Гашков С.В. Современная элементарная алгебра в задачах и решениях

Теорема 88 (Муавр). (i) Если f – возвратный многочлен степе-

и их коэффициенты удовлетворяют равенствам ak = a2n−k, значит, и многочлен g(x) тоже удовлетворяет этим равенствам и является возвратным, так как его степень равна 2n.

Следствие из теоремы 88. Возвратное уравнение n-й степени сводится к уравнению степени n/2 .

Определение 85. Многочлен p(x) называется четным, если он удовлетворяет тождеству p(x) = p(−x), и нечетным, если он удовлетворяет тождеству p(x) = −p(−x)

Упражнение 78. 1. Любой многочлен однозначно представим в виде суммы четного и нечетного многочленов.

2.Четный многочлен степени n представим в виде f(x2), где f – много-

член степени n/2 и содержит только четные степени, а нечетный – в виде xf(x2), где f – многочлен степени (n − 1)/2 и содержит только нечетные степени.

3.Четное или нечетное уравнение n-й степени сводится к уравнению степени n/2 .

Задачи и упражнения к § 3.9

1.Решите уравнения

(i)x3 + 3x2 − 5x + 3x + 1 = 0;

(ii)x4 + 2x3 − 4x2 + 2x + 1 = 0.

2. Многочлены Чебышёва определяются равенством Tn (cos x) = = cos nx. Докажите, что Pn (x) = 2Tn (x/2).

Последовательность Pi (x) можно формально продолжить и для отрицательных индексов, при этом, очевидно P−i (x) = Pi (x).

3.Многочлены Pn c четными номерами сами четные, а многочлены

снечетными номерами – сами нечетные. Поэтому их удобно представлять

Pn+m (x) + Pn−m (x) = Pn (x)Pm (x). У к а з а н и е. Действительно,

zn+m + z−n−m + zn−m + z−n+m = (zn + z−n) (zm + z−m).

6*. Для последовательности Pn (x) справедливы следующие равенства

§ 3.10. Симметрические многочлены

Пусть K – кольцо. Напомним, что через K[x1, . . . , xn] обозначается кольцо многочленов от переменных x1, . . ., xn с коэффициентами из кольца K .

и перестановка α Sn, где Sn – группа перестановок символов {1, 2, . . . n}.

Определение 86. Определим действие перестановки α на многочлен f равенством

i1 ... in

Определение 87. Многочлен f(x1, . . ., xn) K[x1, . . ., xn] называется симметрическим, если для любой перестановки α Sn справедливо ра-

венство

fα (x1, . . . , xn) = f(x1, . . . , xn).

Определение 88. Элементарные симметрические многочлены –

это многочлены

σ1 (x1, . . . , xn) = x1 + . . . + xn,

σ2 (x1, . . . , xn) = x1x2 + x1x3 + . . . + x1xn + x2x3 + . . . + xn−1xn,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Упражнение 79. Симметрический многочлен можно записывать в

или выполняется равенство

i1 + . . . + in = j1 + . . . + jn

и одно из следующих условий:

i1 > j1;

i1 = j1, i2 > j2;

и т. д. Записываем отношение старшинства в виде

x1i1 . . . xnin x1j1 . . . xnjn .

Будем выражать симметрические многочлены x1i1 . . . xnin + . . . через элементарные симметрические многочлены и симметрические многочлены вида x1j1 . . . xnjn + . . ., где x1i1 . . . xnin x1j1 . . . xnjn . Заметим, что при раскрытии скобок в произведении

в сумме будет присутствовать одночлен вида x1i1 . . . xnin (и все одночлены, получающиеся из него перестановками переменных). При этом среди

одночленов в этой сумме он будет старшим. Тогда у симметрического

многочлена

x1i1 . . . xnin + . . . − σ1i1−i2 σ2i2−i3 −in σnin

все одночлены имеют меньший вес. Для каждого из них применим ту же процедуру. Продолжая этот процесс, мы выразим наш многочлен через элементарные симметрические многочлены за конечное число шагов.

Доказательство единственности этого выражения проведем от противного. Пусть

ϕ1 (σ1 (x1, . . ., xn), . . ., σn (x1, . . ., xn)) и ϕ2 (σ1 (x1, . . ., xn), . . ., σn (x1, . . ., xn))

– два различных выражения для f(x1, . . ., xn). Тогда ненулевой многочлен

ϕ(y1, . . . , yn) = ϕ1 (y1, . . . , yn) − ϕ2 (y1, . . . , yn)

при подстановке yi = σi (x1 . . . xn) обращается в нуль. При этой подстановке одночлен ay1j1 y2j2 . . . ynjn в многочлене ϕ(y1 . . . yn) с ненулевым коэффициентом a перейдет в сумму одночленов, в которой старшим будет

Упражнение. Докажите это.

