i-808190579
.pdfМинистерство образования и науки Российской Федерации Сибирский федеральный университет
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КИБЕРНЕТИКИ
Лабораторный практикум
Электронное издание
Красноярск
СФУ
2015
УДК 519.7(07)
ББК 22.18.73 М 340
Составитель: Масальский Геннадий Борисович
М340 Математические основы кибернетики. Лабораторный практикум [Элек-
тронный ресурс] / сост. Г.Б. Масальский. – Электрон. дан. – Красно-
ярск: Сиб. федер. ун-т, 2015. – Систем. требования: PC не ниже класса
Pentium I; 128 Mb RAM; Windows 98/XP/7; Adobe Reader V8.0 и выше.
– Загл. с экрана.
Предназначено для студентов направления подготовки 220000 "Автоматика и управление", специальности 220402.65 "Роботы и робототехнические системы", а также для направления подготовки бакалавров 15.03.06 (221000.62) "Мехатроника и робототехника". Может служить пособием магистрам, аспирантам и инженернотехническим работникам при формализации стохастических объектов управления, обработке результатов эксперимента и решении задач статической оптимизации с использованием систем Mathcad и Matlab.
УДК 519.7(07)
ББК 22.18.73
© Сибирский федеральный университет, 2015
Электронное учебное издание
Подготовлено к публикации ИЦ БИК СФУ
Подписано в свет 17.06.2015. Заказ № 1785 Тиражируется на машиночитаемых носителях
Издательский центр Библиотечно-издательского комплекса Сибирского федерального университета 660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 79
Тел/факс (391)206-21-49.
E-mail: rio@sfu-kras.ru http://rio.sfu-kras.ru
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
Введение............................................................................................................. |
4 |
Лабораторная работа № 1. Случайная величина и ее оценки. ..................... |
6 |
Лабораторная работа № 2. Статистики случайных процессов..................... |
19 |
Лабораторная работа № 3. Методы регрессионного анализа. ...................... |
35 |
Лабораторная работа № 4. Идентификация параметров динамической |
|
модели................................................................................................................. |
72 |
Лабораторная работа № 5. Методы сгладживания и фильтрации ............... |
97 |
Лабораторная работа № 6. Классическая задача математического про- |
|
граммирования................................................................................................... |
112 |
Лабораторная работа № 7. Градиентные методы оптимизации. .................. |
120 |
Лабораторная работа № 8. Последовательный симплексный метод. .......... |
130 |
Лабораторная работа № 9. Комплекс-метод .................................................. |
146 |
Лабораторная работа № 10. Линейное программирование .......................... |
159 |
Лабораторная работа № 11. Транспортные задачи. ....................................... |
164 |
3
ВВЕДЕНИЕ
Лабораторный практикум позволяет закрепить теоретические знания и получить практические навыки решения задач обработки экспериментальных данных, идентификации и оптимизации в среде Mathcad и Matlab с применением стандартных функций и приложений, и самостоятельно разработанных.
Последовательность лабораторных работ предусматривает статистическую обработку экспериментальных данных, получение оценок наблюдаемых дискретных случайных процессов, построение статической модели методом регрессионного анализа и рекуррентным методом наименьших квадратов (РМНК) для линейных и нелинейных по параметрам моделей, идентификацию параметров динамической модели, в том числе РМНК для различных типов моделей (структурные схемы, разностные уравнения, уравнения пространства состояния), а также методов сглаживания и фильтрации дискретных временных рядов.
Вторая часть практикума включает решение задач математического программирования: классического, нелинейного, линейного и специальных задач линейного программирования. При этом используются градиентные методы оптимизации, методы прямого поиска (последовательный симплексный поиск, комплекс-метод) с графическим представлением исследуемой модели и траектории поиска. Все работы сопровождены тестовыми примерами выполнения лабораторной работы.
