Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Механика практикум_уч.пособие

.pdf
Скачиваний:
415
Добавлен:
26.03.2016
Размер:
2.12 Mб
Скачать

ds Rd

s R ;

v R ;

an 2 R ;

a R .

2.ЗАКОНЫ ДИНАМИКИ

2.1.Основные определения

Физические величины, характеризующие модели объектов

Масса m - мера инертности материальной точки или твердого тела при его поступательном движении. Инертностью называется свойство тел оказывать сопротивление при попытках привести его в движение или изменить величину или направление его скорости.

Момент инерции J - мера инертности при вращательном движении. Момент инерции материальной точки, находящейся на расстоянии r от оси вращения z, определяется формулой J mr 2 . Момент инерции твердого тела как системы материальных точек равен J mk rk2 . Выражения для моментов инерции некоторых однородных твердых тел приведены в таблице 3:

Моменты инерции твердых тел

Таблица 3

 

 

 

Твердое

Ось

Момент

тело

вращения

инерции

 

 

 

Шар радиуса R

Проходит через центр шара

2/5 mR2

Сплошной цилиндр ра-

Совпадает с осью цилиндра

1/2 mR2

диуса R

 

 

 

 

 

Полый тонкостенный ци-

Совпадает с осью цилиндра

mR2

линдр радиуса R

 

 

 

 

 

Тонкое кольцо радиуса R

Совпадает с осью кольца

mR2

 

Совпадает с осью диска

1/2 mR2

Тонкий диск радиуса R

Совпадает с диаметром

1/4 mR2

 

диска

 

 

 

 

41

Продолжение таблицы 3

Твердое

Ось

Момент

тело

вращения

инерции

 

 

 

 

Перпендикулярна стержню

1/12 ml2

Тонкий стержень длины l

и проходит через его центр

 

 

 

 

 

Перпендикулярна стержню

1/3 ml2

 

и проходит через его конец

 

 

 

 

Момент инерции относительно произвольной оси в ряде случаев

можно рассчитать по теореме Штейнера:

J J

c

md 2

, т.е. момент

 

 

 

 

инерции J относительно произвольной оси z равен моменту инерции Jc

относительно оси zc , параллельной данной и проходящей через центр масс С тела, плюс произведение массы m тела на квадрат расстояния d между осями.

Физические величины, характеризующие воздействие на объект

Сила. В механике Ньютона количественной мерой взаимодействия тел является сила F. На тело, движение которого рассматривается в задаче, могут действовать тела, контактирующие с рассматриваемым телом, и поля - гравитационное, электрическое, магнитное (безконтактное взаимодействие).

Чаще всего на тело, движение которого описывается в задаче, дейст-

 

 

 

 

 

 

 

 

вует не одна сила, а несколько:

F1

,F2

,F3

и т.д. В этом случае рассматри-

вается

равнодействующая

сила,

т.е. векторная сумма сил:

 

 

 

 

 

 

 

 

F F1

F2

F3 ... .

 

 

 

 

Момент силы. При вращательном движении одна и та же сила мо-

жет различным образом изменять скорость вращения. Мерой воздействия при вращательном движении является физическая величина, называемая

моментом силы.

Моментом силы M относительно точки О называется векторное произведение радиус-вектора r, проведенного от точки О к точке приложения силы, и вектора силы F:

42

M r, F .

 

M

 

 

 

 

 

 

Модуль этого вектора равен:

 

 

 

 

M Fr sin Fd ,

 

 

 

 

где d - плечо силы, т.е. кратчайшее рас-

 

 

 

F

стояние от точки О до линии действия

O

 

r

 

 

силы.

 

d

 

 

 

 

Пусть твердое тело имеет неподвижную ось вращения z, вдоль которой направлены псевдовекторы угловой скорости и углового ускорения. В этом случае на изменение характера вращения влияют только составляющие момента силы, ориентированные вдоль оси z. Следовательно, при применении законов динамики имеет смысл рассматривать только силы или составляющие сил, расположенные в плоскости, перпендикулярной оси вращения.

