Гашков С.В. Современная элементарная алгебра в задачах и решениях

Поэтому ясно, что произвольную (как правильную, так и неправильную) положительную дробь можно представить в виде цепной дроби с натуральными элементами ai , а именно

Чтобы сделать ее однозначной, далее используем только запись, в которой последний элемент ak 6= 1.

Будем использовать также сокращенную запись цепной дроби:

С объявлением однозначности записи числа в виде цепной дроби мы поторопились, так как можно рассматривать цепные дроби с нецелыми элементами. Но для дробей с натуральными элементами это верно: действительно, из равенства

+ 1 ak−1 + ak

следует, что a1 равно целой части дроби l1/l2, так как дробь

1

Определение 7. Выражение числителя и знаменателя преобразованной дроби через a0, a1, . . ., an обозначим [a0, . . ., an] и [a1, . . ., an].

Выражение [a0, . . . , an] представляет из себя многочлен с переменными a0, . . . , an.

Упражнение 4. Непосредственно проверьте, что

[a0, . . . , an] = a0 [a1, . . . , an] + [a2, . . . , an].

Можно считать, что это равенство справедливо и при n = 1, если последней скобке в этом случае приписать значение 1.

Применяя алгоритм Евклида к числителю и знаменателю дроби

[a0, . . . , an] , [a1, . . . , an]

где числа ai – натуральные, замечаем, что она несократима, так как в результате его работы получается как раз цепная дробь

([a0, . . . , an], [a1, . . . , an]) = ([an−1, an], [an]) = ([an], 1) = 1.

Со времен Евклида придумано немало новых вариантов его алгоритма, в основном с целью ускорения работы. Опишем некоторые из них.

Обобщенный алгоритм Евклида определяет последовательность

Число k − 1 назовем его длиной. Как и в обычном алгоритме Евклида, (a, b) = rk.

Алгоритмом Евклида с выбором минимального по модулю остатка называется обобщенный алгоритм Евклида, в котором всегда 2ri 6 ri−1, т. е. на каждом шаге из двух возможных вариантов деления

ri−2 = ri−1qi−1 + ri , где 0 < ri < ri−1,

и

ri−2 = ri−1 (qi−1 + 1) − (ri−1 − ri)

выбираем тот, при котором получается минимальный по абсолютной величине остаток (если они равны по модулю, то берем любой из них).

нения ax − by = 1 есть x = qn−1, y = pn−1.

Обозначим L(a, b) минимальную длину обобщенного алгоритма Евклида для вычисления (a, b), а L0 (a, b) – длину алгоритма Евклида с вы-

18*. Алгоритм Евклида с выбором минимального по модулю остатка на каждом шаге не более чем вдвое короче по числу шагов деления обычного алгоритма Евклида. Оценка достигается на паре (F2n−1, F2n).

19**. (Д. Кнут.) Число вычитаний, выполняемых бинарным алгоритмом в применении к паре чисел u, v, не больше 1 + log2 max (u, v) и равенство возможно, лишь когда log2 (u + v) > log2 max (u, v) .

§ 1.4. Числа Фибоначчи

Определение 10. Последовательность {Fn}, определенная равенствами

F0 = 0, F1 = 1, Fn = Fn−1 + Fn−2, n = 2, 3, 4, . . . , называется последовательностью Фибоначчи ***.

Числа Фибоначчи тесно связаны с цепными дробями и алгоритмом

но Fn+1 и при любых натуральных a1, . . . , an справедливо нера-

венство Fn+1 6 [a1, . . ., an], которое обращается в равенство, лишь когда a1 = . . . = an = 1.

* Л. Кронекер (Leopold Kroneсker, 1823–1891) – известный немецкий математик. Автор афоризма: «Господь создал натуральные числа. Остальное дело рук человека».

**Французский математик Дюпре доказал эту теорему в середине XIX в.

***Она появилась в XIII столетии в книге Леонардо Пизанского, по прозвищу Фибоначчи (Leonardo da Pisa, Fibonacci, ок. 1170–1228), в задаче, в которой шла речь о размножении кроликов.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Первое утверждение леммы следует из второго, поэтому достаточно доказать индукцией по n, что Fn+1 6 [a1, . . ., an], причем равенство Fn+1 = [a1, . . . , an] справедливо, лишь когда a1 = . . .

. . . = an = 1.

Удобно начинать индукцию с n = 0, полагая формально, как и раньше,

[a1, . . ., an] = 1, F1+a1+. . .+an = F1 = 1 при n = 0, тогда неравенства леммы очевидно обращаются в равенства.

