вложением, если разные элементы всегда имеют разные образы.

Первое отображение предыдущего примера является вложением, а второе – нет.

Определение 17. Назовем отображение f : A → B взаимно однозначным отображением, если отображение f одновременно является и вложением, и наложением.

Первое отображение предыдущего примера взаимно однозначно, а второе – нет.

Отображение f является наложением, но не является вложением. Образом множества {0, 1, 2} является множество {0, 1}.

2. Пример взаимно однозначного отображения

A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} → B = {a, b, c, d, e, f, g, h}

представляет любая расстановка 8 ладей, не угрожающих друг другу. Следующее определение применимо и к бесконечным множествам.

Определение 18. Если для множеств A и B существует взаимно однозначное отображение f : A → B, то будем говорить, что A и B имеют одинаковую мощность, и записывать это в виде |A| = |B|.

Большинство задач перечислительной комбинаторики могут быть сформулированы как задачи о вычислении мощности данного конечного множества.

На использовании понятия равномощности основан следующий прием решения таких задач: если непосредственно мощность множества вычислить не удается, то пытаются установить взаимно однозначное отображение этого множества с другим множеством, мощность которого уже известна или может быть непосредственно вычислена. Далее мы будем неоднократно пользоваться этим приемом.

Обозначим через F(A, B) множество всех отображений из A в B. Имеет место следующая теорема.

Теорема 10. Для любых конечных множеств A и B справедливо равенство |F(A, B)| = |B||A|.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть A = {a1, . . ., a|A|}, B = {b1, . . ., b|B|}. Существует взаимно однозначное отображение множества F(A, B) на мно-

Обозначим через P(A) множество всех подмножеств множества A (включая само множество A и – пустое подмножество). Имеет место следующая

Теорема 11. Для конечного множества A справедливо равенство

|P(A)| = 2|A|.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Сопоставим каждому подмножеству M множества A его индикатор IM, т. е. такое отображение IM : A → {0, 1}, что IM (a) = 1 тогда и только тогда, когда a принадлежит множеству M. Получаем взаимно однозначное отображение I : P(A) → F(A, {0, 1}). Из теоремы 10 следует, что |P(A)| = 2|A|.

44 Глава I. Числа и комбинаторика

Неизвестно, конечно или бесконечно множество четных совершенных чисел. Самое большое из известных совершенных чисел (и соответственно самое большое из простых чисел Мерсенна *), найденное в 2001 г., получается при n = 13466917.

Нечетные совершенные числа до сих пор не найдены.

9.Докажите, что число всех пар подмножеств множества {1, 2, . . ., n} таких, что первое из этих подмножеств содержится во втором, равно 3n.

10.Пусть p – простое число. Сколькими способами можно раскрасить вершины правильного p-угольника, если разрешается использовать заданные k цветов (не обязательно все) и две раскраски, переходящие друг в друга при повороте p-угольника, считаются одинаковыми?

11.Выведите из предыдущей задачи, что p делит kp − k.

12.Произведение 1986 натуральных чисел имеет 1985 различных простых делителей. Докажите, что произведение нескольких из этих чисел либо одно из них являются квадратами натурального числа.

13*. Произведение 48 натуральных чисел имеет 10 различных простых делителей. Докажите, что произведение четырех из этих чисел является квадратом натурального числа.

14*. Произведение 1985 натуральных чисел имеет 9 различных простых делителей.

а) Докажите, что можно выбрать 737 непересекающихся пар чисел, произведения каждых из которых являются квадратами натуральных чисел.

б) Докажите, что можно выбрать 113 непересекающихся четверок чисел так, что произведение каждой четверки будет четвертой степенью натурального числа.

15*. На плоскости нарисованы n точек, занумерованных от 1 до n, и некоторые из них соединены отрезками (ребрами) так, что ребра не пересекаются (по внутренним точкам) и из любой точки можно в любую другую пройти ребрам, причем единственным способом – получилось дерево. Докажите, что ребер в дереве n − 1 и число различных деревьев равно nn−2 (теорема Кэли **).

