Гашков С.В. Современная элементарная алгебра в задачах и решениях

шифровалась парой своих координат (i, j) (номерами строки и столбца), а передаваться сообщения могли в то время с помощью факелов – i факелов в левой руке и j факелов в правой означали пару (i, j).

Кстати, этот шифр представляет, вероятно, первый пример так называемого алфавитного кодирования, которое заключается в том, что каждая буква алфавита сообщения заменяется на слово в более коротком

шифроалфавите.

Дальнейшее развитие идеи алфавитного кодирования принадлежит знаменитому английскому философу, эзотерику и писателю сэру Френсису Бэкону, который начал использовать двоичный алфавит в качестве шифроалфавита. В криптографии, правда, это не нашло особого применения, главным образом из-за пятикратного удлинения шифртекста

всравнении с клером, но зато эта идея легла в основу телеграфных кодов (азбука Морзе), которые сейчас вышли из употребления и их роль

вкаком-то смысле играют компьютерные коды, например, ASCII-код, а также, например, в основу кодов Брайля, на которых пишут книги для слепых, или штрих-кодов на товарных наклейках *.

Возвращаясь к истории, следует сказать, что первые идеи криптографии, такие, как замена символов, появились в Древнем Египте и Шумере. Но использовалась она, вероятно, только для шифрования религиозных текстов, медицинских рецептов и пр. Ее развитие сдерживалось слишком большой сложностью идеографического письма.

Первое применение в политических целях криптографии и криптоанализа, т. е. науки о чтении криптограмм при неизвестном шифре или ключе к нему, вероятно, принадлежит древним индусам. Правда, не сохранилось информации, как и какие шифры они умели вскрывать.

Стех пор криптография применялась в основном уже с политическими целями. О том, как это делали греки, уже говорилось. После них, как и в математике, эстафету приняли арабы. Само слово «шифр» арабского происхождения. О тайнописи упоминалось даже в сказках «Тысячи и одной ночи». Первую в истории книгу, посвященную описанию некоторых шифров, написал в 855 г. Абу Бакр Ахмед бен Али ан Набати.

В 1412 г. Шехаб аль Кашканди в своей 14-томной энциклопедии поместил раздел под названием «О сокрытии в буквах тайных сообщений», в котором кроме семи разных шифров впервые появилось описание вскрытия шифров методом частотного анализа. Статистику встречаемости букв и биграмм он составил на основе текста Корана.

* Черные и белые промежутки в них соответствуют последовательностям нулей и единиц длины от 1 до 4.

С этого момента начинает свою историю криптоанализ. Кстати, этим методом успешно вскрываются аффинные шифры, описанные выше.

ВЕвропе, после периода застоя в темные века и в раннем средневековье, криптография, как и математика, начала бурно развиваться в Италии. Первый зашифрованный текст, хранящийся в архивах Ватикана, датируется XIV в., а первый простейший шифр – XII в.

ВXIV в. секретарь Римского папы Габриэль де Лавинда, помимо шифроалфавита с пустышками (ничего не значащими символами), использовал также список часто встречающихся в переписке слов и имен, которые заменялись кодовыми словами. Вообще кодом называется замена на другие символы не отдельных символов, как в шифре, а целых слов. Список кодируемых слов и их кодовых эквивалентов назывался номенклатором. Так же стали называться гибридные системы, сочетающие в себе свойства и шифра, и кода. Со времен Габриэля де Лавинды именно номенклаторы стали на 450 лет основой шифровального дела

вЕвропе.

В1401 г. в Мантуанском герцогстве был впервые изобретен первый представитель шифров многозначной замены, или омофонов.

В1474 г. появилась книга о тайнописи Чико Симонетти, секретаря Миланского герцога. Это был, вероятно, первый в мире трактат, посвященный криптоанализу. В нем излагались правила вскрытия шифров простой замены и высказывалась идея шифров пропорциональной замены, в которых число различных замен для каждой буквы было пропорционально частоте ее встречаемости в открытом тексте.