При подготовке к выполнению лабораторной работы студент должен:
изучить соответствующий теоретический раздел учебного пособия
[1];
изучить краткое теоретическое описание и приложения лабораторной работы;
записать математическую постановку задачи с исходными данными варианта;
изучить листинг программы тестового примера и скорректировать соответствующие строки и функции программы в соответствии с заданием и порядком выполнения работы;
проанализировать полученные результаты и сделать выводы по ра-
боте;
ответить на контрольные вопросы.
Отчет по лабораторной работе должен включать:
цель работы;
постановку задачи с исходными данными варианта (модели, объекта исследования, структурные схемы, постановку задачи математического программирования, таблицы);
листинг программ с результатами и дополнительными комментариями внесенных изменений;
4
графики влияния параметров на эффективность используемых процедур согласно «Задание и порядок выполнения работы»;
выводы по работе.
Выполненная и оформленная в соответствии с СТО 4.2-07-2014 лабораторная работа должна быть защищена преподавателю с демонстрацией работы программы на компьютере и пояснением полученных результатов.
5
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1
СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА И ЕЕ ОЦЕНКИ
Цель работы – применение стандартных процедур систем Mathcad и Matlab для вычисления числовых характеристик случайных величин, генерации случайной величины, оценки ее параметров и проверки часто используемых гипотез нормальной распределенной случайной величины.
КРАТКОЕ ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ
Теоретические сведения приведены в разделах 1.1÷1.4, 2.1÷2.5 [1]. Случайная величина есть величина определенной физической размер-
ности, принимающая в результате эксперимента то или иное числовое значение, которое в принципе нельзя предсказать, исходя из основного комплекса условий проведения эксперимента.
Нормальное распределение (Гаусса) определено следующей функцией плотности распределения вероятностей
|
|
|
|
|
|
( x m) |
|
|
|
f (x) |
|
|
|
|
|
, |
(1.1) |
||
|
|
|
|
e |
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где m , – математическое ожидание и дисперсия случайной величины X .
Величину |
|
|
– называют средним квадратическим отклонением |
|
|
||||
(стандартом) случайной величины X , а m , |
соответственно центром и |
|||
степенью рассеяния случайной величины X . |
|
|||
Значения m , и используются для центрирования случайной величи- |
||||
ны |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X X m |
(1.2) |
и нормирования (стандартизации) случайной величины |
||||
|
|
|
x X m . |
(1.3) |
|
|
|
|
|
Стандартные процедуры вычисления законов распределения случайной величины.
В системе Mathcad выберите Proba- В системе Matlab: bility Distribution или Density
интегральная функция
F(x) : pnorm(x,m, ) |
F(x) normcdf (x,m, ) ; |
|
дифференциальная функция |
f (x) : dnorm(x,m, ) |
f (x) normpdf (x,m, ) ; |
вычисление числа с, удовлетворяющего условию P x c P |
|
c : gnorm( p,m, ) |
c norminv( p, m, ) ; |
6
Вероятность попадания случайной величины в интервал (a,b) равна
|
b m |
a m |
||||
P a X b Ф |
|
|
Ф |
|
, |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||
и программная реализация |
|
|
|
|
|
|
p : pnorm(b,m, ) pnorm(a,m, ) |
p normcdf (b,m, ) normcdf (a,m, ) . |
|||||
Простейшие оценки выборки объема N.
Выборка – это конечный набор значений случайной величины, получаемый в результате наблюдений.
Выборочное среднее значение
|
|
N |
|
x |
|
xi , |
(1.4) |
|
|||
|
N i |
|
|
является несмещенной и состоятельной оценкой математического ожидания, а для нормального распределения и эффективной.
Состоятельной, но смещенной оценкой дисперсии является
|
|
|
N |
|
σ2 |
|
|
xi x , |
(1.5) |
|
||||
|
|
N i |
|
|
а для нормальной совокупности эта оценка и эффективна.