У к а з а н и е. Выбрать висячую, т. е. являющуюся концом лишь одного ребра, вершину с наименьшим номером, написать номер второго конца этого ребра, выбросить из дерева это ребро, с оставшимся деревом сделать то же самое и т. д., потом показать, что получившаяся в результате

* О программе поиска новых простых чисел Мерсенна совместными усилиями пользователей Интернета см. www.mersenne.org.

** А. Кэли (Arthur Cayley, 1821–1895) – английский математик. Работая адвокатом в течение 14 лет, опубликовал около 250 математических работ. Оставив адвокатскую практику в 1863 г., стал профессором математики в Кембриджском университете.

последовательность длины n − 2 чисел из множества {1, . . ., n} однозначно определяет исходное дерево.

§ 1.7. Полиномиальная теорема

Обозначим через I(A, B) множество всех вложений f : A → B. Другими словами, это число размещений элементов множества A по ящикам, являющимся элементами множества B.

Ясно, что I(A, B) не пусто тогда и только тогда, когда |A| 6 |B|.

Упражнение 15. Докажите, что [−V]n = (−1)n [V]n, [−V]n = (−1)n [V]n.

Теорема 12 (о числе размещений). Справедливо равенство

|I(A, B)| = |B| · (|B| − 1) · . . . · (|B| − |A| + 1) = [|B|]|A|.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Индукция по |A|. База (|A| = 1) очевидна. Шаг индукции. Пусть A = {1, 2, . . ., n}, B = {1, 2, . . ., m}. Любое отоб-

ражение f, принадлежащее множеству I(A, B), однозначно определяется, если задать значение f(n) = i из B и отображение f0, принадлежащее множеству I(A0, Bi), где A0 = {1, 2, . . ., n − 1} и Bi = B \ {i}. Таким образом, построено взаимно однозначное отображение из множества I(A, B)

в множество

m

[

I(A0, Bi) × {i}.

i=1

Из предположения индукции и теоремы 9 теперь следует, что

|I(A, B)| = m · (m − 1) · . . . · (m − n + 1).

Определение 21. Факториалом числа V N называется произведение V ! = V · (V − 1) · (V − 2) · . . . · 2 · 1. Для V = 0 полагаем 0! = 1.

Тогда [V]n = V !/(V − n)! при V > n > 0.

Теорема 13 (о числе перестановок). Справедливо равенство

|I(A, A)| = |A| · (|A| − 1) · . . . · 1 = |A|!

Д о к а з а т е л ь с т в о. Утверждение является частным случаем теоремы 12.

Для краткости вместо I(A, A) пишем S(A).

Определение 22. Элементы множества S(A) называются перестановками множества A.

Определение 23. Перестановкой с повторениями называется любое слово из множества {1, . . . , k}n, в котором каждая «буква» i встречается ni раз, где n1 + . . . + nk = n.

Множество всех таких слов обозначим S(n1, . . . , nk).

Если имеется n букв (k=n), и каждая буква встречается один раз (ni =1, i=1, . . ., n), то S(1, . . ., 1) – это просто множество S({1, 2, . . ., n}), элементы которого записаны в виде слова (a1, . . . , an), принадлежащего множеству {1, . . . , n}n.

Теорема 14 (о перестановках с повторениями). В обозначениях определения 23 справедливо равенство

n!

|S(n1, . . . , nk)| = n1! . . . nk! .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Сопоставим каждому слову w из S(n1, . . ., nk) множество всех перестановок из Sn = S({1, 2, . . . , n}), которые получа-

ются, если все вхождения каждой буквы i заменить произвольным образом на различные числа из множества {li , li + 1, . . . , li + ni − 1}, где

li = ni + . . . + ni−1. Полученное множество обозначим Sn,w .

