Результаты пассивного эксперимента, как и в разделе 4.3, представляем матрицами наблюдения

где k – число коэффициентов (параметров) постулированной модели (5.1), без свободного члена; N – число экспериментов.

По аналогии с (4.16) получим МНК-оценки

При выполнении предпосылок МРА точность оценок (5.3) определяется ковариационной матрицей

где V – дисперсия помехи.

217

Анализ выражений (5.3) и (5.4) указывает на то, что свойства оценок регрессионного уравнения определяются свойствами матрицы наблюдений U (5.2). Если матрицу U формировать по определенным правилам, то можно получать заданные свойства оценок . Но тогда необходимо проводить уже не пассивный эксперимент, регистрируя только изменения u kT0 , y kT , а

активно изменять их в соответствии с некоторым заранее заданным планом эксперимента, т.е. проводить активный эксперимент.

Множество всех точек проведения эксперимента задается матрицей плана U (5.2).

Одной из характеристик плана эксперимента является число экспериментов N, которое определяет, с одной стороны, затраты на эксперимент, с другой – свойства плана и точность уравнения регрессии. Если N k , то план будет насыщенным, т.е. число оцениваемых коэффициентов модели (5.1) равно числу экспериментов.

План U называется ортогональным, если матрица Фишера

будет диагональной матрицей. В этом случае все оценки (5.3) будут независимы друг от друга, а следовательно, если один или несколько параметров оказались незначимы по критерию Стьюдента (см. раздел 4.2), то нет необходимости повторять процедуру МРА после их удаления.

План U называется ротатабельным, если дисперсия оценки выходной переменной

то А–оптимальный план эксперимента обеспечивает минимум средней дисперсии оценок коэффициентов модели.

План U называется D–оптимальным, если определитель плана мини-

218

мален

т.е. объем эллипсоида рассеивания оценок коэффициентов минимален.

План U называется G–оптимальным, если он минимизирует величину максимальной дисперсии предсказанных (рассчитанных) по уравнению регрессии значений y.

План U называется Е–оптимальным, если он минимизирует максимальное собственное число соответствующей ему ковариационной матрицы оценок коэффициентов.

Все перечисленные планы предполагают, что вид модели (5.1) задан априори до эксперимента.

5.2. Полный факторный эксперимент

Полным факторным экспериментом (ПФЭ) называют эксперимент, реализующий все возможные неповторяющиеся комбинации уровней m входных независимых переменных (факторов), каждая из которых варьируется на двух уровнях. Число таких комбинаций

Переход от исходного пространства к нормированному иллюстрирует рис.

5.2.

219

Рис. 5.2. Исходное и нормированное пространство для планирования эксперимента

Совершенно очевидно, что если в исходном пространстве входные воздействия – размерные величины (B, кг), то в нормированном они безразмер-

ные. Центр плана эксперимента u1баз ,u2баз перемещается в нормированном

пространстве в начало координат.

Обратный переход от нормированных переменных к исходным согласно (5.11) осуществляем по формуле

где x – фиктивная переменная для оценки свободного члена полинома.

В этом уравнении число коэффициентов модели равно числу экспериментов матрицы плана k N .

Составление матрицы плана эксперимента ведется в нормированном пространстве в виде следующей табл. 5.1.

Формирование матрицы ПФЭ.

Вектор-столбец фиктивной переменной для оценки свободного члена модели (5.13) полагают равным единице x .

Вектор-столбец x всегда начинается с «-1» и далее поочередно чере-

дуются +1, -1 и т.д.

Вектор-столбец x меняет знак с вдвое меньшей частотой и начинается

с -1.

Вектор-столбец x x получается перемножением столбцов x и x .

220

Два вектор-столбца x и x (выделены жирно) образуют собственно

план активного эксперимента.

Свойства ПФЭ.

Сформированный план эксперимента обладает свойствами симметричности, ортогональности и ротатабельности.

Симметричность плана относительно центра планирования (начала координат) проверяется следующим образом:

i

т.е. алгебраическая сумма элементов вектор-столбца равна нулю (кроме нулевого).

Ортогональность плана проверяется из соотношения

i

т.е. сумма почленных произведений любых двух векторов-столбцов равна нулю.

Свойства ротатабельности доказано в работах по теории планирования эксперимента.

Проведение эксперимента.

В левой части матрицы планирования пронумерована последовательность реализации строк матрицы ПФЭ для v , ,...,p -повторных опытов.

Очередность реализации строк ПФЭ определяется путем проставления неповторяющихся случайных чисел от 1 до N p , например, с генератора равно-

мерного распределения, в столбцы v , ,...,p .

После того как матрица плана сформирована, следует перейти к ее реализации.

Для этого выбираем строку с номером опыта «1». Для нашего плана это

221

Далее проверяем коэффициенты на значимость, т.е.

H : b j ; H : b j .

Для этого рассчитаем

^

b j .

Если tнаблj t крит , то коэффициент b j – значим.

q,vV

Если b j не значим, то нет необходимости пересчитывать остальные ко-

эффициенты модели после удаления незначимого коэффициента в силу ортогональности матрицы плана.

Незначимость коэффициента b j может быть обусловлена либо малым шагом варьирования по j-ой переменной u j , либо отсутствием функциональной связи с выходной переменной, либо большим уровнем помех V .

Проверка адекватности уравнения регрессии (модели) предполагает

v N k .

Если условие (5.22) выполняется, то модель признается адекватной объекту, иначе условия эксперимента, а может и вид модели, следует изменить, например, выбрать полином второго порядка и соответственно изменить матрицу планирования эксперимента. Если v при N k , то нет

степеней свободы для проверки адекватности и ее не следует проводить. В нашем случае N k и, следовательно, проверку адекватности проводить не следует.

223

Переход в исходное пространство осуществляется подстановкой вы-

ражений (5.11) в исходную модель (5.13)

= 0 0 + 1 1 + 2 2 + 3 3 + 12 1 2 +

+ 13 1 3 + 23 2 3 + 123 1 2 3. (5.26)

Матрица планирования ПФЭ для p представлена в табл. 5.2.

Таблица 5.2

Матрица ПФЭ для m=3, p=1

Для обработки результатов эксперимента ПФЭ можно воспользоваться процедурой МРА (см. раздел 4.2). Для этого повторные эксперименты следует расположить в продолжение основной матрицы планирования.

Пример 5.1. Объект исследования описывается неполным квадратич-

224

ным полиномом

y a0 a1u1 a2u2 a12u1u2 v .

Объект подвержен действию аддитивной помехи v нормального распределения.

Необходимо спланировать ПФЭ для числа повторных экспериментов p 3 .

Результаты расчетов представлены на рис. 5.3.

Матрица ПФЭ для числа повторных экспериментов p=3:

Рис. 5.3. Идентификация модели по результатам ПФЭ (пример 5.1)

225

Рис. 5.3. Продолжение

226