Из всех одночленов ay1j1 . . . ynjn

что одночлен

ax1j1+. . .+ jn

будет самым старшим из всех возможных.

уравнения

xn + a1xn−1 + . . . + an = 0

новое уравнение

xn + b1xn−1 + . . . + bn = 0,

у которого все корни являются заданной m-й степенью корней исходного уравнения. Для простоты предположим, что модули всех его корней различны:

|x1| > |x2| > . . . > |xn|.

Впрочем, если мы предварительно проведем отделение кратных корней, как будет показано в § 3.12, вероятность появления равных модулей будет очень мала.

Если m достаточно велико, то |x1m| будет значительно больше |x2m|, поэтому можно считать, что

|b1| = |σ1 (x1m, . . . , xnm)|

приближенно равно |x1m|, откуда имеем приближенную формулу

ln |x1| ≈ m1 ln |b1|.

Аналогично находим модули остальных корней, например, для нахождения |x2| замечаем, что если m достаточно велико, то |x1mx2m| будет значительно больше всех остальных |ximxmj |, поэтому можно считать, что

|b2| = |σ2 (x1m, . . . , xnm)|

приближенно равно |x1mx2m|, откуда имеем приближенную формулу

ln |x1x2| = m1 ln |b2|, а так как |x1| уже найден, то приближенно

и т. д.

Однако находить указанное уравнение для очень больших m чрезвычайно трудоемко, и кажется, что это обесценивает идею. Но можно делать это только для m = 2k, k раз повторяя процедуру построения уравнения, корни которого равны квадратам корней исходного (применяем бинарный метод!). Еще некоторое упрощение вычислений достигается введением понятия корней Энке.

Определение 90. Корнями Энке назовем корни уравнения, взятые с обратным знаком.

Очевидно, что квадраты корней Энке совпадают с квадратами обычных корней, а теорема Виета для корней Энке приобретает особенно простой вид, так как в ней можно не следить за знаками коэффициентов.

На каждом шаге итерации будем по исходному уравнению xn + a1xn−1 + . . . + an = 0

строить новое уравнение

xn + b1xn−1 + . . . + bn = 0,

у которого корни Энке являются квадратами корней Энке исходного уравнения. Для этого в исходном уравнении перенесем нечетные степени в правую часть, возведем полученное уравнение почленно в квадрат (далее в выкладках для определенности положим, что n – четно)

(xn + a2xn−2 + a4xn−4 + . . .)2 = (a1xn−1 + a3xn−3 + . . .)2

и введем новую переменную, полагая y = −x2, откуда имеем

yn + (a21 − 2a2)yn−1 + (a22 − 2a1a3 + 2a4)yn−2 + . . . = 0.

У полученного уравнения корни Энке как раз и равны квадратам корней Энке исходного уравнения.

Упражнение 80. Проверьте, что остальные коэффициенты нового уравнения вычисляются по формулам

b3 = a23 − 2a2a4 + 2a1a5 − 2a6,

b4 = a24 − 2a3a5 + 2a2a6 − 2a1a7 + 2a8,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , bn = a2n,

и покажите, что сложность вычисления коэффициентов оценивается как 3n2/2 + Cn операций сложения-вычитания и умножения чисел, где C – некоторая константа.

Правило вычисления коэффициентов может быть выражено словесно следующим образом: i-й коэффициент нового уравнения получается прибавлением к квадрату i-го коэффициента исходного уравнения удвоенного произведения каждой пары коэффициентов, равноотстоящих от него с обеих сторон и взятых с чередующимися знаками.

Если нужно найти корни уравнения, например, с четырьмя знаками после запятой, но допускается, что точность вычисления может быть и меньше, то можно все вычисления делать с четырьмя знаками и для краткости записывать получающиеся очень большие коэффициенты в виде, например, 2002p вместо 2002 · 10p .

190 Глава III. Многочлены

Задачи и упражнения к § 3.10

5*. Решите методом квадратного корня уравнение c кратными корнями x3 + 7x2 + 16x + 12 = 0.

6*. Пусть xi – корни уравнения золотого сечения x2 − x − 1 = 0. Составьте уравнение с корнями xi2n , i = 1, 2.

7*. Пусть xi – корни уравнения x2005 − 7x3 + 1 = 0. Найдите сумму

2005P

i=1

xi2005.

8. Решите систему уравнений

(

x3y + x3y2 + 2x2y2 + x2y3 + xy3 = 30; x2y + xy + x + y + xy2 = 11.

11*. Пусть pk – симметрический многочлен от n переменных степени k, и многочлены p1, . . . , pn алгебраически независимы, т. е. не существует ненулевого многочлена Q(x1, . . . , xn) такого, что

Q(p1, . . . , pn) = 0.

Докажите, что любой симметрический многочлен от n переменных выражается через многочлены p1, . . . , pn.