мые вереницы «трисекторов» и «квадратурщиков». Тем из них, которые способны понимать элементарную математику, можно порекомендовать заняться изучением этой главы.

В заключение отметим, что в известном отношении наша постановка вопроса о геометрических построениях представляется искусственной. Циркуль и линейка, конечно, простейшие из геометрических инструментов, но требование ограничиваться именно этими инструментами при построениях не вытекает из существа самой геометрии. Как уже давным-давно установили греческие математики, некоторые проблемы — скажем, удвоение куба — могут быть решены, например, с привлечением угольника (с прямым углом); можно изобрести всякие другие инструменты, помимо циркуля, которые позволили бы чертить эллипсы, гиперболы и более сложные кривые: тем самым область фигур, допускающих построение, была бы значительно расширена. Однако мы будем придерживаться прочно установившегося понимания выполнимости геометрических построений, подразумевая, что разрешено пользоваться только циркулем и линейкой.

ЧАСТЬ 1

Доказательства невозможности и алгебра

§1. Основные геометрические построения

1.Построение полей и извлечение квадратных корней. В порядке развития общих идей мы начнем с рассмотрения небольшого числа классических построений. Более углубленное изучение возможности геометрических построений неизбежно связано с переводом геометрической задачи на язык алгебры. Всякая проблема геометрического построения может быть схематизирована следующим образом: дано некоторое число отрезков, скажем, a, b, c, . . .; требуется построить один или несколько отрезков x, y, . . . Даже если на первый взгляд проблема имеет совсем иной вид, ее всегда можно переформулировать таким образом, чтобы она включилась в указанную схему. Искомые отрезки фигурируют или

ввиде сторон треугольника, который требуется построить, или в виде радиусов кругов, или как прямоугольные координаты каких-то искомых точек (см., например, стр. 145). Предположим для простоты, что требуется построить какой-то отрезок x. В таком случае геометрическое построение приводит к решению алгебраической задачи: установить соотношение (в форме уравнения) между искомой величиной x и данными величинами a, b, c, . . .; затем, решая это уравнение, найти формулу для величины x и, наконец, выяснить, можно ли свести вычисление x

труднений, если мы отложим шесть раз по окружности отрезок, равный радиусу.

Имея правильный n-угольник, можно сейчас же получить и правильный 2n-угольник, деля пополам дуги между соседними вершинами n-угольника. Начиная с диаметра круга (правильного вписанного «двуугольника»), мы построим последовательно 4, 8, 16, . . . , 2n-уголь- ники. Таким же образом, начиная с шестиугольника, мы получим 12, 24, 48, . . .-угольники, а начиная с десятиугольника, — 20, 40, . . .-угольники.

D

Если sn обозначает длину стороны правильного n-угольника, вписанного в единичный круг (т. е. круг с радиусом 1), то сторона правильного вписанного 2n-угольника будет иметь длину

q

p

s2n = 2 − 4 − s2n.

Доказывается это следующим образом (рис. 34): пусть sn = DE = 2DC, s2n =

DB и AB = 2. Площадь прямоугольного треугольника ABD равна 12 BD · AD, или, с другой стороны, 12 AB · CD. Так как AD = √AB2 − DB2, то, подстав-

Остается решить квадратное уравнение относительно x = s22n и при выборе корня принять во внимание, что x должно быть меньше 2. √

Из этой формулы, так как длина s4 (сторона квадрата) равна 2, следует,

что

p √ q p √ s8 = 2 − 2, s16 = 2 − 2 + 2,

r

q p √

s32 = 2 − 2 + 2 + 2 и т. д.

В качестве общей формулы мы получаем (при n > 2)

к бесконечности, этот периметр в пределе переходит в длину окружности, по определению равную 2p:

2ns2n → 2p при n → ∞.