2.2. Законы сил

Силы тяготения

Сила гравитационного притяжения действует между двумя матери-

альными точками. В соответствии с законом всемирного тяготения эта сила пропорциональна произведению масс этих точек m1 и m2, обратно пропорциональна квадрату расстояния r между ними и направлена вдоль прямой, соединяющей эти точки:

F G m1 m2 , r 2

где G - гравитационная постоянная.

Гравитационным взаимодействием тела и космического объекта, в частности Земли, обусловлена сила тяжести mg. Гравитационную природу имеет и сила Архимеда.

Силы упругости.

Под действием внешних сил возникают деформации (т.е. изменения размеров и формы) тел. Если после прекращения действия внешних сил прежние формы и размеры тела восстанавливаются, то такая деформация

43

называется упругой. В деформированном теле возникают упругие силы, которые уравновешивают внешние силы, вызвавшие деформацию. Установленный экспериментально закон Гука утверждает, что при упругой деформации величина деформации пропорциональна внешнему воздействию. Рассмотрим, как закон Гука можно записать для различных деформаций.

Деформация растяжения и сжатия

Пусть закрепленная одним концом пружина лежит свободно на гладком столе. Под действием внешней силы F, направленной по оси x, пружина растянулась, ее удлинение составило x. При деформации в пружине возникают силы упругости Fупр, равные по величине и противоположные по направлению приложенной внешней силе: Fупр = - F.

Закон Гука в данном случае имеет

l0

 

 

 

вид: x

Fx

 

Fупр x

. Обычно индекс у

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

x

силы упругости опускают и закон Гука

 

Fупр

F

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

записывается в виде:

 

 

 

 

 

 

 

 

F

x

 

 

 

 

 

Fx kx .

 

 

Fупр

 

 

Здесь Fx - проекция упругой силы на ось

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

x. Коэффициент k называется жестко-

 

 

 

 

 

 

 

 

стью пружины.

 

 

Однородные стержни ведут себя при

 

 

 

l0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

одностороннем сжатии подобно пружине.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Деформация приводит к возникновению в

 

 

 

Fупр

 

Fn

стержне упругих сил.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Fn

l

Эти силы принято характеризовать напря-

 

 

 

 

 

 

Fупр

жением , которое определяют как модуль

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

силы, приходящейся на единицу площади поверхности:

 

 

Fn

S

Здесь S - площадь поперечного сечения стержня, Fn - составляющая силы, перпендикулярная к площадке, на которую она действует, поэтому такое

44

напряжение называется нормальным. Обозначив относительное удлинение

стержня как l , запишем закон Гука в виде: l0

 

1

или

l

 

1

 

Fn

.

E

l0

E

S

 

 

 

 

 

Величина Е характеризует упругие свойства материала стержня и называ-

ется модулем Юнга.

Силами упругости являются такие силы, как сила нормального давле-

ния N и сила натяжения нити Т.

 

 

 

Деформации сдвига

 

l

 

 

Рассмотрим прямоугольный

 

S

 

брусок, закрепленный неподвижно

 

 

F

 

 

 

нижней гранью. Под действием ка-

 

 

 

 

d

 

 

 

сательной (тангенциальной) силы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F , приложенной к верхней грани,

 

 

 

 

брусок получает деформацию, на-

 

 

 

 

зываемую сдвигом.

 

Величина, равная тангенсу угла сдвига tg

l

, называется относи-

 

 

 

 

 

 

 

d

тельным сдвигом. При упругих деформациях угол бывает очень мал, поэтому относительный сдвиг определяется формулой: tg .

