O

B

C P

A

B

C

A Q

R

Рис. 73. Конфигурация Дезарга в пространстве

однозначно.

Тем не менее конфигурация, изображенная на рис. 72, может быть истолкована как перспективное изображение пространственной конфигурации рис. 73, и это обстоятельство можно использовать при доказательстве «плоской» теоремы.

Есть существенное различие между теоремой Дезарга на плоскости и в пространстве. Наше доказательство, относящееся к случаю трех измерений, опиралось только на геометрические соображения, относящиеся к инцидентности точек, прямых и плоскостей. Можно показать, что доказательство двумерной теоремы — при дополнительном требовании не выходить из данной плоскости — неизбежно должно опираться на некоторые свойства подобных фигур, принадлежащих уже не проективной, а метрической геометрии.

Теорема, обратная теореме Дезарга, утверждает, что если три точки, в которых пересекаются соответственные стороны, коллинеарны, то прямые, соединяющие соответственные вершины, конкуррентны. Доказательство этой теоремы — в случае, когда треугольники лежат в непараллельных плоскостях, — предоставляется читателю в качестве упражнения.

§3. Двойное отношение

1.Определение и доказательство инвариантности. Если длина отрезка прямой представляет собой своего рода ключ к метрической геометрии, то существует и в проективной геометрии одно основное понятие, с помощью которого могут быть выражены все отличительные проективные свойства фигур.

§ 3 ДВОЙНОЕ ОТНОШЕНИЕ 201

До сих пор, говоря о двойном отношении четырех точек A, B, C, D, расположенных на прямой l, мы предполагали, что это отношение составлено из положительных отрезков. Целесообразно видоизменить это определение следующим образом. Примем одно из двух направлений прямой l за положительное и условимся, что все отрезки, отсчитываемые

нии направления на прямой l, принятого за положительное, меняются только знаки всех четырех отрезков, то значение (ABCD) не зависит от выбо-

ра направления. Легко понять, что (ABCD) имеет отрицательный или положительный знак, смотря по тому, разделена ли пара точек A, B парой точек C, D или не разделена. Так как свойство «разделяться» инвариантно относительно проектирования, то понимаемое в новом смысле

Если (ABCD) = −1, так что CBCA = −DBDA , то точки C и D делят отрезок AB внутренне и внешне в одном и том же отношении. В этом

случае принято говорить, что C и D делят отрезок AB гармонически, и каждая из точек C и D считается гармонически сопряженной с другой точкой относительно пары точек A, B. Если (ABCD) = 1, то точки C и D (или A и B) совпадают.

Необходимо не упустить из виду, что при определении двойного отношения (ABCD) существенную роль играет порядок, в котором берутся точки A, B, C, D. Например, если (ABCD) = l, то двойное отноше-

1

ние (BACD) равно l , тогда как (DACB) = 1 − l, в чем читатель убедит-

ся без труда. Четыре точки A, B, C, D могут быть переставлены между собой 4 · 3 · 2 · 1 = 24 различными способами, и каждой перестановке соответствует некоторое значение двойного отношения. Некоторым перестановкам соответствует то же числовое значение двойного отношения, что и начальной перестановке A, B, C, D; например, (ABCD) = (BADC). Читателю предоставляется в качестве упражнения доказать, что при 24 возможных перестановках четырех точек получается всего лишь шесть различных значений двойного отношения, а именно

Эти шесть величин, вообще говоря, различны, но при некоторых значениях l могут и совпадать по две, например при значении l = −1 в случае гармонического деления.

Мы можем также определить двойные отношения четырех компланарных (т. е. лежащих в одной плоскости) и конкуррентных прямых 1, 2, 3, 4, как двойное отношение четырех точек пересечения этих прямых с некоторой прямой, лежащей в той же плоскости. Положение этой пятой прямой несущественно вследствие инвариантности двойного отношения при проектировании. Эквивалентным этому определению является сле-

дующее:

(1234) = ±sin(1,sin(2, 3)3) : sin(1,sin(2, 4)4) ,

где нужно взять знак плюс, если пара прямых 1, 2 не разделяется парой 3, 4, и знак минус, если разделяется. (В этой формуле (1, 3), например, обозначает угол между прямыми 1 и 3.) Наконец, можно определить двойное отношение четырех коаксиальных плоскостей (четырех плоскостей, пересекающихся по одной прямой, или «оси»). Если некоторая прямая пересекает плоскости в четырех точках, то двойное отношение этих точек всегда будет иметь одно и то же значение, независимо от

выбора прямой (доказательство предлагается в качестве упражнения). Таким образом, полученное значение можно назвать двойным отношением рассматриваемых четырех плоскостей. Иначе, можно назвать двойным отношением четырех коаксиальных плоскостей двойное отношение четырех прямых, по которым они пересекаются произвольной пятой плоскостью (рис. 79).

