2. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

2.1. Общие понятия и определения

Математическая статистика занимается как статистическим описанием результатов опытов и наблюдений, так и построением и проверкой подходящих математических моделей, содержащих понятие вероятности.

Фундаментальными понятиями статистической теории являются поня-

тия генеральной совокупности и выборки.

Генеральная совокупность есть совокупность всех мыслимых результатов наблюдений над случайной величиной, которые могут быть в принципе проведены при данных условиях. Содержательный смысл этого понятия заключается в том, что предполагается существование некоторых вполне определенных свойств, неслучайных закономерностей, присущих данной совокупности. Фактически эти свойства являются объективным отображением вероятностных свойств шумового поля, которые могут быть охарактеризованы с помощью соответствующих законов распределения вероятностей или связанных с ними числовых параметров. Предполагается, что свойства шумового поля не изменяются во времени, т.е. являются устойчивыми.

(репрезентативна), если она достаточно полно характеризует генеральную совокупность.

Смысл статистических методов сводится к тому, чтобы по выборке ограниченного объема N высказать обоснованное суждение о свойствах генеральной совокупности в целом. Подобное определение может быть получено путем построения эмпирических (выборочных) аналогов вероятностных характеристик исследуемой случайной величины или, иными словами, путем оценивания параметров генеральной совокупности с помощью некоторых подходящих функций от результатов наблюдений.

Любая функция g(x , x ,...,xN ) от элементов некоторой генеральной

совокупности называется статистикой. Некоторая статистика, являющаяся подходящей для оценивания того или иного параметра генеральной сово-

купности, называется статистической (выборочной) оценкой данного пара-

метра. Естественно, что любая оценка неизвестного параметра генеральной совокупности по выборке есть случайная величина, в то время как сам параметр является неслучайным. Часто для обозначения оценок вводят символ «крышечку» ^. Так θ это оценка параметра .

Параметры , ,... обычно характеризуют определенное свойство теоретического распределения случайной величины X (например, матема-

62

g (x , x ,...,xN ) , g (x , x ,...,xN ) , …, то на практике предпочитают оценки θ,

которые сходятся по вероятности к при N (состоятельные оценки), у которых θ = θ (несмещенные оценки) или которые имеют наименьшую дисперсию θ (эффективные оценки).

2.2. Простейшие оценки

Для случайной выборки x , x ,...,xN объема N из генеральной совокуп-

ности можно вычислить следующие оценки.

Накопленная частость (накопленная относительная частота) — это оценка интегральной функции распределения, определяется по формуле

(x) nNx , (2.1)

где nx — число элементов выборки меньших текущего конкретного значения

x , N – общий объем выборки.

Эмпирическая функция плотности распределения вероятностей (гис-

где x — длина интервала; k – число интервалов разбиения выборки; n j — число элементов выборки, попавших в j –й интервал. Рекомендуется число

интервалов выбирать равным

k . lg N .

Найденное значение k округляют до ближайшего целого числа. Длину интервала

x xmax xmin ,

k

округляют для удобства построения графика.

В системе Mathcad построение эмпирической функции плотности распределения вероятностей для выборки x ,...,x представлено на рис. 2.1.

Выборочное среднее значение

является несмещенной и состоятельной оценкой математического ожидания. Для выборки из нормальной генеральной совокупности эта оценка также и

63

эффективна.

Для равномерного распределения эффективная оценка mx рассчитывается по формуле

а для нормальной совокупности эта оценка и эффективна.

Состоятельная и несмещенная оценка дисперсии рассчитывается по

состоятельной и асимптотически несмещенной.

Вычисление некоторых оценок в системе Matchcad представлено на рис. 2.2.

64

Использование функции Mathcad histogram упрощает процесс определения эмпирической функции распределения вероятностей:

Рис. 2.1. Моделирование в системе Mathcad эмпирической и теоретической функции плотности распределения вероятностей

65