Механика практикум_уч.пособие

Абсолютно неупругий удар.

При абсолютно неупругом ударе кинетическая энергия полностью или частично переходит во внутреннюю энергию, после удара тела движутся с одинаковой скоростью или покоятся.

Законы сохранения импульса и момента импульса принимают вид:

m1v1 m2 v2 m1 m2 u

J1 1 J2 2 J1 J2

Количество тепла, выделившегося при ударе, или работа, затраченная на неупругую деформацию тел, равна уменьшению кинетической энергии системы.

Q A Wk II Wk I

В частности, при взаимодействии материальных точек или поступательно движущихся твердых тел

61

Лабораторные работы

1. ИЗУЧЕНИЕ ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Лабораторная работа 1

Экспериментальное определение функции распределения плотности вероятности результатов измерений

Цель работы: Построение гистограммы результатов измерения и функции распределения плотности вероятности; определение параметров функции распределения.

Приборы и принадлежности: Физический или математический маятник, электрический секундомер.

Методика и техника эксперимента

Величины называются случайными, если в результате опыта вследствие влияния различных случайных причин они могут принимать неодинаковые, но близкие числовые значения. Вероятность случайного события, состоящего, например, в появлении определенной величины а в серии наблюдений, может быть определена как

где n - число наблюдений, при которых появилось событие а; N - полное число наблюдений;

P(a) - вероятность события а.

Из (1) следует, что вероятность P(a) есть число, значение которого лежит в пределах

Событие считается достоверным при P(a) = 1; при P(a) = 0 событие невозможно.

Допустим, что произведено большое число N наблюдений величины а. Получен ряд значений а1, а2, ..., аi, ..., аN, которые представляют совокупность случайных величин. Результат измерения можно представить

62

графически в виде диаграммы, которая показывает, как часто получаются те или иные значения. Такая диаграмма называется гистограммой.

Для построения гистограммы по оси абсцисс откладывают все значения аi в порядке возрастания. Далее весь диапазон значений разбивается на одинаковые интервалы а и подсчитывается число значений величины а, попавших в каждый интервал. Величина интервала определяется из выражения

где amax - наибольшее значение измеренной величины, amin - наименьшее значение измеренной величины, k - число интервалов.

Число интервалов берется произвольным, но таким, чтобы в каждом интервале находилось несколько значений аi.

Пусть в первом интервале amin a оказалось n1 значений измерен-

ной величины, во втором – n2 и т.д. Возьмем отношения

nN1 ; nN2 ; nN3 ; ...; nNk ,

которые приближенно равны вероятности того, что величина a принимает значения, соответствующие первому, второму, ..., . к-му интервалу. Разделив эти величины на ширину интервала а, получим

представляет вероятность, приходящуюся на единичный интервал или плотность вероятности, 1 i k . Плотность вероятности не одинакова для разных интервалов, т.е. изменяется с изменением значения a.

63

1)при большом числе наблюдений погрешности равной величины, но разного знака встречаются одинаково часто, т.е. равновероятны;

2)вероятность появления погрешностей уменьшается с ростом величины погрешности, т.е. большие по абсолютной величине погрешности встречаются реже, чем малые.

Аналитическое выражение функции распределения Гаусса имеет вид

где а0 - абсцисса, соответствующая максимуму функции распределения, истинное значение случайной величины;

2 - дисперсия - параметр распределения, характеризующий ширину кривой.

В теории вероятности показывается, что параметры функции распре-

деления рассчитываются по формулам:

64

H также называют среднеквадратичным отклонением наблюдений от-

носительно среднего значения.

При проведении серии измерений получается, что сами средние значения, полученные в результате обработки результатов каждого измерения, являются случайными величинами, разброс которых характеризуется

дисперсией для распределения среднего 2. В математической статисти-

ке показано, что

Следовательно среднеквадратичная погрешность среднего значения рассчитывается по формуле:

этой погрешности определить невозможно, т.к. не известно истинное значение a0. В этом случае задается значение погрешности а такое, чтобы с вероятностью Р абсолютная величина разности между истинным и средним значениями a0 a не превышала а. Вероятность Р называется до-

верительной вероятностью, а интервал от a a до a a - доверительным интервалом.

В качестве результата измерения принимается доверительный интервал, рассчитанный по среднеквадратичному отклонению для распределения среднего и коэффициенту Стьюдента, учитывающему доверительную вероятность и число измерений:

маятник и т.п.) измеряется время 3-5 колебаний. По указанию преподавателя производится 50 наблюдений. Задачей лабораторной работы является построение гистограммы, функции распределения, а также определение параметров функции распределения.

66

Порядок выполнения работы

1.Произвести 50 измерений времени 3-5 колебаний.

2.Определить наибольшее значение измеренной величины amax и наи-

меньшее значение измеренной величины amin .

3.Разбив весь диапазон значений на 7-8 интервалов, определить ширину интервала а по формуле (3).

4.Записать в таблицу числовые значения границ интервалов.

5.Распределить результаты наблюдений по интервалам.

6.Подсчитать число значений ni из общей совокупности наблюдений аi, попавших в каждый интервал.

7.По формуле (4) рассчитать плотность вероятности в каждом интервале.

8.Построить гистограмму распределения плотности вероятности.

9.Провести пунктиром сглаженную кривую функции распределения f(а).

10.По формуле (8) вычислить среднеарифметическое значение a .

11.По формуле (9) рассчитать среднеквадратичное отклонение наблюде-

ний Н.

тальной кривой. В этом случае функция распределения приводится к

13.Сравнить построенную функцию распределения с экспериментальной.

14.Сделать вывод о проделанной работе.

67

ni

Рi

Контрольные вопросы

1.Какие величины называются случайными?.

2.Что называют вероятностью случайной величины? Поясните практический смысл вероятности.

3.Дайте определение плотности вероятности, функции распределения.

4.Какие предположения лежат в основе распределения Гаусса?

5.Поясните смысл функции распределения f a и параметра H . Как от этого параметра зависит форма кривой Гаусса?

6.Что называют доверительной вероятностью и доверительным интервалом?

7.Поясните смысл параметра . Как этот параметр связан с H ?

68

2. ЗАКОНЫ ДИНАМИКИ

Лабораторная работа 2-1

Проверка основного закона динамики вращательного движения

Цель работы: Изучение законов динамики поступательного и вращательного движения.

Приборы и принадлежности: Маятник Обербека, набор грузов, штангенциркуль, электрический секундомер, метрическая шкала.

Методика и техника эксперимента

Маятник Обербека представляет собой крестовину, которая с малым трением может вращаться вокруг горизонтальной оси. С крестовиной скреплен вал диаметром d , на который можно наматывать нить, перекинутую через неподвижный блок. К свободному концу нити прикреплен груз массой m . На стержнях крестовины можно укреплять грузы массой m0 . При отсутствии грузов на стержнях маятник Обербека имеет собственный момент инерции J0. Если систему предоставить самой себе, то груз m будет ускоренно опускаться, приводя в движение маятник. Высоту опускания груза h отсчитывают по вертикальной сантиметровой шкале, укрепленной на стене, а время, в течение которого груз проходит расстояние h,

69