Состоятельной и несмещенной оценкой дисперсии является выбороч-
ная дисперсия
|
|
N |
|
Sx |
|
xi x . |
(1.6) |
|
|||
|
N i |
|
|
Эта оценка не является эффективной для нормальной генеральной со- |
|||
вокупности особенно при малых N . |
|
|
|
Интервальные оценки. |
|
|
|
Интервал 1, 2 называется доверительным, вероятность |
p – довери- |
||
тельной вероятностью, а величина q p – уровнем значимости.
В технических приложениях чаще всего используют значение p . , что соответствует уровню значимости q . .
Задача нахождения границ доверительного интервала решается с помощью выборочных функций распределения оценки θ или некоторой свя-
занной с θ подходящей статистики. Чаще всего используют условие |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
q |
|
|
P |
θ |
|
|
P |
θ |
|
|
|
|
, |
(1.7) |
||
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
обеспечивающее для симметричного выборочного распределения f θ раз-
мещение оценки θ в центре доверительного интервала.
Доверительный интервал математического ожидания определен выражением
7
|
|
|
|
x t |
|
Sx |
|
m |
|
x t |
|
Sx |
|
, |
(1.8) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
q/2,N |
|
N |
q / ,N |
|
|
N |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
где |
t q / ,N Sx |
– точность оценки, |
t |
|
значение t |
– распределения |
|||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
N |
|
|
|
q / ,N |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Стьюдента, для вероятности q / и числа степеней свободы v N .
Число степеней свободы v |
есть разность между числом имеющихся |
|||||||||||||||||
статистических данных N и числом наложенных связей. |
|
|
|
|||||||||||||||
Для оценки дисперсии 2 |
при неизвестном m |
x |
используют довери- |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
тельный интервал |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
S |
N |
|
S |
N |
, |
|
|
(1.9) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
,v |
|
|
,v |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где S – выборочная дисперсия, рассчитанная по выборке объема |
N ; |
– |
||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
,v |
|
значение |
|
– хи-квадрат |
распределения |
с числом |
степеней |
свободы |
||||||||||||
|
||||||||||||||||||
v N и вероятности |
|
q / , |
q / . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Генератор нормально распределенных случайных чисел: |
|
|
||||||||||||||||
x:=rnorm (N, m, σ) – генерирует вектор x=(x0,…,xN-1) (Mathcad); |
|
|||||||||||||||||
xi=normrnd (m, S) – генерирует число xi (Matlab); |
|
|
|
|
||||||||||||||
x=random (‘Normal’, m, S, 1, N) – генерирует матрицу 1 N (Matlab). |
|
|||||||||||||||||
Вычисление оценки математического ожидания случайной величины |
||||||||||||||||||
или среднего значения выборки x: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
mx:=mean(x) |
mx=mean(x), |
|
|
|||||||||||
соответственно оценки дисперсии или выборочной дисперсии |
|
|
||||||||||||||||
по формуле (1.5) |
|
S2:=var(x) |
S2=var(x); |
|
|
|
|
|||||||||||
по формуле (1.6) |
|
S2:=Var(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
СКО |
|
|
S:= |
|
S |
|
|
S=S2.^ 0.5; |
|
|
|
|
||||||
для формулы (1.5) |
S:=stdev(x) |
|
S=std(x1); |
|
|
|
||||||||||||
для формулы (1.6) |
S:=Stdev(x) |
|
S=stt(x); |
|
|
|
||||||||||||
Оценка ковариации двух случайных величин по выборкам одинакового объема X и Y (см. формулы (2.7) и (2.8) в [1]):
cov:=cvar(X, Y)
и оценка коэффициента корреляции
r:=corr(X, Y).
В Matlab c=cov(X, Y) – возвращает матрицу коэффициентов корреляции матрицы [X, Y], строки которой рассматриваются как наблюдения, а столбы – как переменные. Поэтому диагональные элементы матрицы это элементы ковариации между столбцами XY и YX.