Деформация сдвига приводит к возникновению в каждой точке бруска тангенциального напряжения , которое определяется как модуль силы, действующей на единицу площади поверхности:

F Fупр

S S

Закон Гука для сдвиговых деформаций имеет вид:

G1 ,

где G зависит только от свойств материала и называется модулем сдвига. Для большинства однородных изотропных тел G 0,4E . Модуль Юнга и модуль сдвига измеряются в Паскалях.

45

Деформации кручения

Рассмотрим стержень в виде прямого кругового цилиндра радиуса r, верхнее основание которого закреплено, а в некотором произвольном сечении, расположенном на расстоянии L от закрепленного, приложена пара касательных сил F , момент которых по величине равен M 2F r и на-

правлен вдоль оси цилиндра.

Под действием вращающего момента

r

все сечения цилиндра поворачиваются на

 

угол тем больший, чем дальше эти сече-

 

ния расположены от закрепленного осно-

L

 

 

 

вания. При упругих

деформациях угол

 

кручения пропорционален вращающему

F

моменту:

 

 

 

 

 

 

1

M

F

D

 

 

 

Деформации кручения являются частным случаем сдвиговых деформаций, поскольку любое нижнее сечение испытывает сдвиг относительно верхнего. Поэтому модуль кручения можно выразить через модуль сдвига. Детальный расчет приводит к следующему выражению:

 

 

 

 

D G

r 4

 

 

 

 

2L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Силы трения

 

 

N

 

 

Трение, возникающее при относи-

 

 

 

 

 

Fтр

 

 

F

тельном перемещении сухих поверхно-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

стей твердого тела, называется сухим

 

 

 

 

трением. Различают три вида сухого

 

 

mg

 

 

 

 

 

 

трения: трение покоя, скольжения и качения..

 

Если на тело действует сила , но тело сохраняет состояние покоя (не-

подвижно относительно поверхности, на которой оно находится), то это означает, что на тело одновременно действует сила, равная по величине и противоположная по направлению, - сила трения покоя. При увеличении силы , если тело сохраняет состояние покоя, то увеличивается и сила тре-

46

ния покоя. Сила трения покоя всегда равна по величине и противоположна по направлению внешней действующей силе.

Сила трения скольжения возникает при скольжении данного тела по поверхности другого тела. Чаще всего силу трения скольжения принимают равной максимальной силе трения покоя:

Fтр N ,

где - коэффициент трения скольжения, зависящий от природы и состояния соприкасающихся поверхностей (в частности, от их шероховатости), N - сила нормального давления, прижимающая трущиеся поверхности друг к другу.

Сила трения качения мала по сравнению силой трения скольжения. При движении твердого тела в жидкости или газе на него действует

сила, препятствующая движению. При малых скоростях сила сопротивления пропорциональна первой степени скорости тела:

Fтр k1v ,

при больших скоростях - приблизительно пропорциональна квадрату скорости:

Fтр k2 v v .

Коэффициенты сопротивления k1 и k2, а также область скоростей, в которой осуществляется переход от линейного закона к квадратичному, в сильной степени зависят от формы и размеров тела, направления его движения, состояния поверхности тела и от свойств окружающей среды.

Краткие сведения о законах, описывающих разные виды взаимодействий, приведены в таблице 4.

47

 

 

Информация о силах

 

 

Таблица 4

 

 

 

 

 

Происхождение сил

 

Законы сил

 

 

 

 

Гравитационное притяжение ма-

Закон всемирного тяготения

 

 

 

 

 

териальных точек с массами m1 и

 

F G

 

m1m2

 

 

 

r 2

m2, находящихся на расстоянии r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(G - гравитационная постоянная)

 

 

 

Действие Земли с точки зрения

 

Сила тяжести

наблюдателя, находящегося на

 

F mg

Земле

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Действие растянутой или сжатой

 

Закон Гука

пружины жесткостью k

 

 

F kx

 

 

 

(x - смещение от положения равновесия)

 

 

 