Деля на два и подставляя m вместо n − 1, мы получаем следующую формулу для p:

Упражнение. Пользуясь тем, что 2m → ∞, докажите, как следствие, что

r

q√

2 + 2 + . . . + 2 → 2 при n → ∞.

| {z }

n радикалов

Резюмируем полученные здесь результаты таким образом: стороны вписанных в единичный круг правильных 2n-угольников, 5 · 2n-угольни- ков и 3 · 2n-угольников вычисляются посредством рациональных операций — сложения, вычитания, умножения, деления — и операции извлечения квадратного корня; следовательно, они могут быть построены

спомощью только циркуля и линейки.

3.Проблема Аполлония. Другая конструктивная проблема, решающаяся весьма просто, если подойти к ней с алгебраической точки зрения, — это знаменитая и уже упомянутая выше проблема Аполлония о проведении окружности, касательной к трем данным окружностям. В настоящем контексте нам не представляется необходимым искать ее особенно элегантное решение. Нам существенно лишь установить принципиально важное положение: проблема Аполлония решается с помощью циркуля и линейки. Мы вкратце приведем соответствующее доказательство; вопрос же о наиболее элегантном построении будет разобран ниже (см. стр. 181).

Пусть центры трех данных окружностей имеют соответственно коор-

динаты (x1, y1), (x2, y2) и (x3, y3), а радиусы равны r1, r2 и r3. Обозначим координаты центра искомой окружности через (x, y), а радиус через r. Легко написать условие касания двух окружностей, если учесть, что расстояние между центрами должно равняться сумме или разности радиусов, смотря по тому, имеет ли место внешнее или внутреннее касание. Записывая в алгебраической форме три условия задачи, мы получаем

ит. п.

Вкаждом из уравнений нужно брать знак плюс или минус, в зависимости от того, каково касание — внешнее или внутреннее (рис. 35). Все уравнения (1), (2), (3) — второй степени относительно неизвестных x, y, r, но они обладают тем свойством, что члены второй степени входят в одинаковой комбинации, как видно из развернутой формы (1a). Таким образом, вычитая (2) из (1), мы получаем уравнение, линейное относи-

тельно x, y, r:

где a = 2(x2 − x1) и т. д. Точно так же, вычитая (3) из (1), будем иметь другое линейное уравнение

Решая уравнения (4) и (5) относительно неизвестных x и y, которые, таким образом, выразятся линейно через r, и затем подставляя в (1),

придем к уравнению, квадратному относительно r, каковое может быть решено с помощью рациональных операций и извлечения корня (см. стр. 143). Это уравнение, вообще говоря, будет иметь два решения, из которых лишь одно будет положительным. Определив r, найдем дальше значения x и y, подставляя r в ранее полученные формулы. Окружность с центром (x, y) и радиусом r должна быть касательной к трем данным окружностям. Во всей процедуре решения участвуют только рациональные операции и извлечение квадратного корня. Отсюда следует, что построение x, y и r может быть выполнено с помощью только циркуля и линейки.

В общем случае будет иметься 8 решений проблемы Аполлония в соответствии с возможными 2 · 2 · 2 = 8 комбинациями в выборе знаков + и − в уравнениях (1), (2) и (3); выбор же знаков надлежит делать в зависимости от того, какого рода касание — внешнее или внутреннее — желательно иметь по отношению к каждой из данных окружностей. Вполне возможно, что наша алгебраическая процедура не приведет к действительным значениям x, y и r. Таков будет, например, случай, когда все три данные окружности — концентрические; тогда, очевидно, наша геометрическая задача не будет иметь ни одного решения. Следует также предвидеть возможность и случаев «вырождения»; например, если все три окружности «вырождаются» в точки, лежащие на одной прямой, тогда аполлониева окружность тоже «вырождается» в эту самую прямую. Мы не видим необходимости рассматривать вопрос во всех подробностях: это сделает сам читатель, если обладает некоторыми алгебраическими навыками.