База индукции (n = 0, 1) теперь очевидна. Проведем индукционный переход. Согласно равенству

[a1, . . . , an] = a1 [a2, . . . , an] + [a3, . . . , an] и предположению индукции, справедливы неравенства

Обозначая предел последовательности ϕn через ϕ и переходя к пре-

у которого на роль ϕ годится только положительный корень

√

ϕ= ( 5 + 1)/2

–так называемое золотое сечение.

Среди огромного числа фактов о числах Фибоначчи мы приведем только небольшое количество.

Лемма 3. Для чисел Фибоначчи справедливо тождество Fn+m = FmFn+1 + Fm−1Fn, m > 1, n > 0.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Доказательство тождества проведем индукцией по m. База индукции при m = 1, 2 очевидно справедлива, а для выполнения шага индукции достаточно проверить равенство

Fn+m+1 = Fn+m + Fn+m−1 = (FmFn+1 + Fm−1Fn) + (Fm−1Fn+1 + Fm−2Fn) =

= (Fm + Fm−1)Fn+1 + (Fm−1 + Fm−2)Fn = Fm+1Fn+1 + FmFn.

а значит, и неравенству

√

n 6 logϕ ( 5(m + 1/2)) ,

так как logϕ (√5(m + 1/2)) не может быть целым числом, ведь в противном случае

что невозможно, так как Fk – целое число.

Второе утверждение леммы очевидно равносильно первому. Отметим, что из леммы вытекает, что последовательность

Φ(m) = logϕ (√5(m + 1/2))

обратна к последовательности Фибоначчи Fn в том смысле, что Φ(Fn) = n.

Теорема 7 (Дюпре). Наибольшее число делений в алгоритме Ев-

клида нахождения (a, b) не превосходит

√

logϕ ( 5 (min (a, b) + 1/2)) .

Оценка точная.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Можно считать, что a > b. Пусть число делений равно k + 1, значит, a/b представимо k-этажной дробью

[a0, . . . , ak] , [a1, . . . , ak]

а так как [a0, . . . , ak] и [a1, . . . , ak] взаимно просты, то [a1, . . . , ak] 6 b,

30 Глава I. Числа и комбинаторика

и из леммы 2 следует, что Fk 6 b, а из леммы 4 следует, что

k 6 logϕ (√5(b + 1/2)) . На практике более удобно для применения следующее утверждение.

Следствие из теоремы 7 (Ламе *). Наибольшее число делений в алгоритме Евклида нахождения (a, b) не превосходит 5k, где k – число десятичных знаков в наименьшем из чисел a, b.

Задачи и упражнения к § 1.4

1.Проверьте, что Fn – ближайшее целое к числу ϕn/√5.

2.Докажите следствие из теоремы 7.

3.Сколькими способами можно замостить прямоугольник размера 2 × n фишками домино размера 1 × 2?

У к а з а н и е. Можно применить задачу 10 из § 1.3 и лемму 3.

4. Сколько подмножеств можно выбрать в множестве чисел от 1 до n, не включающих двух соседних чисел?

У к а з а н и е. Можно применить задачу 10 из § 1.3 и лемму 3.

5.Докажите, что Fm+1Fn − FmFn+1 = (−1)mFn−m.

6.Докажите, что (Fn, Fn+1) = 1.

7.Если продолжить последовательность Фибоначчи в «отрицатель-

ную» сторону с сохранением равенства Fn + Fn+1 = Fn+2, то будут выполняться равенства F−k−1 = (−1)kFk и сохранятся все формулы предыдущих задач.

Следующая задача обобщает задачу 6.

8*. (Люка **.) Докажите, что (Fn, Fm) = F(n,m) .

9. Последовательность Фибоначчи содержит бесконечно много попарно взаимно простых чисел.

10*. Вместо чисел Фибоначчи рассмотрим остатки от их деления на данное число m. Докажите, что последовательность остатков является чисто периодической с периодом, не большим m2 − 1.

11. В случае m = Fk найдите точно период последовательности из предыдущей задачи.

12*. Найдите остаток от деления Fn на Fk.

* Г. Ламе (Gabriel Lamé, 1795–1870) – французский инженер и математик, член Парижской и Петербургской академий наук.

** Эдуард Люка (Eduard Lucas, 1842–1891) – известный французский специалист по теории чисел и педагог, автор множества красивых задач и четырехтомника о математических развлечениях, сильно сокращенный перевод которого был издан в 1885 г. в Санкт-Петер- бурге и с тех пор, к сожалению, не переиздавался.