Гашков С.В. Современная элементарная алгебра в задачах и решениях

19. Выразить количество целых чисел, находящихся на промежутке а) (a, b] (т. е. удовлетворяющих неравенствам a < x 6 b);

б) (a, b) (т. е. удовлетворяющих неравенствам a < x < b), через функции «пол» и «потолок».

20. (Мак-Элис.) Пусть f(x) – непрерывная строго возрастающая на отрезке I функция. Если x лежит в I, то x и x тоже лежат в этом отрезке.

Тогда равенства

f( x ) = f(x) и f( x ) = f(x)

равносильны друг другу и выполняются тогда и только тогда, когда функция обладает следующим свойством: если f(x) – целое число, то и x – тоже целое число. p

21. Докажите, что n(n + 1) (n + 2) (n + 3) = n2 + 3n. 22*. (В. Тебо.) Докажите, что

p

4 n(n + 1) . . . (n + 7) = n2 + 7n + 6.

В дальнейшем будем использовать следующие стандартные обозначения: N – множество натуральных чисел, Z – множество целых чисел, P – множество простых чисел, Q – множество рациональных чисел, R – множество действительных чисел, C – множество комплексных чисел (о последних пойдет речь в § 4.3).

§ 1.2. Натуральные числа

Определение 1. Если a – целое число, b – натуральное число, то неполным частным q и остатком r от деления числа a на число b

называются такие целые числа, что

a = bq + r и 0 6 r < b.

Теорема 1. Для любого целого числа a и натурального числа b неполное частное и остаток от деления a на b существуют

иопределены однозначно.

До к а з а т е л ь с т в о. Существование неполного частного и остатка очевидно (на самом деле не совсем очевидно, но мы в такие тонкости вдаваться здесь не будем).

Единственность доказывается от противного. Допустим, что существуют два разложения: a = bq1 + r1 = bq2 + r2. Тогда 0 < |r1 − r2| < b и в то же время |r1 − r2| = b · |q1 − q2| > b.

простых чисел – конечное количество, и p1, p2 . . ., pn – все такие числа. Тогда число p1 · p2 · . . . · pn + 1 не делится ни на одно из этих чисел, и поэтому согласно теореме 3 имеет простой делитель, отличный от любого из чисел pi , i = 1, . . . , n. Противоречие.

Теорема 4 (Гаусс *). Любое натуральное число n > 1 можно единственным способом представить в виде n = p1α1 · p2α2 · . . . · pkαk , где αi – натуральные числа, а p1, p2, . . ., pn – некоторая монотонно возрастающая последовательность простых чисел.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Существование указанного в формулировке теоремы разложения

n = p1α1 · p2α2 · . . . · pmαm , p1 < p2 < . . . < pm

(называемого далее каноническим разложением на простые числа), следует из теоремы 2. Единственность докажем индукцией по n. Ба-

а в этом случае оба разложения бы совпали, чего не может быть.

Рассмотрим все остальные возможные случаи. Если p1 = q1, то число P равно Q, меньше n и имеет два различных разложения p1α1−1 · . . .

. . . · pmαm и q1β1−1 · . . . · qkβk , что ведет к противоречию.

Если же p1 < q1, то представим число n − p1Q в виде (q1 − p1)Q и заметим, что оно больше нуля, меньше n и делится на p1, так как представимо в виде p1 (P − Q). Но это число имеет два разложения: первое из них получается умножением на p1 разложения числа P − Q, а второе – умножением на Q разложения числа p1 − q1. Эти разложения различны, так как второе разложение не содержит число p1, ведь p1 − q1 < p1, а qk > . . . > q1 > p1. Полученное противоречие и доказывает теорему.

Определение 4. Наибольшим общим делителем целых чисел a и b

называется наибольшее число НОД(a, b), которое делит a и b.

Два числа называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен единице.

* К. Гаусс (Carl Friedrich Gauss, 1777–1855) – великий немецкий математик, прозванный еще при жизни «королем математиков».

Общее число арифметических операций, затраченных на вычисление НОД(a, b), равно k + 2, и еще 4k + 3 операции нужны для нахождения коэффициентов n, m, называемых иногда коэффициентами Безу *.

Метод, с помощью которого только что был найден наибольший общий делитель, называется алгоритмом Евклида, точнее, расширенным алгоритмом Евклида, так как обычный алгоритм Евклида не вычисляет коэффициентов Безу. Это едва ли не самый известный алгоритм

вматематике (дедушка всех алгоритмов, по словам Дональда Кнута).

Вкачестве приложения доказанной теоремы получим следующую лемму.

Лемма 1. (i) Если целые числа a и b взаимно просты и a делит произведение b на целое число c, то a делит c.

(ii) Если произведение a1 . . . am делится на простое число p, то хотя бы один из его сомножителей ai делится на p.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем первое утверждение. Из предыдущей теоремы следует, что

an + bm = 1.

Умножив обе части этого равенства на c, получим равенство acn + bmc = c.

Очевидно, что a | acn, a | bc, значит, a | bcm и a | acn + bmc = c.

Второе утверждение выведем из первого. Можно предположить, что ai не делится на p при всех i < m (иначе нечего доказывать). Так как p – простое, то это означает взаимную простоту p с любым числом ai , i < m. Применяя m − 1 раз первое утверждение леммы, получаем, что am делится на p.