Выдающимся криптографом проявил себя знаменитый итальянский философ, художник и архитектор Леон Альберти *. В 1466 г. в своем труде о шифрах он описал шифровальный диск, который состоял из неподвижного большого и подвижного малого соосных дисков, на которых были написаны символы алфавита, причем на большом диске четыре самые редко используемые буквы были заменены на первые четыре цифры. Этот диск реализовывал шифр простой замены Цезаря, роль ключа играла выбранная буква на подвижном диске. Но после того, как была зашифрована часть текста, ключ по определенному правилу менялся, таким образом, Альберти фактически положил начало многоалфавитным шифрам, которые стали впоследствии основным классом шифров, используемых с серьезными целями. Кроме того, он составил большой номенклатор, в котором в качестве кодовых слов использовались числа от 11 до 4444. Если слово из номенклатора встречалось в тексте, оно

* Л. Б. Альберти (Leon Battista Alberti, 1404–1472). Сформулировал законы перспективы.

заменялось соответствующим кодом, а потом шифровалось с помощью диска наравне с другими словами. Таким образом, Альберти изобрел коды с перешифрованием, получившие широкое распространение только в конце XIX в. Свой шифр он назвал «шифром, достойным королей».

Следующий шаг в развитии многоалфавитных шифров сделал в XVI в. знаменитый философ и эзотерик аббат Иоганн Тритемий, написавший книгу «Стеганография». В ней впервые появилась квадратная таблица для шифрования. В первой ее строке был написан обычный алфавит, во второй строке он был циклически сдвинут влево на одну букву

ит. д. Первая буква шифровалась первым алфавитом, вторая – вторым алфавитом и т. д. Таким образом, шифр Тритемия стал первым примером периодического шифра. Он имел преимущество перед шифром Альберти, так как шифроалфавиты в нем менялись постоянно, а не через некоторые промежутки, как у Альберти.

В1553 г. Джованни Баттиста Белазо предложил использовать для шифрования короткий, легко запоминаемый ключ, который он назвал паролем. Пароль периодически выписывался над шифруемым текстом

иего буквы указывали на тот алфавит, который использовался для шифрования соответствующей буквы текста.

Через 10 лет 28-летний Джовании делла Порта опубликовал книгу «О тайной переписке», в которой усовершенствовал идеи Тритемия

иБелазо, а также предложил шифр простой биграммной замены. В нем с помощью специальной таблицы заменялись на шифросимволы пары букв открытого текста. Этот шифр стал первым из класса блочных шифров, в которых текст разбивается на блоки, которые потом шифруются. Шифры с побуквенным шифрованием называются

поточными.

Знаменитый математик, изобретатель, врач, астролог, эзотерик и криптограф Джироламо Кардано, имя которого еще встретится далее, предложил использовать в качестве ключа сам открытый текст.

Эту идею развил французский криптограф барон Блез де Виженер, который предложил также в таблице Тритемия перемешивать алфавит в первой строке, и с тех пор ее называют таблицей Виженера. В качестве самоключа он предложил использовать сам открытый текст, но с добавленной в его начало секретной ключевой буквой, известной получателю.

Несколько отвлекаясь, заметим, что в средние века криптография связывалась не столько с математикой, сколько с магией. В своей книге Д. Кан по существу называет это обывательским предрассудком и объясняет его происхождение тем, что алхимики и астрологи часто зашифровывали свои тексты, а также удивлением от самой возможности вскрытия

шифра. Но этот предрассудок дожил почти до нашего времени, и в написанной в 1928 г. книге американца Мэнли Холла «Энциклопедическое изложение масонской, герметической, каббалистической и розенкрейцеровской философии», переведенной у нас в 1992 г., есть раздел о криптографии, написанный отнюдь не с научных позиций. Заметим еще, что так называемая естественная магия, адептами которой были М. Фичино, Пико де Мирандолла, Агриппа, Парацельс, Джордано Бруно и другие, была широко распространена в средневековье. И Тритемий, и Кардано писали о ней в тех же книгах, в которых они описывали свои шифры *.

Кардано также предложил использовать для шифрования поворотную решетку. Она представляла собой твердый трафаретный лист,

вкотором были проделаны прямоугольные прорези. Лист накладывался

* См. об этом книгу Фр. Йейтс «Джордано Бруно и герметическая традиция».

на бумагу того же размера, а в прорезях писалось сообщение. После снятия решетки на бумаге дописывался текст, маскирующий секретное сообщение.

Подобным методом пользовались, например, кардинал Ришелье и А. С. Грибоедов во время своей дипломатической работы.

