Ф0 (t) p .

По значению Ф0 (t) из таблиц [1] находим t -аргумент функции Ф0 (t) .

Находим необходимый объем выборки

t S N .

Кроме рассмотренных возможны многие другие постановки задач проверки статистических гипотез, приведенные в [1].

2.5. Критерии согласия

Критерием согласия называется критерий гипотезы о том, что генеральная совокупность имеет распределение предполагаемого типа. Эти критерии основаны на выборе определенной меры расхождения между теоретическим и эмпирическим распределением. Если такая мера расхождения (т. е. критерий) для рассматриваемого случая превосходит установленный предел, то гипотеза бракуется. Одним из наиболее распространенных параметриче-

ских критериев является критерий (критерий Пирсона).

Рассмотрим проверку гипотезы о нормальном распределении генеральной (теоретической) совокупности.

Пусть имеем эмпирическое распределение, полученное по результатам выборки (см. 2.2),

этом число интервалов k уменьшится.

Для проверки гипотезы при уровне значимости q необходимо:

1)вычислить выборочное среднее x и дисперсию S ;

2)вычислить теоретические частоты

74

- если набл крит , то нет оснований отвергать гипотезу о нормально-

сти распределения генеральной совокупности. Другими словами, выборочные (эмпирические) и теоретические частоты различаются незначимо (слу-

чайно). Если , то гипотезу о нормальности отвергают.

набл крит

Если гипотеза принимается, то можно выровнять гистограмму с помощью функции плотности вероятности нормального распределения. Далее можно проводить анализ отклонений теоретической и эмпирической функций распределения.

Пример проверки гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности по выборке объема N в системе Mathcad приведен на рис. 2.3.

Алгоритм проверки гипотезы о равномерном, показательном, Пуассона, биноминальном распределении генеральной совокупности по критерию Пирсона с примерами приведен в [1].

Сведения о непараметрических критериях согласия Колмогорова, Смирнова можно найти в литературе по математической статистике.

75

2.6.Последовательный анализ

Взадачах статистического контроля качества продукции имеется класс задач приемочного контроля по признаку «годен-негоден» или «исправнодефектно» и контроль распределения продукции по сортам.

При этом случайная величина X принимает два значения: 0 — годная деталь и 1 — дефектная деталь. Пусть p означает относительное число де-

фектных изделий. Тогда величина X с вероятностью p примет значение 1 и с вероятностью p значение 0. Таким образом, задача о пригодности дан-

ной партии, решение которой дается на основании выборочной проверки, сводится к проверке гипотезы о том, что p p' , против гипотезы p p' .

Здесь p' — граничная вероятность или допущенное относительное число

дефектных деталей.

Это так называемый качественный контроль. Наиболее часто используют три вида контроля по качественному признаку: однократная выборка, двукратная выборка и последовательный анализ.

Суть однократной выборки состоит в том, что из партии объемом N случайным образом отбирается n изделий. Если после проверки всех n изделий в них оказалось m дефектных изделий и m m , то вся партия N де-

талей бракуется. Здесь m — это приемочное число, которое заранее рассчи-

тывается исходя из характеристик партии и требований к качеству продукции. Метод прост, но число подвергаемых к испытанию изделий n значительно, а следовательно значительны и издержки на контроль.

При двукратной выборке из партии объема N методом случайного отбора составляется первая выборка n , как правило, меньшая, чем при одно-

кратной выборке для одних и тех же условий. Если число дефектных изделий m m , то партия признается годной. Если m m m , то партия бракует-

ся. А при условии, что m m m , назначается вторая выборка объемом n . Если число дефектных изделий в двух выборках превосходит заданное число m , то партия бракуется. Здесь m , m , m — приемочные числа.

Издержки двойного контроля 0.67-0.75 от издержек однократной выборки. Последовательный анализ был предложен А. Вальдом [5]. Суть его со-

стоит в том, что на каждом испытании вычисляют последовательный критерий отношений вероятностей гипотезы H относительно конкурирующей

гипотезы H .

H : p p , (2.25)

H : p p .

Если на m -ом шаге (испытании)

77

где q — вероятность ошибки 1-го рода, — вероятность ошибки 2-го рода. На практике вместо неравенств (2.26, 2.27, 2.28) используют следую-

Здесь

dm — число дефектных изделий среди первых m проверенных, т.е. на m -ом испытании.

78

Поскольку значения q , , p , p задаются до начала испытаний, то

нетрудно видеть, что приемочное и браковочное числа представляют собой прямые линии, зависящие только от m и могут быть вычислены и построены

заранее (априори).

Пример 2.8. Пусть p . , p . , q . , . [5].

В табл. 2.1. представлены результаты табличного метода проведения контроля. Число дефектных изделий dm задается. Остальные параметры рас-

считываются.

Таблица 2.1

Результаты контроля

Втабл. 2.1. приведено округление am до ближайшего целого числа

am , rm соответственно до ближайшего целого числа rm .

Результаты графического метода проведения контроля по данным табл. 2.1 и расчета в системе Mathcad представлены на рис. 2.4.

Пусть Х – случайная величина, распределенная по нормальному закону с неизвестным математическим ожиданием mx и известным средним квадра-

тическим отклонением x . Необходимо, используя последовательный анализ, проверить гипотезу

иначе продолжить испытания (зона безразличия).

Процесс проверки гипотезы (2.34) последовательным анализом выглядит следующим образом. Для каждого текущего испытания m проверяется неравенство

79

A , B – определены выражениями (2.29) и (2.30).

xi ,i ,m – последовательно наблюдаемые значения X (например, диаметра детали).

80

Если условие (2.35) выполняется, то процесс испытания (контроля) продолжается.

Как только в первый раз на m-ом шаге

m

xi rm ,

i

81

партия бракуется, и если

Результаты графического метода контроля по данным табл. 2.2 и расчета в системе Mathcad представлены на рис. 2.5.

Пусть X – случайная величина, распределенная по нормальному закону, с известным математическим ожиданием mx и неизвестным средним

квадратическим отклонением x . Необходимо, используя последовательный анализ, проверить гипотезу H относительно конкурирующей H

82

где , – нижняя и верхняя граница приемки контролируемой партии по

среднему квадратическому отклонению.

Пусть x , x ,...,xm соответствуют результатам последовательных на-

блюдений случайной величины X . Процесс испытаний партии продолжается, если

ковочное числа.

83