2.9. Оценка корреляционной функции

Если задано значение относительной средней квадратической погрешности оценки корреляционной функции, то для определения длительности наблюдения T и интервала квантования T можно воспользоваться методи-

кой, предложенной в [7].

Полученная оценка корреляционной функции временного ряда не позволяет спрогнозировать значения временного ряда хотя бы на один такт вперед. Она позволяет предположить некоторые свойства (структуру) динамической модели, порождающей данный временной ряд.

Корреляционные функции наиболее всего подходят к выявлению структуры модели во временной области в виде разностных уравнений.

Расчет корреляционных функций в Mathcad

Кxx:=correl(x,x), Rxx:=covar (x,x), Rux=covar(u,x),

отличающихся от формул (2.58), (2.59), (2.64), отсутствием множителя

1/ N r .

В системе Matlab

Кxx=xcorr(x,’unbiased’), Rxx=xcov(x,’unbiased’),

Rux=xcov(u,x,’unbiased’),

в полном соответствии с формулами (2.58), (2.59), (2.64).

2.10. Оценка спектральной плотности

Оценка спектральной плотности мощности осуществляется непараметрическими (nonparametric) и параметрическими (parametric) методами.

Непараметрические методы. Для оценки используют непосредственно наблюдения временного ряда x(k) , либо оценку корреляционной функции

Rxx (r) . Метод оценивания-преобразование Фурье (см. разд. 1.7).

Если длина N последовательности наблюдаемых данных x(k) является

степенью числа 2, т.е. N 2n , то применяется алгоритм быстрого преобразования Фурье (БПФ), имеющий максимальную производительность вычислений.

Дискретное прямое преобразование Фурье одномерного массива х размерности N 1 определяется следующим образом:

92

Обратное дискретное преобразование Фурье:

Rxx:=ifft(Sxx).

Оценка спектральной плотности в приложении

Mathcad.

Sxx(r):=pspectrum(x,d,α,[w]) – плотность спектра мощности, Sux(r):=cspectrum(u,x,N,r,[w]) – плотность кросс-спектра,

где x, u – вектор реализаций временных рядов x(k) и u(k); d – целое число в диапазоне 1<d<length(x), определяет число перекрывающихся сегментов временного ряда x(k) ; α – постоянная сглаживания 0<α<1; обычно α=0.5; w –

индекс, определяющий окно сглаживания первичных оценок (периодограммы), для окна Хэннинга w=4, при w=0 данные не сглаживаются.

Функции спектрального анализа пакета Signal Processing для вещественного сигнала рассчитывают односторонний спектр плотности мощности. Поэтому, чтобы получить теоретический спектр плотности мощности данного сигнала, результаты расчета необходимо умножить на два.

Оценка спектральной плотности мощности в приложении Signal Processing Toolbox Matlab.

Периодограмма (оценка спектральной плотности мощности) рассчитывается по формуле

оценки спектральной плотности мощности аналогового случайного процесса, восстановленного по отсчетам x(k) .

Если при расчете спектра используется весовая функция (окно – window) с коэффициентами h(k) , то получим модифицированную периодограм-

му

где Pxx – вектор оценки спектральной плотности мощности (PSD) размерности N / 2 1;

w – вектор нормированной угловой частоты от 0…π;

window – вектор коэффициентов окна сглаживания (по умолчанию прямоугольное окно).

94

Для уменьшения пульсаций (сглаживания) периодограммы можно воспользоваться непараметрическим методом Уэлча (Welch)

[Pxx,w]=pwelch (x,window,noverlap,w);

где noverlap – доля перекрытия соседних сегментов, по умолчанию 50%.

В методе Уэлча вектор наблюдений x(k) делится на перекрывающиеся

сегменты. Каждый сегмент умножается на используемую весовую функцию и для него рассчитывают модифицированную периодограмму. Итоговый результат представляет собой усредненные периодограммы всех сегментов.

Периодограмма не является состоятельной оценкой спектральной плотности мощности и с ростом числа используемых отсчетов значения периодограммы начинают все быстрее флуктуировать.

Непараметрический метод оценки плотности кросс-спектра.

Pxy=cpsd(x,y,window,noverlap).

Обозначения аналогичны предыдущим функциям.

Параметрические методы. В параметрических методах исходят из представления наблюдаемого временного ряда как результат воздействия дискретного «белого шума» u(k) на динамическое звено (фильтр) n-го по-

рядка (см. разд. 1.9). Спектральный анализ состоит в решении задачи идентификации параметров a, b динамического звена (разностного уравнения) по критерию минимизации квадрата невязки наблюдаемого процесса x(k) и вы-

хода динамического звена y(k) (рис. 2.8).

x(k)

-

e(k )

Оптимизатор

a,b,σu2

Рис. 2.8. Структурная схема идентификации параметров фильтра

Наиболее часто используют процессы авторегрессии вида (1.105) с нормированной автокорреляционной функцией

Параметрический метод оценки на основе авторегрессионного метода Берга (Burg) в Matlab

[Pxx,w]=pburg(x,n,w0),

95

где n – порядок авторегрессионной модели, w0 – нормированная угловая частота квантования.

Для апериодических процессов типа «цветной шум» n=1. Для случайных процессов с гармонической составляющей он должен быть в два раза больше числа предполагаемых синусоидальных колебаний.

Пример 2.10. Для примера 1.6 осуществить расчет основных статистических характеристик на выходе дискретного фильтра в системе Mathcad и в пакете расширения Simulink системы Matlab.

При моделировании интервал квантования (Sample time) во всех блоках принимается равным выбранному значению T0 0.25 Т 1.

Результаты расчетов в Mathcad (рис. 2.9) показывают хорошее совпадение оценки Rxx (r) с теоретической Rxx (τ) , равно и для взаимной корреляци-

онной функции Rux (r) .

Оценки спектральной плотности Sxx (ω) значимо отличаются друг от

друга. Сравните непараметрические оценки для центрированного процесса X 0 (k) с использованием БПФ (2.69) и функцией pspectrum (·). Изрезанность

оценки (2.69) обусловлена отсутствием сглаживания. Оценка спектральной плотности (2.71) с использованием автокорреляционной функции центрированного процесса X 0 (k) значимо отличается от предыдущих оценок.

Выбор T0 0.1 T влечет изменение оценок Rxx (r) и Rux (r) и их отли-

чие от теоретических значений (промоделируйте).

Выбор T0 T влечет существенные изменения всех оценок (промоде-

лируйте).

Результаты расчетов в Matlab представлены на рис. 2.10 для времени моделирования N 512.

512, число точек печати (plot after how many points) – 64, T0 1.

Параметры Aweraging Power Spectral Density: length of buffer – 256, number of points for fft – 512, число точек печати – 64, T0 1.

Параметры Cross correlator: length of buffer – 512, число точек печати –

64, T0 1.

Параметры Aweraging Spectrum Analyzer: length of buffer – 512, число точек для fft – 512, число точек печати – 64, T0 1.

Полученные графики отличаются значительно от графиков, полученных в Mathcad, поскольку расчет ведется по другим алгоритмам, включая

96

Рис. 2.9. Расчет статистических характеристик на выходе дискретного фильтра в Mathcad для примера 2.10

97