Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Политехнический институт СФУ

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

i-719273.pdf

Скачиваний:

269

Добавлен:

26.03.2016

Размер:

5.68 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 307 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Среднее время корреляции и с редняя полос а час тот													r	Sxx(0)		r 4
Среднее время корреляции и с редняя полос а час тот													r	Kxx(0)		r 4
													2	Kxx(0)
						d
													d 0.393
								2	r
								2

W( )2									2


									1


A s							( )

									0
1									0
										1



0										2
0	0	1	2	3	4	5				2	0	1	2	3	4		5

Рис. 1.17. Окончание

1.9. Прохождение дискретного случайного процесса через дискретное динамическое звено первого порядка

Рассмотрим прохождение дискретного случайного процесса через динамическое звено первого порядка (рис. 1.18).

U kT 0		X kT	0
U kT 0	W(z)	X kT	0
	W(z)

Рис. 1.18. Прохождение дискретного случайного процесса через дискретное динамическое звено

Здесь U kT0 – дискретный стационарный случайный процесс нор-

мального или иного закона распределения типа белый шум или цветной шум. X kT0 – дискретный случайный процесс на выходе звена.

Дискретная передаточная функция апериодического звена первого порядка равна

			W (z)	b		b z 1
						1	,		(1.94)
				z a		1 a z 1	,		(1.94)
						1
где a exp T /T , b K(1 a ) , z 1					exp pT			, К, Т – коэффициент уси-
1	0	1	1				0
ления и постоянная времени непрерывного звена, T0									– интервал квантования.

Более подробно процесс перехода от непрерывных динамических систем к дискретным представлен в разд. 3.4.

Свойства случайного процесса X kT0 , как и для непрерывной системы (см. разд. 1.8), определены свойствами входного процесса U kT0 и переда-

точной функцией (1.94).

Дискретной передаточной функции (1.94) соответствует разностное уравнение

x(k) a1 x(k 1) b1 u(k 1) ,

(1.95)

где a1 , b1 – коэффициенты знаменателя и числителя передаточной функции

(1.94).

Связь между входным и выходным процессом определяется следующими соотношениями [16]:

M X 2 (k) σ2	σ2	b2		1 2q		;

x	u		1 1 a2
		1
M X (k) U (k) σ2			b1		q;	(1.96)

	u		a1
M U 2 (k) σ2
	,
u

где q a1r ρ(r) , σu2ρ(r) M U (k) U (k r) .

r 1

Здесь U (k) , X (k) – стационарные центрированные дискретные случайные процессы, соответственно на входе и выходе дискретного динамического звена (рекурсивного фильтра); σu2 , σ2x – дисперсии входного и выходного дискретного случайного процесса; M – оператор математического ожидания.

Если входной процесс U (k) представляет процесс с нормированной

автокорреляционной функцией [16]
ρ(r) ar e r	, r 0 .						(1.97)
1
Тогда из соотношений (1.96) имеем
	2
q a1r a1r		a1		, для	a	1.	(1.98)
		a1
	1 a2
r 1	1 a2
			1
Соответственно дисперсия
σ2x T0 b12σu2 1 a12 2b12a12	σu2 K 2 σu2 1 a1 2 1 a12 .						(1.99)
Исследуем зависимость этого выражения от соотношения T0 /T .
График зависимости для T 1, σu	2 ,		K 3 приведен на рис. 1.19.

Предельное значение σ2x K 2 σu2 (см. рис. 1.19).

Для равенства дисперсий на выходе непрерывного динамического звена и его дискретного варианта, необходимо, чтобы выполнялось следующее

равенство

σ2 T K 2σu2 .						(1.100)
x	0	2T
		2T
K 3	T 1		u 2
T0 0.001 0.1 5
		T0
x2(T0)	a e	T
	x2 K2 u 2 (1 a)2 1 a2
	40
x2 (T0)
K2 u 2	30
K2 u 2
2 T	20
	20
K2 u 2
2 0.5	10
	00	1	2	3	4	5
			T0

Рис. 1.19. Зависимость дисперсии случайного процесса x(k ) от T0

Уравнение (1.100) можно решить графически. На рис. 1.19 решением является точка пересечения кривой σ2x T0 и прямой K 2σu2 / 2T .

Исследуем свойства равенства (1.100) для T 0.5 . Пересечения σ2x T0 с прямой K 2σu2 / 2T нет (см. рис. 1.19).

Следовательно, не существует такого T0 , которое обеспечило бы дисперсию на выходе дискретного динамического звена с σ2x K 2σu2 / 2 0.5 .