§2. Числа, допускающие построение,

ичисловые поля

1.Общая теория. В предыдущем изложении мы постарались охарактеризовать общий, так сказать, алгебраический фон геометрических построений. Каждое геометрическое построение представляет ряд последовательных этапов из числа следующих: 1) проведение прямой линии через две точки, 2) нахождение точки пересечения двух прямых,

3)проведение окружности с данным центром и радиусом, 4) нахождение точки пересечения окружности с другой окружностью или прямой линией. Элемент (точка, прямая, окружность) считается известным в том случае, если он задается условием задачи или если он построен на предыдущей стадии задачи. Проводя теоретический анализ задачи, мы относим всю рассматриваемую конструкцию к некоторой координатной системе x, y (см. стр. 92). Тогда заданные элементы изображаются в виде точек или отрезков в плоскости x, y. Если задан только один отрезок, его можно принять в качестве единичного, в результате чего

фиксируется точка x = 1, y = 0. Иногда в процессе построения возникают произвольные элементы: проводятся произвольные прямые, строятся произвольные точки или круги. (Пример произвольного элемента мы имеем при нахождении середины отрезка: мы проводим два круга с центрами в концах отрезка и с одинаковыми, но произвольными радиусами, затем соединяем точки их пересечения.) В подобных случаях всегда можно считать произвольный элемент рациональным: произвольную точку можно выбрать так, чтобы у нее были рациональные координаты, произвольную прямую ax + by + c = 0 так, чтобы у нее были рациональные коэффициенты a, b, c, произвольный круг — так, чтобы рациональными были координаты центра и радиус. Мы условимся, что если в построении участвуют произвольные элементы, мы будем выбирать их рациональными: раз эти элементы в самом деле произвольны, такой выбор не повлияет на результат построения.

Ради простоты допустим в ближайшем рассуждении, что в условии задачи задается только один элемент — отрезок длины 1. Тогда в соответствии с результатами § 1 мы можем построить с помощью циркуля и линейки все числа, получающиеся из единицы посредством рациональных операций, т. е. рациональные числа rs , где r и s — целые числа. Система

рациональных чисел «замкнута» по отношению к рациональным операциям: сумма, разность, произведение, частное (исключая, как всегда, деление на 0) двух рациональных чисел снова являются рациональными числами. Всякое множество чисел, обладающее таким свойством замкнутости по отношению к четырем рациональным операциям, мы назвали

числовым полем (стр. 75).

Упражнение. Покажите, что каждое числовое поле во всяком случае содержит все рациональные числа. (Указание: если a есть какое-нибудь не равное нулю число из поля F , то aa = 1 также принадлежит к F , а из 1 можно получить все рациональные числа посредством рациональных операций.)

Отправляясь от единицы, можно построить все рациональное числовое поле и, следовательно, все рациональные точки (т. е. точки, у которых обе координаты рациональны) в плоскости x, y. Дальше, с помощью√циркуля можно построить новые, иррациональные числа вроде

числа 2, которое, как мы знаем из главы II, § 2, находится уже за

√

пределами рационального поля. Но построив 2, можно еще дальше с

помощью «рациональных» построений (§ 1) получить все числа вида

√

a + b 2, (1)

где a и b рациональные и, следовательно, сами допускают построение. Можно также построить и числа вида

где a, b, c, d — рациональные. Однако эти числа всегда можно написать в форме (1). В самом деле,

где p и q рациональные. (Знаменатель c2 − 2d2 отличен от нуля, так как

из c2 − 2d2 = 0 следовало бы √2 = c , что противоречит факту иррацио-

√ d

нальности 2.) Точно так же

√ √ √ √

(a + b 2)(c + d 2) = (ac + 2bd) + (bc + ad) 2 = r + s 2,

где√r и s рациональные. Итак, все, что мы можем построить исходя из 2, это числа вида (1), где a и b — произвольные рациональные числа.

Упражнение. Напишите в форме (1) числа

p = 1 + 2, q = 2 − 2, r = −3 + 2.

Как показывает предшествующее рассуждение, числа (1) снова образуют поле. Это поле обширнее, чем поле рациональных чисел, и включает его как часть («подполе»). Но, конечно, новое поле менее обширно, чем поле всех действительных чисел. Обозначим через F0 поле рациональных чисел, а через F1 — поле чисел вида (1). Мы установили возможность построения каждого числа из «расширенного» поля F1.