Из теоремы 8 и теоремы 13 вытекает, что |Sn,w | = n1! . . . nk!. Ясно, что

[

Sn = Sn,w w S(n1,. . .,nk)

– объединение всех множеств Sn,w , которые попарно не пересекаются, т. е. не имеют общих элементов. Поэтому согласно теореме 9

Упражнение 16. а) Сколько различных слов можно получить, переставляя буквы в слове МАТЕМАТИКА?

б) Сколько различных слов можно получить, переставляя буквы в слове АБРАКАДАБРА?

Перестановка букв в слове называется анаграммой.

Упражнение 17. В XVII в. среди ученых существовал обычай объявлять о своих открытиях, нуждающихся в подтверждении, публикацией анаграммы. Галилей, увидев в свою подзорную трубу, что Сатурн имеет по краям какие-то придатки, опубликовал анаграмму

SMAISMRMIELMEPOETALEUMIBUVNEUGTTAVIRAS.

Определение 25. Треугольником Паскаля называется таблица 1

11

1 2 1

1 3 3 1

.. . . . . . . . . . ,

вкоторой каждая очередная строка на одно число длиннее предыдущей, начинается и заканчивается единицей и каждое из остальных ее чисел равно сумме двух чисел предыдущей строки, между которыми оно находится.

Теорема 17 (о треугольнике Паскаля). В n-й строке треуголь-

ника Паскаля стоят в точности биномиальные коэффициенты

Cn0, Cn1, . . . , Cnn.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Доказательство проводится по индукции. База индукции (n = 1) очевидна. Согласно предположению индукции n-я строка треугольника Паскаля состоит из чисел Cn0, Cn1, . . ., Cnn. Тогда между числами Cnk−1, Cnk в (n + 1)-й строке будет стоять согласно тождеству Паскаля число Cnk+1 = Cnk−1 + Cnk.

Задачи и упражнения к § 1.7

1. Кеплер нашел такое решение анаграммы Галилея (опустив две буквы):

SALVE UMBISTINEUM GEMINAUM MARTIA PROLES

(привет вам, близнецы, Марса порожденье). Он думал, что Галилей открыл спутники Марса. На самом деле они были открыты спустя два века. В действительности Галилей зашифровал фразу (тоже выбросив две буквы)

ALTISSIMUM PLANETAM TERGEMINUM OBSERVAVI

(высочайшую планету тройною наблюдал). Но он ошибся. Вместо придатков у Сатурна оказалось кольцо, которое открыл позднее Гюйгенс. Об этом он тоже опубликовал анаграмму

AAAAAAACCCCCDEEEEGHIIIIIIILLLLMMMNNNNNNNNNOO

OOPPQRRSTTTTTUUUU.

Тогда простое p входит в разложение n! в степени h тогда и только тогда,

когда

n = pm pm+1 + . . . + p1 p2 + p0 p + p′, где все pi и p′ суть целые неотрицательные и меньше p.

18.Может ли n! оканчиваться ровно 2004 нулями в десятичной записи?

19.При каких n число (n − 1)!/n – целое?

20. Докажите, что число (2n)!/(n!)2 натуральное и делится на n + 1.

n!

21. Докажите, что a! b! . . . k! – целое, если a + b + . . . + k 6 n.

22. Докажите, что число (2n)!/(n!)2 натуральное и делится на n + 1

ина 2ν2 (n) , но не делится на 2ν2 (n)+1.

23.Докажите, что число (2n)!/n! делится на 2n, но не на 2n+1.

24.Докажите, что число n!/2n – нецелое. При каком натуральном m

√

25**. (Чебышёв **.) Выведите из предыдущей задачи, что число n n! не больше произведения по всем простым делителям p числа n сомножителей p1/(p−1) , и выведите отсюда, что простых чисел бесконечно много.

* А. М. Лежандр (Adrien Marie Legendre, 1752–1833) – известный французский математик.

** Чебышёв Пафнутий Львович (1821–1894) – выдающийся русский математик, создатель петербургской математической школы.