Для T 0.5 дисперсия выходного процесса будет меньше дисперсии аналогового процесса не зависимо от К и σu2 .

Модель авторегрессии, сокращенно обозначается AP(n). Рассмотрим в качестве дискретного динамического звена (см. рис. 1.18) линейный фильтр n-го порядка вида

x(k) a1x(k 1) a2 x(k 2) ... an x(k n) u(k) , (1.101)

где a1...ak – параметры фильтра; u(k) – дискретный белый шум с математическим ожиданием mu 0 и дисперсией σu2 и автокорреляционной функцией

σ2 , r 0

Ruu (r) u

0, r 0.

Автокорреляционная функция стационарного процесса авторегрессии

(1.101)

Rxx (r) a1Rxx (r 1) a2 Rxx (r 2) ... an Rxx (r n), r 0.			(1.102)
В общем случае автокорреляционная функция состоит из совокупности
затухающих экспонент и затухающих синусоид.
Если поделить все члены уравнения (1.102) на Rxx (0) , то получим
ρxx (r) a1ρxx (r 1) ... anρxx (r n) .			(1.103)
Дисперсия процесса
σ2		σu2	. (1.104)

x	1 ρxx (1) a1	ρxx (2) a2 ... ρxx (n) an

Спектр процесса

Sxx ( f )

2σu2

0 f

. (1.105)

1 a1

i2πf

... ane

i2πf

Процесс авторегрессии первого порядка (марковский процесс) имеет

вид

x(k) a1x(k 1) u(k) ,

(1.106)

и соответственно

W (z)

z a

1 a z 1

Для стационарности процесса необходимо,

чтобы 1 a1

Если a1

положительно, то имеем низкочастотный фильтр, при a1

отрицательном –

высокочастотный.

Автокорреляционная функция

ρxx (r) a1ρxx (r 1) , r 0,

(1.107)

которое при ρx (0) 1 имеет решение

(r) ar ,

r 0 .

(1.108)

Дисперсия

σ2

σu2

(1.109)

1 ρ

(1)a

1 a2

Спектр

Sxx ( f )

2σu2

, 0 f

(1.110)

2a cos 2πf

Модель скользящего среднего порядка m, сокращенно обозначается

CC(m)

x(k) u(k) b1u(k 1) b2u(k 2) ... bmu(k m) .

(1.111)

Так для процесса СС(1)

x(k) u(k) b1u(k 1)

(1.112)

и соответственно

W (z) 1 b z 1 ,

нормированная автокорреляционная функция равна

r 1

(r)

1 b2

(1.113)

r 2,

и дисперсия процесса

1 b2 σ2 .

σ2

(1.114)

Спектр

( f ) 2σ2

1 b exp( i2πf )

2σ2

1 b2

2b cos2πf , 0 f

(1.115)

Если b1

– отрицательно, то ρxx (k)

положительно и в спектре домини-

руют низкие частоты. При b1 положительном доминируют высокие частоты.

Процесс авторегрессии первого порядка – скользящего среднего перво-

го порядка (сокращенно APCC(1,1)), описывается формулой

x(k) a1x(k 1) u(k) b1u(k 1)

и соответственно

W (z)	1 b z 1		z b
		1	1	.
		a z 1
	1		z a
		1	1

Процесс стационарен, если 1 a1 1, и обратим, если Автокорреляционная функция процесса равна

Rxx

(0)

1 b1

2a1 b1

σu2 ,

1 a2

Rxx

(1)

1 a b a b

σu2

1 a12

(r) a R

(r 1),

r 2.

Спектр процесса

1 b

exp( i2πf )

, 0

( f ) 2σ2

1 a

exp( i2πf )

(1.116)

1 b1 1.

(1.117)

f	1	.	(1.118)
	2

Пример 1.6. Исследовать влияние интервала дискретизации на характеристики выходного процесса дискретных фильтров с передаточными функциями (1.94) и (1.106)

W (z)	b	и W1	(z)		z	,

	z a				z a

где a exp T0 /T , b K (1 a) , K 3 , T 4 , T0				– интервал квантования. На

вход фильтров подан центрированный дискретный белый шум нормального распределения с корреляционной функцией

σ2	,	r 0
Ruu (r) u		r 0.
0,		r 0.

Рассчитать характеристики фильтров для T0 1 и T0 0.1, сравнить с

характеристиками непрерывного фильтра примера 1.5.