Функция s=corrcoef (X, Y) возвращает матрицу коэффициентов корреляции, связанные с матрицей ковариации соотношением (см. 2.8. [1])
S(i, j) c(i, j)/ 
c(i,i) c(j, j) .
8
Доверительный интервал для математического ожидания и дисперсии при уровне значимости q . .
Выбираем в меню функцию f (x) , далее раздел в Probability Distribution
иимя функции: t-распределение Стьюдента для числа степеней свободы
vN и вероятности q / и хи-квадрат распределение
Mathcad |
Matlab |
t:=qt(1-q/2, N-1) |
t=tinv(1-q/2, N-1) |
ch1:=qchisq(1-q/2, N-1) |
ch1:=chi2inv(1-q/2, N-1) |
ch2:=qchisq(q/2, N-1) |
ch2:=chi2inv(q/2, N-1), |
либо непосредственно находим доверительный интервал для m и σ в Matlab [mX, SX, mx, Sx]=normfit(x, q/2);
mx+=mx(1); mx-=mx(2); S2+=Sx(1); Sx2-=Sx(2).
Критическое значение F крит |
распределения Фишера равно |
q / ,v ,v |
|
|
|
Fкр:=qF(1-q/2, N1-1, N2-1) |
Fкр=finv(1-q/2, N1-1, N2-1) |
ЗАДАНИЕ И ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ |
|
1. Моделирование нормального распределения случайной величины |
|
X . |
|
1.1. Для параметров m W – |
вариант, . W провести построение |
графика интегральной F (x) , дифференциальной f (x) и вычисление числа c , удовлетворяющего условию P X c . .
1.2. Рассчитать вероятность попадания случайной величины Х в интер-
вал a W b W .
2.Сгенерировать выборки U и U1 соответственно объемом N , и выборку X объемом N из нормальной генеральной совокупности с параметрами m W , . W .
Рассчитать выборочные средние u , x , выборочные дисперсии Su , S x , выборочные средние квадратические отклонения СКО Su , S x и оценку ковариации и оценку коэффициента корреляции случайных величин u и u .
3.По полученным оценкам выборки X найти доверительные интерва-
лы для математического ожидания mx и дисперсии x . Уровень значимости
q. .
4.По оценкам выборок U и X проверить для q . следующие ги-
потезы
9
H |
|
: m |
x |
W , |
H |
|
: m m |
, |
H |
|
: |
, |
|
|
|
|
u x |
|
|
u x |
|
||||
H : mx W . |
H : mu mx . |
H : u x . |
||||||||||
5. Для выборки X построить эмпирическую функцию плотности распределения вероятностей и проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности по критерию Пирсона.
Выводы по работе должны включать:
1) объяснение полученных графиков функций, их основные свойства; 2) определение по графикам распределения условия P X c p и
P X c p ;
3)запись центрированной и нормированной случайной величины в соответствии с (1.2) и (1.3);
4)объясните отличие полученных оценок выборок U и X между собой и от параметров генеральной совокупности;
5)пояснение полученных доверительных интервалов;
6)выводы по проверке гипотез;
7)объяснение параметров и переменных процедуры построения гистограммы и проверки гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1.Понятие события.
2.Определение случайной величины.
3.Определение вероятности.
4.Определение интегральной функции распределения случайной величины и ее основные свойства.
5.В чем отличие дискретной случайной величины от непрерывной?
6.Определение дифференциальной функции распределения случайной величины и ее основные свойства.
7.Какие числовые параметры наиболее часто используются для характеристики закона распределения?
8.Понятие центрированной и нормированной случайной величины, их свойства.
9.Определение понятия «математическая статистика».
10.Понятие генеральной совокупности и выборки.
11.Можно ли считать выборочное среднее статистикой?
12.Что дают нам интервальные оценки?
13.Для чего проверяются статистические гипотезы о параметрах распределения?
10