Можно и дальше расширять область чисел, допускающих построение,

√

например, таким образом: выберем число из поля F1, скажем k = 1 + 2, и, извлекая из него корень, получим новое допускающее построение

Это число, в свою очередь, порождает (§ 1) поле, состоящее из всех

чисел вида √

p + q k, (2)

√

где p и q теперь уже числа из поля F1, т. е. вида a + b 2, где a, b из F0, т. е. рациональные.

Упражнение. Представьте числа

в форме (2).

Все эти числа были построены в предположении, что первоначально был задан только один отрезок. Если задано два отрезка, то один из них можно принять за единичный. Предположим, что второй отрезок выражается через

§ 2 ЧИСЛА, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОСТРОЕНИЕ 157

− kd не обращается в нуль, так как c и d одновременно не обращаются

в нуль: иначе мы получили бы √k = c , что противоречит допущению,

√ d √

что k не принадлежит F .) Итак, множество чисел вида a + b k образует некоторое поле F 0. Поле F 0 включает поле F как «подполе»

(достаточно положить b = 0). Будем называть F 0 «расширенным» полем.

√

В качестве примера рассмотрим поле F чисел вида a + b 2, где a,

√

b рациональные: возьмем k = 2. Тогда числа расширенного поля F 0

Мы убедились, что, отправляясь от некоторого поля F чисел, допус-

кающих построение, и выбрав произвольное число k из этого поля, мы

√

можем с помощью циркуля и линейки построить число k, а значит, и

√

все числа вида a + b k, где a, b принадлежат F .

Покажем теперь, обратно, что, пользуясь только циркулем, мы можем получить числа только указанного вида. В самом деле, в результате однократного применения циркуля можно сделать только одно из двух: или найти точку пересечения окружности и прямой, или найти точку пересечения двух окружностей (то и другое равносильно построению координат точки пересечения). Окружность с центром (x, h) и радиусом r имеет уравнение (x − x)2 + (y − h)2 = r2; поэтому, если x, h, r принадлежат F , то уравнение окружности, записанное в виде

x2 + y2 + 2ax + 2by + g = 0,

будет иметь коэффициенты a, b, g, принадлежащие также F . Прямая

линия

ax + by + c = 0,

соединяющая две точки с координатами F , имеет также коэффициенты из F (см. стр. 150). Исключая y из этих двух уравнений, мы получаем

158 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ гл. III

для координаты x точки пересечения окружности и прямой квадратное уравнение вида

которая имеет вид p + q k, где p, q, k принадлежат F . Такая же формула получается и для координаты y точки пересечения.

С другой стороны, если речь идет о двух окружностях

x2 + y2 + 2ax + 2by + g = 0, x2 + y2 + 2a0x + 2b0y + g0 = 0,

то, вычитая одно уравнение из другого, мы получим линейное уравнение

(a − a0)x + (b − b0)y + (g − g0) = 0,

которое можно решить совместно с одним из уравнений двух окружностей.

В обоих случаях построение дает нам обе координаты одной или двух

√

новых точек, и эти новые величины имеют вид p + q k, причем p, q, k

√

принадлежат F . В частности, k может сам оказаться принадлежащим F , например, если k = 4. Но, вообще говоря, этого не будет.

то же по отношению к точкам пересечения данной окружности с окружно-

стью, у которой радиус равен √2 , а центр есть (0, 2√2).

2

Подведем еще раз итоги. Отправляясь от некоторых заданных величин (отрезков или чисел), с помощью одной только линейки мы можем построить все величины из поля F , порождаемого данными величинами с помощью рациональных операций, но не выйдем за пределы этого поля. Воспользовавшись циркулем, мы расширяем поле величин, допускающих построение, и√получаем новое расширенное поле F 0, состоящее из чисел вида a + b k, где a, b, k принадлежат F . Поле F есть

подполе поля F 0: всякое число из F принадлежит также F 0, так как

√ √

в формуле a + b k можно положить b = 0. (Предполагается, что k есть новое число, не принадлежащее F ; иначе F 0 совпало бы с F .) Мы убедились, что в результате каждого геометрического построения (т. е. проведения прямой через две известные точки; проведения окружности, имеющей известный центр и известный радиус; нахождения пересечения двух известных прямых или окружностей) или получаются величины,

§ 2 ЧИСЛА, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОСТРОЕНИЕ 159

принадлежащие первоначальному полю, или же, при построении квадратного корня, открывается новое, расширенное поле величин, допускающих построение.