Рис. 79. Двойное отношение четырех плоскостей

Понятие двойного отношения четырех плоскостей побуждает поставить вопрос о том, нельзя ли дать определение проективного преобразования трехмерного пространства самого на себя. Определение с помощью центральной проекции, очевидно, не обобщается непосредственно от случая двух измерений на случай трех измерений. Но можно доказать, что каждое непрерывное преобразование плоскости самой на себя, взаимно однозначно переводящее точки в точки и прямые в прямые, есть проективное. Это обстоятельство наводит на мысль ввести следующее определение для случая трех измерений: проективным преобразованием пространства называется непрерывное взаимно однозначное преобразование, переводящее прямые линии в прямые линии. Можно показать, что такие преобразования оставляют значения двойных отношений неизменными.

Добавим к предыдущему еще кое-какие замечания. Пусть на прямой даны три различные точки A, B, C с координатами x1, x2, x3. Требуется найти четвертую точку D таким образом, чтобы удовлетворялось равенство (ABCD) = l, где l задано. (Частный случай, когда l = −1

и задача заключается в построении четвертой гармонической точки, будет подробно рассмотрен в следующем пункте.) Вообще говоря, задача имеет одно и только одно решение; действительно, если x — координата искомой точки D, то уравнение

имеет ровно одно решение. Считая x1, x2 и x3 заданными и полагая ради

краткости x3 − x1 = k, мы придадим решению вид x3 − x2

x = kx2 − lx1 . k − l

Например, если точки A, B, C находятся на равных расстояниях друг

от друга и имеют соответственно координаты x1 = 0, x2 = d, x3 = 2d, то тогда k = 22dd −− d0 = 2 и x = 22−dl .

O

O

A

B

D

l

Рис. 80. Проективное соответствие между точками двух прямых

Если прямая l спроектирована из двух различных центров O0 и O00 на две различные прямые l0 и l00, то получается соответствие P ←→ P 0 между точками прямых l и l0 и соответствие P ←→ P 00 между точками прямых l и l00. Этим устанавливается соответствие P 0 ←→ P 00 между точками прямых l0 и l00, и притом такое, что каждые четыре точки A0, B0, C0, D0 на l0 имеют то же самое двойное отношение, что и соответствующие точки A00, B00, C00, D00 на l00. Всякое взаимно однозначное соответствие между точками двух прямых, обладающее этим свойством, называется

проективным соответствием, независимо от того, каким способом это соответствие установлено.

Упражнения. 1) Докажите, что если даны две прямые вместе с проективным соответствием, установленным между ними, то можно подвергнуть одну из прямых такому параллельному перенесению, что заданное соответствие будет получаться посредством простой проекции. (Указание: совместите какую-нибудь пару взаимно соответствующих точек на данных прямых.)

2) Пользуясь предыдущим результатом, покажите, что если между точками двух прямых l и l0 установлено соответствие посредством конечного числа последовательных проектирований на различные промежуточные прямые при произвольных центрах проекций, то тот же результат может быть получен посредством всего лишь двух проектирований.

E

I

H

F

G

A C B D

Рис. 81. Полный четырехсторонник

2. Применение к полному четырехстороннику. В качестве интересного применения инвариантности двойного отношения мы докажем одну простую, но важную теорему проективной геометрии. Речь идет о полном четырехстороннике — фигуре, образованной произвольными четырьмя прямыми, из которых никакие три не являются конкуррентными, и шестью точками их пересечения. На рис. 81 названные четыре прямые суть AE, BE, BI, AF . Прямые AB, EG и IF являются диагоналями четырехсторонника. Рассмотрим одну из диагоналей, например AB, и отметим на ней точки C и D, где она пересекается с двумя другими диагоналями. Тогда теорема утверждает существование равенства (ABCD) = −1; словами это выражается так: точки пересечения одной диагонали с двумя другими делят отрезок между вершинами четырехсторонника гармонически. Для доказательства достаточно об-