Результаты расчетов представлены на рис. 1.20 и рис. 1.21. Они подтверждают материалы разд. 1.9 о зависимости характеристик выходного процесса от интервала квантования T0 и типа фильтра.

Как видно из результатов рис 1.20 оптимальная T0 1, обеспечивающая равенство дисперсий выходного непрерывного x(t) и дискретного x kT0 для

динамического звена (1.94) не обеспечивает такого равенства для фильтра (1.110). Необходимо для фильтра W1 (z) найти T0 , руководствуясь методикой,

приведенной в разд. 1.9 для фильтра (1.94).

Во многих задачах полученные данные являются результатом функционирования дискретной динамической системы, либо технологического регламента. В этом случае ставит задачу перехода к непрерывной модели нет смысла.

Если же данные получены путем съема данных с непрерывного процесса в дискретные моменты времени и в дальнейшем используются для создания дискретной модели на ЦВМ, необходимо, чтобы выходы непрерывной и дискретной модели совпадали. Как показывают результаты примера 1.6 и разд. 1.9 для этого необходимо найти такое T0 , которое обеспечивает такое

совпадение.

Ис ходные данные

T 4

K 3

mu 0

u 2

T0 1

n 9

N 2n

N 512

Генератор с лучайных чис ел

u rnorm(N 1 mu u )

Cтатистики дискретного случайного процесса X

Прохождение с лучайного процес с а через дис кретный фильтр

b K (1 a)

x K mu

- начальные ус ловия

a exp

x10 0

a 0.779

b 0.664

0.01 0.1 3

z( ) exp(j T0)

Wz( )

Wz(0)

z( ) a

SXX( ) u 2

Wz( )

SXX(0) 36

W( )

S ( ) u 2

W( )

1 ( T)2

3				40
Wz( ) 2				30
Wz( ) 2				SXX( )
W( )				S ( ) 20
1				xx
1				10
				10
0				0
0.01	0.1	1	10	0.01	0.1	1	10

	Рис . 1. АЧХ дис кретного и непрерывного фильтра. Теоретичес кая с пектральная
	плотнос ть дис кретного с лучайного процес с а X(k) и непрерывного X(t)
	k 0 N 1			xk 1 a xk b uk					выборочная дис перс ия
				xk 1 a xk b uk					выборочная дис перс ия
	Xsr mean(x)				Xsr 0.639		x0k xk Xsr		S2x Var(x0)
	2x K2 u 2			(1 a)			2x 4.477		S2x 4.573
	2x K2 u 2			1 a			2x 4.477		S2x 4.573
				1 a
Оценка закона рас пределения
	p 1 3.2 log(N)				n ceil(p)		n 10	hh histogram(n x)
	int hh 0	h hh 1
	10
	5		Рис. 1.20. Результаты расчетов примера 1.6 для T0 1
xk	0
	5
	100	200			400	600
			k

	10
	5
xk	0
	5
	100	200	400	600
			k

150
100
h
50
0	5
10	5	0	5	10
		int

					Рис . 2. Временной ряд x(k) и его гис трограмма
Авторегрес с ия 1-го порядка
	x1k 1 a x1k uk 1							r 0 30			f 0 0.01 0.5
x1 ar						S	(f)			2 u 2			S (0) 163.502
x1 ar						S	(f)						S (0) 163.502
	r					x1		1 a2 2 a cos (2 f)						x1
	r

1										200
										200
										150
0.8


0.6									Sx1(f)100
0.6									Sx1(f)100
x1r
	0.4									50
	0.4
0.2
										0

0
										0.01		0.1	1
		0	10	20			30			0.01		0.1	1

r	f

Рис . 3. Нормированная автокорреляционная функция дис кретного фильтра. Теоретичес кая с пектральная плотнос ть дис кретного с лучайного процес с а X1(k)

2x1

u 2

X1sr mean(x1)

X1sr 0.95

x10

X1sr

1 a2

S2x1 Var(x10)

S2x1 10.402

2x1 10.166

W1z( )

z( )

W1z(0)

4.521

z( ) a

Sx1( ) u 2

W1z( )

Sx1(0) 81.751

Рис. 1.20. Продолжение

5				100
5
4				80
4
3				60
3				Sx1( )
W1z( )				40
2				40
2
1				20
1
0				0
0	0.1	1	10	0.01	0.1	1	10
0.01	0.1	1	10


Рис . 4. АЧХ дис кретного фильтра. Теоретичес кая с пектральная плотнос ть дис кретного
			с лучайного процес с а X1(k)