Мы теперь в состоянии точно охарактеризовать совокупность всех величин, допускающих построение с помощью только циркуля и линейки. Будем исходить из некоторого поля F0, определяемого величинами, входящими в условие задачи; например, это будет поле рациональных чи-

сел, если задан только один отрезок, выбираемый в качестве единичного.

√

Далее, «присоединяя» к полю величину k0, (где k0 принадлежит F0,

√

но k ему не принадлежит), строим новое поле F чисел, допускающих

0 √ 1

построение вида a0 + b0 k0, где a0, b0 принадлежат F0. Еще дальше,

√ √

посредством «присоединения» k1 (где k1 принадлежит F1,√но k1 не принадлежит), получается новое поле F2 чисел вида a1 + b1 k1, где a1 и b1 принадлежат F1. Повторяя эту процедуру, приходим вообще к полю Fn после «присоединения» n квадратных корней. С помощью только циркуля и линейки допускают построение те и только те числа, которые после конечного числа «присоединений» описанного выше типа включаются в расширенное поле Fn. Число n необходимых «присоединений» не имеет особенно большого значения; но оно до некоторой степени характеризует, насколько сложна рассматриваемая проблема.

Иллюстрируем описанную процедуру следующим примером. Нужно

√ √ √

6 в нем содержится: действительно, 2 и 3, а следовательно, и их произведение, содержатся уже в F3, значит, и подавно — в F5.

Упражнение. Отправляясь от рационального поля, проверьте, что сторона правильного 2m-угольника (см. стр. 145) допускает построение (n = m − 1). Проследите за тем, какова последовательность постепенно расширяемых полей. Сделайте то же самое с числами

160 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ гл. III

2. Все числа, допускающие построение — алгебраические. Если начальное поле F0 есть рациональное поле (порождаемое единственным отрезком), то все числа, допускающие построение, принадлежат к числу алгебраических. (Определение алгебраических чисел было дано на стр. 123.) Именно, числа поля F1 являются корнями квадратных уравнений, числа поля F2 — корнями уравнений четвертой степени, и вообще, числа поля Fk — корнями

√ √

где p, q, w√принадлежат полю F1 и, значит, имеют вид p = a + b s, q = c + d s, w = e + f s, где a, b, c, d, e, f, s — рациональные числа. Из равенства (4) мы

получаем

x2 − 2px + p2 = q2w,

причем все коэффициенты принадлежат полю F1, порождаемому величи-

√

ной s. Поэтому последнее равенство можно переписать в виде x2 + ux + v = √s(rx + t),

где коэффициенты r, s, t, u, v — рациональные. Возводя в квадрат, получим уравнение четвертой степени

с рациональными коэффициентами, как и требовалось.

Упражнения. 1) Постройте уравнения с рациональными коэффициентами для чисел

q p √

в) x = 1 + 5 + 3 + 2.

Чтобы закончить доказательство теоремы в общем случае, когда x принадлежит полю Fk с произвольным индексом k, достаточно установить, как выше, что x удовлетворяет квадратному уравнению с коэффициентами из поля Fk−1. Затем, повторяя процедуру доказательства, убеждаемся, что x удовлетворяет уравнению степени 22 = 4 с коэффициентами из поля Fk−2, и т. д.

Упражнение. Закончите это общее доказательство, применяя метод математической индукции: докажите, что x удовлетворяет уравнению степени 2l с коэффициентами из поля Fk−l, 0 < l 6 k. При l = k получается окончательный результат.