Фактически это был метод не столько шифрования, сколько стеганографии. Под стеганографией понимаются сейчас методы скрытия самого факта передачи секретного сообщения, чем она отличается от криптографии, в которой сам факт передачи криптограммы никак не маскируется. Как стеганографический метод применял свой двоичный код Френсис Бэкон. Вместо двоичных цифр он использовал обычный алфавит, но со шрифтами двух типов. Таким методом можно было в любом тексте спрятать шифровку, если конечно, шрифты были достаточно мало различимы.

Интересно, что в XIX в., главным образом в кругах, интересующихся наследием возникшего в средневековье тайного мистического ордена розенкрейцеров, появилась идея, что Френсис Бэкон, которого считали розенкрейцером, является настоящим автором пьес Шекспира. Начали искать подтверждение этого в шифрах, которые мог оставить Бэкон в своих книгах, а также в первом знаменитом издании пьес Шекспира. Было, естественно, найдено много таких, якобы зашифрованных, фрагментов. Серьезные исследователи, правда, замечали, что в любом длинном тексте можно при желании и некоторых натяжках найти короткие фрагменты, напоминающие шифры. Но у сторонников авторства Бэкона стремление доказать это криптографическим методом приняло форму мании. Американский миллионер Фабиан даже создал в начале XX в. на свои деньги лабораторию криптоанализа, которая занималась только подобными исследованиями.

Фабиан нанял на работу дипломированного генетика Уильяма Фридмана, сына эмигрантов из России. Через некоторое время Фридман уже возглавлял у Фабиана и лабораторию генетики, имевшую прикладную сельскохозяйственную направленность, и лабораторию криптоанализа. Доказать авторство Бэкона он не смог, более того, он впоследствии опубликовал книгу, где опровергал возможность такого криптографического доказательства. Но он не на шутку увлекся криптографией и своей подчиненной Элизабет Смит, с которой обвенчался в 1917 г. Они стали самой знаменитой супружеской парой в истории криптографии. После вступления Америки в войну у него с супругой появилась серьезная работа по правительственным заказам. После войны он ушел от Фабиана и стал главным криптографом войск связи. Фридман опубликовал выдающиеся работы по криптоанализу, частью у Фабиана, частью позднее, где

56-битный ключ *. Начали публиковаться в открытой печати и другие шифры, а также возможные атаки на них. Недавно прошел открытый (!) конкурс на замену этого стандарта, и уже утвержден новый стандарт **.

Тогда же, в 70-е годы, были придуманы первые шифровальные системы с открытым ключом, и начало развиваться немыслимое ранее научное направление. Начали издаваться специальные журналы и проводиться конференции.

Опишем одну из самых простых и самых популярных систем открытого шифрования – систему RSA (Ривеста–Шамира–Адлемана). Вся математика этой системы основана на теореме Эйлера, с помощью которой доказывается следующее утверждение.

Отображение x → xs группы Zn в себя можно использовать для так называемого открытого шифрования. Шифровка производится очень быстро с помощью компьютера, числа s и n можно сообщить всем желающим. Дешифровка также проводится быстро, если известен ключ t. Проводящему атаку на эту систему для нахождения t из сравнения st ≡ 1 (mod ϕ(n)) надо знать ϕ(n) = (p − 1) (q − 1) = n + 1 − p − q, т. е. p и q. Вы выбираете p и q очень большими, сообщаете всем n = pq и произвольное s, (s, ϕ(n)) = 1, и можете быть уверенными, что пока не будет изобретен алгоритм быстрого разложения на простые, ваша секретная система будет надежной.

Некоторые замечания об использовании этой системы и примеры других подобных систем приведены в следующих далее упражнениях.

Задачи и упражнения к § 2.9

1*. (Криптографическая лемма.) В условиях предыдущего упражнения докажите, что отображения x → xs и x → xt являются взаимно однозначными и взаимно обратными не только на подгруппе Zn, но и на всем кольце вычетов Zn.

Ук а з а н и е. Примените китайскую теорему об остатках.

* Разработчики этого алгоритма из IBM предлагали вначале 128-битный ключ, но под давлением АНБ – Агентства национальной безопасности – длина ключа была уменьшена. Интересно, почему?

**Возможно, в АНБ уже смирились с тем, что криптография выходит из-под контроля спецслужб, но экспорт качественных криптографических алгоритмов из США в другие страны запрещен.