Взаимодействие при

контакте

Сила нормального давления N

поверхностей твердых тел

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сила трения покоя Fтр или

 

 

 

сила трения скольжения Fтр N

 

 

Сопротивление движению твер-

Сила вязкого трения при малых

дого тела относительно жидко-

скоростях

Fтр

k1v

сти или газа

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сила вязкого трения при больших

 

 

 

скоростях

F

 

rv2

 

 

 

 

тр

 

 

 

 

 

 

 

Выталкивающая сила, дейст-

Закон Архимеда

 

Fa mg

вующая на твердое тело, нахо-

(m - масса вытесненной жидкости

дящееся в жидкости или газе

или газа)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Действие

электрического поля

F qE

 

 

 

 

на заряд q

 

 

(E - напряженность поля)

 

 

 

 

 

 

Действие

магнитного

поля на

Сила Лоренца

 

F q[v, B]

движущийся заряд q

 

(B - вектор магнитной индукции)

 

 

 

 

 

 

 

 

48

2.3. Законы динамики

Законы Ньютона

Прежде всего напомним законы Ньютона. Они применяются при описании движения материальной точки или поступательного движения твердого тела.

В первом законе Ньютона утверждается, что существуют такие системы отсчета, относительно которых тело находится в состоянии покоя или прямолинейного равномерного движения, если на него не действуют силы или равнодействующая всех сил равна нулю. Такие системы отсчета называются инерциальными (ИСО). Любая система отсчета,

движущаяся с постоянной скоростью относительно ИСО, также является инерциальной.

Во втором законе Ньютона устанавливается связь между воздействием на тело - силой и реакцией на воздействие, которая проявляется в изменении скорости, т.е. в ускорении:

ma F ,

т.е. в инерциальных системах отсчета произведение массы тела на его ускорение равно силе, действующей на это тело. Если сил несколько, то под F понимается равнодействующая сила.

В третьем законе Ньютона утверждается, что действие равно проти-

водействию, а именно, два тела взаимодействуют с силами, равными по величине, и противоположными по направлению:

Fik Fki

Отметим, что эти силы приложены к разным телам и никогда не компенсируют друг друга.

Уравнение движения центра масс

В любой системе материальных точек, а следовательно, и системе тел имеется одна замечательная точка С, которая называется центром масс или центром инерции системы. Ее положение определяется радиусомвектором rc:

rc

m1r1

m2r2

...

.

m1

m2 ...

 

 

 

 

 

49

 

 

 

Для центра масс справедливо следующее утверждение: при движении любой системы частиц ее центр масс движется так, как если бы вся масса системы была сосредоточена в этой точке и к ней были бы приложены все внешние силы, действующие на систему. По форме уравне-

ние движения центра масс совпадает со вторым законом Ньютона: maс F ,

где ac - ускорение центра масс.

Уравнение динамики вращательного движения

При вращательном движении твердого тела аналогом второго закона Ньютона является основное уравнение динамики вращательного движения, которое имеет вид:

J M,

где - угловое ускорение, М - суммарный момент сил относительно оси вращения. Если момент инерции тела изменяется в процессе движения, то нужно применять этот закон в следующей форме:

dL M , dt

где L J - момент импульса твердого тела.

Любое движение твердого тела может быть представлено как наложение двух основных видов движения - поступательного и вращательного. Например, качение шара можно рассматривать как перемещение с ускорением, равным ускорению центра масс, и вращение относительно оси, проходящей через центр масс. Каждое движение подчиняется, как показано в таблице 5, соответствующему закону.

Законы динамики в неинерциальных системах отсчета.

Силы инерции

Системы отсчета, движущиеся с ускорением относительно инерциальных систем, называются неинерциальными (НИСО), и в них не выполняются рассмотренные выше законы динамики: второй закон Ньютона, уравнение движения центра масс, уравнение динамики вращательного движения. Однако их можно сохранить и для неинерциальных систем, ес-

50

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.