Гашков С.В. Современная элементарная алгебра в задачах и решениях

Лемма 29 (об аннулирующем многочлене). Пусть f(x) – неприводимый многочлен, f(α) = q(α) = 0, тогда q(x) делится на f(x).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть f не делит q, тогда НОД(f(x), q(x)) = 1, значит, согласно лемме о линейном представлении НОД для некоторых многочленов u, v выполняется равенство 1 = fu + qv. Но тогда, подставляя в это равенство x = α, получаем противоречие: 1 = 0.

Теорема 116 (об аннулирующем многочлене). Для всякого алгебраического числа α (над полем K) существует единственный неприводимый многочлен f(x) K[x] с единичным старшим коэффициентом такой, что f(α) = 0.

До к а з а т е л ь с т в о. Существование. Очевидно, существует g(x)

K[x] такой, что g(α) = 0. Согласно теореме 83 этот многочлен однозначно разлагается на неприводимые множители. Число α будет корнем одного из таких множителей.

Единственность. Пусть f1 (α) = f2 (α) = 0, многочлены f1, f2 неприводимы над K и имеют единичные старшие коэффициенты. Тогда по пре-

дыдущей лемме f1 | f2 и f2 | f1, значит, f1 = f2.

Задачи и упражнения к § 4.18

1. Докажите, что Q (√2) = {a + b√2: a, b Q} – поле, в котором многочлен x2 − 2 имеет корень.

√√ √

2.Докажите, что Q ( 3 2) = {a + b 3 2 + c 3 4: a, b, c Q} – поле, в котором многочлен x3 − 2 имеет корень.

3.Устраните иррациональность в знаменателях дробей

9.Построить расширение поля Z3 с помощью многочлена x2 + 1.

10.Докажите существование полей порядка p2 и p3.

11*. Пусть в некотором поле F характеристики p многочлен x pm − x раскладывается на линейные множители. Докажите, что все корни этого многочлена различны и образуют поле порядка pm.

12*. Докажите, что x pm − x делит x pn − x тогда и только тогда, когда m делит n.

13*. Пусть F – конечное поле порядка pn. Докажите, что все элементы поля F, удовлетворяющие уравнению x pm − x = 0, где m – делитель n, образуют подполе порядка pm, причем подполе такого порядка единственно.

14*. Докажите, что любое подполе поля порядка pn имеет порядок pm, где m – делитель n.

15*. Пусть f(x) – неприводимый многочлен степени m над полем Z p . Докажите, что f(x) делит x pm − x.

16**. Обозначим через fm (x) произведение всех неприводимых мно-

гочленов степени m над полем Z p . Докажите, что

Y

fd (x).

d|n

17*. Найдите fm (x) при простом n.

18*. Найдите fm (x) при p = 2 и n = 4, 6, 8. 19*. Найдите fm (x) при любом m.

20**. Докажите существование полей порядка pn.

21*. Число α C называется алгебраическим, если является корнем многочлена с целыми коэффициентами, и целым алгебраическим, если старший коэффициент этого многочлена равен единице. Докажите, что алалгебраические числа образуют поле, а целые гебраические– кольцо в нем.

22*. Сопряженными к алгебраическому числу называются корни многочлена с целыми коэффициентами минимальной степени, аннулирующего это число. Произведение этого числа на все сопряженные к нему называется его нормой. Докажите, что норма алгебраического числа – рациональное, а норма целого алгебраического числа – целое числа.

23*. Докажите, что любой многочлен с алгебраическими коэффициентами имеет только алгебраические корни.

Дополнительные задачи о комплексных числах

1 . а) Докажите, что множество G всех комплексных чисел с целыми действительными и мнимыми частями является целостным кольцом

(кольцом гауссовых целых чисел).

б) Пусть w – гауссово число. Докажите, что

w Z |w| = ±w,

w обратимо в кольце G |w| = 1 w {±1, ±i}.

в) Пусть w – гауссово число, |w| = √p, p – простое число. Тогда w –

(простой) элемент в G (простое гауссово число).

2.Множество всех гауссовых чисел, кратных в G данному числу w, изображается на комплексной плоскости квадратной решеткой.

3.Для любых w и z G, z 6= 0, найдутся u и v G такие, что

w = zu + v, |v| 6 |z|

(деление с остатком).