З а м е ч а н и е 1. Эту лемму легко также доказать с помощью только что доказанной теоремы Гаусса об однозначности разложения на простые множители (называемой иногда основной теоремой арифметики). Однако не принято выводить легкие теоремы из трудных, и мы, опираясь на упомянутую лемму, получим другое доказательство теоремы Гаусса (быть может, более простое, чем приведенное раньше) также методом математической индукции.

Предположим, что мы доказали теорему для всех чисел, меньших n. Пусть n = q1α1 · q2α2 · . . . · qtαt – каноническое разложение на простые множители. Докажем, что это разложение единственно.

* Э. Безу (Etienne Bezout, 1730–1783) – французский математик, член Парижской академии наук.

Задачи и упражнения к § 1.2

1. Дайте подробное обоснование рассуждений из замечаний в конце доказательства теоремы 5.

Иногда коэффициентами Безу называют любые целые m, n, для которых (a, b) = na + mb.

2*. Докажите существование коэффициентов Безу без использования алгоритма Евклида.

3. Коэффициенты Безу определены неоднозначно. Укажите способ, как по известной паре коэффициентов Безу найдите все остальные такие пары.

Задача поиска коэффициентов Безу – это не что иное, как задача о решении линейного уравнения с двумя неизвестными в целых числах.

4*. Докажите, что существуют коэффициенты Безу, удовлетворяющие или неравенству |n|6b/2·(a,b), или неравенству |m|6a/2·(a,b).

5. Выведите из теоремы 5 следующие утверждения:

а) если |ai | = p1αi1 ··· pmαim , αij > 0, i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , m, то (a1, . . . , an) = p1β1 . . . pmβm , [a1, . . . , an] = p1γ1 . . . pmγm ,

б) [a, b] · (a, b) = a · b;

в) если c | ab и (c, a) = 1, то c | b;

г) если (a, b) = 1, то уравнение ax + by = 1 разрешимо в целых числах; д) уравнение a1x1 + . . . + anxn = b разрешимо в целых числах тогда

остатку от деления на 99 суммы его цифр в записи по основанию 100. Такой же признак делимости справедлив и для числа 33.

Например, остаток от деления числа 1111111 на 33 равен остатку от деления числа 1 + 11 + 11 + 11 = 34 на 33, т. е. 1.

7. Докажите, что остаток от деления произвольного числа на 37 равен остатку от деления на 37 суммы его цифр в записи по основанию 1000.

Например, остаток от деления числа 1111111 на 37 равен остатку от деления числа 1 + 111 + 111 = 223 на 37, т. е. 1.

8. Каким днем недели будет 1 января 2101 года?

9. Докажите, что остаток от деления произвольного числа на 11 равен остатку от деления на 11 знакопеременной суммы его цифр в десятичной записи, в которой число единиц берется со знаком плюс.

2 Гашков

22. Число вида 4k + 1 назовем псевдопростым, если оно не разлагается в произведение чисел такого же вида, отличных от 1. Докажите, что любое число вида 4k + 1 разлагается в произведение псевдопростых.

Проверить, что число 693 имеет два различных разложения на псевдопростые.

23. Пусть a, n – натуральные числа. Докажите, что если an − 1 простое, то a = 2 и n простое. Проверить, что 2p − 1 не всегда будет простым, если p – простое. Простые вида 2p − 1 называются простыми числами

Мерсенна *.

24.Докажите, что если 2n + 1 простое, то n – степень двойки.

25.Числа fn = 22n + 1 называются числами Ферма **. Первые четыре из них – простые, но уже 232 + 1 – нет. Докажите это, пользуясь тем, что 641 = 54 + 24 = 5 · 27 + 1 делит числа 54 · 228 + 24 · 228 и 54 · 228 − 1.

26*. Докажите, что (fn, fm) = 1 при n 6= m. Выведите отсюда, что простых чисел бесконечно много.

27*. Докажите, что в последовательности 2n − 3 а) бесконечно много чисел, делящихся на 5; б) бесконечно много чисел, делящихся на 13; в) нет чисел, делящихся на 5 · 13;

г) бесконечно много попарно взаимно простых чисел.

28. Докажите, что не все натуральные числа представимы в виде суммы а) трех квадратов; б) трех кубов целых чисел.

У к а з а н и е. Использовать признаки делимости на 8 и на 9.

29. (Эратосфен ***.) Докажите, что для составного n наименьший

√

простой делитель не превосходит n.

§ 1.3. Алгоритм Евклида и цепные дроби

Свой знаменитый алгоритм **** Евклид придумал для решения задачи

осоизмеримости двух отрезков.

* М. Мерсенн (Marin Mersenne, 1588–1648) – монах из ордена миноритов, которому писали письма о своих открытиях Ферма, Декарт и Паскаль. В условиях отсутствия научных журналов через него они узнавали о достижениях своих коллег.

**П. Ферма (Pierre de Fermat, 1601–1665) – великий французский математик. Был советником парламента в Тулузе.

***Эратосфен Киренский (Erato enhs, 276–194 до н. э.) – выдающийся древнегреческий математик и географ.

****Сам он свой метод алгоритмом, конечно, не называл, термин этот стал популярен позднее и происходит от искажения имени Аль Хорезми (Абу Абдалла Мухаммед бен Муса аль Маджуси, 787–850), жившего в Хорезме выдающегося математика, название одной из книг которого (Китаб мухтасар аль-джебр ва-л-мукабала) дало имя алгебре.

2*