Рис. 1.20. Окончание

Ис ходные данные

T 4

K 3

mu 0

u 2

T0 0.1

n 9

N 2n

N 512

Генератор с лучайных чис ел

u rnorm(N 1 mu u )

Cтатистики дискретного случайного процесса X

Прохождение с лучайного процес с а через дис кретный фильтр

b K (1 a)

x K mu

x 0

- начальные ус ловия

a exp

x10 0

a 0.975

b 0.074

0.01 0.1 3

z( ) exp(j T0)

Wz( )

Wz(0)

z( ) a

SXX( ) u 2

Wz( )

SXX(0) 36

W( )

S ( ) u 2

W( )

1 ( T)2

Wz( )

SXX( )

W( )

S ( ) 20

0.01

0.1

0.01

0.1

Рис . 1. АЧХ дис кретного и непрерывного ф ильтра. Т еоретичес кая с пектральная плотнос ть дис кретного с лучайного процес с а X(k) и непрерывного X(t)

	k 0 N 1		xk 1 a xk b uk				выборочная дис перс ия
			xk 1 a xk b uk				выборочная дис перс ия
	Xsr mean(x)		Xsr 0.614		x0k xk Xsr			S2x Var(x0)
	2x K2 u 2		(1 a)		2x 0.45			S2x 0.533
	2x K2 u 2		1 a		2x 0.45			S2x 0.533
			1 a
Оценка закона рас пределения
	p 1 3.2 log(N)			n ceil(p)	n 10	hh histogram(n x)
	int hh 0	h hh 1
	2						150
							150			0.1
	1	Рис. 1.21. Результаты расчетов примера 1.6 для T0								0.1
	1
xk	0						100
xk	1					h
						h

	2						50
	2
	30	200	400	600			0	1	0	1	2
							2	1	0	1	2

int

	2				150
					150
	1
xk	0				100
xk	1				h
					h

	2				50
	2
	30	200	400	600	0	1	0	1	2
					2	1	0	1	2
			k				int
							int

Рис . 2. Временной ряд x(k) и его гис трограмма

Авторегрес с ия 1-го порядка
x1k 1 a x1k uk 1			r 0 30	f 0 0.01 0.5
	r			2 u 2		4
x1 a		S (f)			S (0) 1.312	10

r		x1			x1
			1 a2 2	a cos (2 f)

1					2 103
1
					1.5 103
0.8					1 103
x1r				Sx1(f)	1 103
0.6					500
					500
0.4					0
0.4	0	10	20	30	0.01	0.1	1
					0.01	0.1	1

			r			f
			r

Рис . 3. Нормированная автокорреляционная функция дис кретного фильтра. Теоретичес кая с пектральная плотнос ть ди с кретного с лучайного процес с а X1(k)

2x1

u 2

X1sr mean(x1)

X1sr 8.218

x10

X1sr

1 a2

S2x1 Var(x10)

S2x1 97.932

2x1 82.017

W1z( )

z( )

W1z(0)

40.502

z( ) a

Sx1( ) u 2

W1z( )

Sx1(0) 6.562 103

8 103

Рис. 1.21. Продолжение

6 103

Sx1( ) 4 103

2 103

0
0.01	0.1	1	10

	50						8 103
							8 103

	40						6 103
	40						6 103
W1z( )		30				Sx1( )	4 103



		20					2 103
		20
	10

							0
	0						0
	0						0.01	0.1	1	10
	0.01		0.1	1	10		0.01	0.1	1	10
	0.01		0.1	1	10

Рис . 4. АЧХ дис кретного фильтра. Теоретичес кая с пектральная плотнос ть дис кретного с лучайного процес с а X1(k)

Рис. 1.21. Окончание

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 307 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.06.20151.13 Mб170Filosofia_UMKD (1).doc
#
01.06.2015266.24 Кб43fxsgdgf.doc
#
02.12.20181.35 Mб35Galperin I.R.-Stylistics.doc
#
01.06.20154.3 Mб62i-116135.pdf
#
26.03.20162.5 Mб87i-403351.pdf
#
26.03.20165.68 Mб269i-719273.pdf
#
26.03.20164.39 Mб27i-808190579.pdf
#
18.07.201995.02 Кб6kursak CamkoB версия ВОТ ЭТОТ )).docx
#
01.06.2015325.12 Кб25Kurs_r_t_t.doc
#
23.11.2019319.96 Кб63L-13Optim-obrabotka.docx
#
01.06.2015285.2 Кб52Laba_BENZINKA Грушевский.docx