4 . Если простой элемент w делит произведение z и u в G, то он делит либо z, либо u.

5. Докажите, что для кольца целых гауссовых чисел справедлива теорема об однозначном разложении на простые множители.

6 . С точностью до умножения на ±1, ±i все простые элементы в G исчерпываются следующими: 1, обычные простые вида 4k + 3 и числа вида x + yi, где x – четно, y – нечетно и x2 + y2 – обычное простое.

7 . Подобно определению кольца вычетов Z/pZ = Z p определите кольцо Gp и докажите, что оно будет полем порядка p2 при простом p = 4k + 3 и не будет полем при простом p = 4k + 1. У к а з а н и е. При p = 4k + 1 выполняется ((2k!)2 + 1) mod p = 0.

8 . Докажите, что простое вида 4k + 1 представимо в виде суммы квадратов двух целых чисел.

9 . Докажите, что любое натуральное n представимо в виде суммы квадратов двух целых чисел тогда и только тогда, когда простые вида 4k + 3 входят в его разложение в четных степенях.

10 . Решите в целых числах уравнение

308 Глава IV. Алгебраические уравнения

Для того, чтобы попытаться решить эти проблемы или доказать их неразрешимость, сведем задачу построения отрезков к алгебраическим задачам.

Прежде всего заметим, что если мы построили отрезок длины a, то можем построить любой отрезок, длина которого представляет собой любое положительное число из поля Q (a). В самом деле, по заданным отрезкам x и y можно построить x ± y, x · y, x/y. Будем тогда говорить, что мы можем построить поле Q (a).

Известно из курса геометрии, что посредством циркуля и линейки

√

по отрезку a можно построить отрезок a при условии, если задан единичный отрезок. Для этого строим окружность диаметром a + 1 и вос-

становим перпендикуляр к диаметру на расстоянии 1 от его конца.

называть пифагоровым расширением. Числа, принадлежащие пифагорову расширению, будем называть пифагоровыми числами.

Теорема 117 (о пифагоровых числах). Число a можно построить тогда и только тогда, когда оно является пифагоровым.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточность мы уже доказали: мы умеем производить четыре арифметические операции и извлекать квадратный корень при помощи циркуля и линейки.

Докажем необходимость. Для этого воспользуемся координатным методом. Проведем прямую и ей перпендикулярную прямую (т. е. построим систему координат). На этих прямых мы можем отложить любую рациональную точку, так что с самого начала мы можем считать заданными точки плоскости, имеющие рациональные координаты. При наших построениях мы можем рассматривать абсциссы и ординаты вновь построенных точек – ведь это тоже «построенные отрезки».

Новые точки получаются только следующим образом:

(i)как пересечение двух построенных прямых;

(ii)как пересечение построенной прямой и построенной окружности;

(iii)как пересечение двух построенных окружностей;

(iv)произвольно выбранные точки.

Применяя многократно эти тождества, можно проверить, что f(z) = f(z¯ ) для z Kn. Значит, для корня x1 Kn

f(x¯ 1) = f(x1) = 0¯ = 0,

Упражнения

ного уравнения ax2 + bx + c = 0: возьмем единичный отрезок AB, проведем BC = −b/a перпендикулярно к AB и CD = c/a перпендикулярно к BC в направлении BA, на диаметре AD построим окружность, пересекающую BC в точках X, Y . Тогда BX и BY – корни уравнения.

3 . Докажите, что корни кубического уравнения с рациональными коэффициентами являются пифагоровыми числами тогда и только тогда, когда оно имеет рациональный корень.

4 . Докажите, что корни уравнения четвертой степени с рациональными коэффициентами являются пифагоровыми числами тогда и только тогда, когда его кубическая резольвента имеет рациональный корень. Кубической резольвентой уравнения

x4 + ax2 + bx + c = 0

является уравнение

z3 + 2az2 + (a2 − 4c)z − b2 = 0.

5 . Докажите неразрешимость циркулем и линейкой следующих задач на построение:

а) построить треугольник по трем данным биссектрисам; б) построить треугольник по двум биссектрисам и высоте;

в) построить треугольник по двум биссектрисам и медиане, выходящим из трех разных вершин;

г) построить квадрат, у которого две соседние вершины лежат на одной данной окружности, а две другие – на другой данной окружности.