4.2. Метод регрессионного анализа

Рассмотрим объекты идентификации, структурная схема которых имеет вид (рис. 4.2).

Рис. 4.2. Структурная схема объекта идентификации

Здесь, как и ранее (см. раздел 3), u – вектор управляющих воздействий размерности m ; z – вектор контролируемых возмущений размерности r ; v – аддитивная помеха; y – выходная переменная, скаляр.

Переменные входных векторов u и z и выходная y – измеряемы и

представляют собой реализации случайных процессов.

Зависимость выходной переменной от входных переменных представим в виде

Этот этап часто называют линеаризацией переменных.

С учетом (4.12) зависимость (4.11) в развернутом виде будет иметь вид

метры.

Как правило, первый член уравнения (4.13) представляет собой свободный член и поэтому переменную x называют фиктивной переменной.

Зависимость (4.13) линейна относительно неизвестных параметров a j .

182

а полученные МНК-оценки (4.16) не смещены, состоятельны, асимптотически эффективны и имеют совместный нормальный закон распределения

Если же ошибки V не подчиняются нормальному закону распределения, но выполняются условия (4.19), то оценки (4.16) будут наилучшими в классе линейных оценок, несмещенными, состоятельными и асимптотически нормальными [23].

Поскольку дисперсия помехи V , как правило, априори неизвестна, то при выполнении предпосылок МРА можно найти ее оценку

предсказанное по уравнению регрессии (4.17) значение выходной переменной для i-ой строки матрицы наблюдения (4.14).

Можно непосредственно выдвинуть гипотезу о значимости всех коэффициентов модели (4.13)

H : a ,

H : a .

Для проверки этой гипотезы рассчитаем

между переменной y и вектором X , включенным в модель (4.13), нет функциональной зависимости, и, следовательно, весь разброс значений y обу-

словлен действием помехи V .

Если подтверждена значимость всех коэффициентов модели, можно проверить гипотезы относительно отдельных параметров (коэффициентов) модели.

Проверим гипотезу

H : a j a*j , H : a j a*j .

где a*j – заданное значение j -го параметра.

При этом относительно остальных коэффициентов не делается никаких

184

предположений.

Для этого рассчитаем

Здесь SV SV , c jj – диагональный элемент дисперсионной матрицы

C .

Чаще всего a*j , и тогда гипотеза соответствует проверке параметров на значимость

т.е. равным нулю и его следует исключить из модели (4.13). Процесс исключения j -го параметра из модели влечет за собой исключение j -го столбца из

матрицы наблюдения X (4.14) и повторное вычисление для уменьшенного числа параметров МНК-оценок (4.16), поскольку оценки взаимозависимы между собой через дисперсионную матрицу C .

Процедура повторяется до тех пор, пока все параметры не окажутся значимыми.

Интервальная оценка выходной переменной в каждом i -ом опыте матрицы наблюдений X равна

значение выходной переменной, рассчитанное по (4.23).

Интервальная оценка для произвольного вектора X m X не принадлежащего матрице наблюдений X .

где = 0 0 + 1 1 + 2 2 + + .

Для оценки работоспособности полученной модели (уравнения регрессии) (4.17) вычисляют

S

Fнабл. S y , (4.31)

V

где

185

Соотношения работоспособности не дают ответа на вопрос о структурной адекватности полученной модели объекту.

Если масштабы измерения переменных очень различаются, например, U изменяется в интервале (100 200 кг), а переменная z соответственно в

интервале (0.01 0.2 см), то параметры уравнения регрессии (размерные величины) не всегда могут характеризовать влияние линеаризованной переменной на выходной показатель y . Для сравнительной оценки их влияния на

y целесообразно провести нормирование результатов наблюдений с учетом

S y S y .

В результате нормирования (сравни с (1.24)) результатов эксперимента получим нормированные матрицы наблюдений и соответственно нормированные МНК-оценки

где матрица

186

МНК

где W – симметричная матрица весовых коэффициентов размерности N N . Планирование пассивного эксперимента по сбору данных для МРА за-

висит от свойств исследуемого объекта и вида выбранной модели.

Согласно (4.20) в каждом i -ом эксперименте (наблюдении) случайная величина yi имеет нормальное распределение с одинаковой для всех опытов

коррелированны между собой. Следовательно, если объект безинерционный (статический) и на входе действуют случайные процессы u(t) , z(t) , то и на

выходе будем наблюдать случайный процесс y(t) .

Используя результаты разделов 2.8 и 2.9, необходимо оценить время корреляции y случайного процесса y(t) .

Тогда интервал съема данных (интервал квантования) выбирается из

После выбора T необходимо определить длительность эксперимента,

т.е. объем наблюдений N . Здесь следует руководствоваться тем обстоятельством, что входные воздействия u(t) , z(t) должны «пробежать» все свои

возможные значения. Некоторые практические рекомендации по выбору длительности эксперимента приведены в [16].

Процедура эксперимента состоит в одновременном съеме данных u kT0 , z kT0 , y kT , k , ,...,N и представлении их в виде матриц наблю-

дений (4.14).

Если объект исследования динамический, а мы строим статическую модель (4.11), то влияние динамики следует исключить из эксперимента. Самое простое решение, это вести съем данных после окончания переходных процессов в объекте. Причем если это объекты первого рода вида (3.6), то необходимо знать динамику каналов входных воздействий и, кроме того, иметь возможность удерживать на время переходного процесса эти воздействия на постоянном уровне. Это уже активно-пассивный эксперимент и реализовать его можно для относительно простых объектов. Если исследуем объект второго рода типа (3.7) для скалярного выхода q(t) , то динамику выхода

можно заменить звеном чистого транспортного запаздывания Wy ( p) e p y , где y – время переходного процесса в исходном динамическом звене. В этом случае все измерения выходной переменной y kT проводят со сдвигом на время y .

188