ЗАДАЧИ
1. В ящике содержится 12 деталей, изготовленных на станке 1, 20 деталей – на станке 2 и 18 деталей – на станке 3. Вероятность того, что деталь, изготовленная на станке 1, отличного качества, равна 0, 9; для деталей, изготовленных на станках 2 и 3, эти вероятности соответственно равны 0,6 и 0,9. Найти вероятность того, что извлеченная из ящика наудачу деталь окажется
отличного качества.
Ответ: P . .
2. Два автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность первого автомата вдвое больше производительности второго. Первый автомат производит в среднем 60 % деталей отличного качества, а второй – 84 %. Наудачу взятая с конвейера деталь ока-
залась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь произве- |
||
дена первым автоматом. Для решения воспользоваться формулой Байеса |
||
P B | A |
P Bk P A | Bk |
, |
|
||
k |
P A |
|
|
|
|
где вероятность P Bk | A события Bk после того, как имело место событие А, Bk (k , ,...n) – последовательность попарно несовместных событий, обра-
зующих полную группу; P A определена формулой (1.2).
Ответ: P B | A / .
3. Интегральная функция непрерывной случайной величины Х (время безотказной работы устройства) равна
F(x) e x /T ,(x ) .
Найти вероятность безотказной работы устройства за время x T . Построить график F (x) в Mathcad.
Ответ: P x T / e .
4. Длительность времени безотказной работы элемента имеет показательное распределение F (t) e . t . Найти вероятность того, что на мо-
мент t 100 ч: а) элемент откажет; б) элемент не откажет. Построить график
F (t) в Mathcad.
Ответ: а) R( ) . ; б) F( ) . .
5. Автомат изготавливает шарики. Шарик считается годным, если отклонение диаметра Х шарика от проектного размера mх по абсолютной ве-
личине меньше 0,7 мм. Считая, что случайная величина Х распределена нормально со средним квадратическим отклонением , мм, найти, сколько будет годных шариков среди ста изготовленных.
Ответ: 94 шарика.
59
6. Вероятность обнаружения цели за время поиска t определена выражением
F(t) e . t ,(t ) .
Используя Mathcad определить среднее время поиска M T , необходи-
мое для обнаружения цели, и дисперсию времени поиска.
Ответ: M T . D T .
7. Радиоаппаратура состоит из N элементов. Вероятность отказа одного элемента в течение одного года работы равна P(x ) . и не
зависит от состояния других элементов. Какова вероятность отказа двух эле-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ментов P(x ) |
и не менее двух элементов P(x ) Pn в год. Случайное |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
число X отказавших элементов подчиняется закону Пуассона |
|||||||||
|
P(x n) P P n, m |
mn |
e m ,(n , , ...), |
||||||
|
|
||||||||
|
|
|
n |
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где m M X NP(x ) – математическое ожидание. |
|
|
|
||||||
Ответ: 1) |
P(x ) P |
|
|
. ; |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|||||
|
e |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
P(x ) P P e m ( m) |
|
. . |
||||||
|
|||||||||
|
|
|
|
|
e |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. Стационарный центрированный случайный процесс X (t) имеет
корреляционную функцию
Rxx ( ) xe | | ,
где , α=5 сек-1 – параметр затухания.
x
Определить спектральную плотность и построить графики Rxx ( ) и
Sxx ( ) в Mathcad.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: Sxx ( ) |
x |
|
|
|
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
9. Структурная схема следящей системы имеет вид
u( p) |
e( p) |
K |
x( p) |
|
|
p (Tp |
) |
|
- |
|
|
Параметры системы: добротность по скорости К=25 сек-1, T . сек. Входной сигнал u(t) представляет собой белый шум со спектральной плот-
ностью
60
Suu ( ) u .
Построить график Sxx ( ) и рассчитать x . Для расчетов использовать формулы (1.88) и (1.77).
Ответ: |
K |
|
u |
. |
|
|
||
x |
|
|
|
||
10. На вход следящей системы (задача 9) действует полезный сигнал, скорость которого изменяется в соответствии с рисунком
u ( t )
t, сек
Корреляционная функция скорости входного сигнала
| | |
|
R( ) e T |
e | | , |
где град/сек – среднеквадратичное значение скорости; T сек. Рассчитать и построить график спектральной плотности скорости
входного сигнала S( ) и среднеквадратичную ошибку e . Расчет спектральной плотности ошибки осуществить по формуле
See ( ) We ( j ) S( ) .
Пределы интегрирования для ω 0.01,1000 .
Ответ: σe 0.082 град.
61