Механика практикум_уч.пособие
.pdf
Лабораторная работа 5-3
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЕЙ СДВИГА И КРУЧЕНИЯ МЕТОДОМ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ
Цель работы: с помощью крутильного маятника определить модули кручения и сдвига проволоки.
Приборы и принадлежности: крутильный маятник, секундомер, штангенциркуль, линейка.
Методика и техника эксперимента
Крутильный маятник представляет собой упругий стержень, один конец которого закреплен, а к другому прикреплено массивное тело таким образом, что его центр инерции находится на оси стержня ОО1.
Если тело повернуть на небольшой угол вокруг оси ОО1 и предоставить самому себе, О то оно начнет совершать крутильные колебания.
Можно показать, что величина периода |
|
||||
крутильных колебаний Т зависит от упругих |
|
||||
свойств проволоки и момента инерции маят- |
|
||||
ника. |
|
|
|
|
|
Если на тело действует пара сил, то чис- |
|
||||
ленное значение вращающего момента по |
|
||||
|
|||||
основному закону вращательного движения |
|
||||
О1 |
|||||
|
|
|
M J , |
||
|
|
|
|
||
где: |
d 2 |
|
- угловое ускорение; J – момент |
|
|
dt |
2 |
|
|||
|
|
|
|||
инерции маятника относительно оси ОО1.
Момент упругих сил, возникающих в образце при кручении, по закону Гука равен
M D ,
где D - модуль кручения. Поэтому
131
Jd 2 D . dt 2
Последнее уравнение представляет собой дифференциальное уравнение крутильных колебаний. Его можно привести к виду:
d 2 |
D 0. |
|
dt 2 |
||
J |
Как нетрудно увидеть путем прямой подстановки, решение данного уравнения имеет вид:
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
Dt |
0 |
|
m |
sin t |
0 |
, |
|||
|
|
J |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
т.е. угол изменяется по гармоническому закону, тело совершает гармо-
нические колебания с циклической частотой |
D |
и периодом |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
J |
|
|
|
|
|
T 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
J |
. |
|
|
(1) |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
||||
В используемой эксперименталь- |
|
|
|
|
|
|
|
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ной установке к нижнему концу верти- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
кально висящей проволоки СD прикре- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пляется горизонтальный стержень |
AB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
со средним грузом M и двумя равными |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
перемещаемыми грузами т. Если на |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
концы стержня AB подействовать па- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рой сил, создающей вращающий |
мо- |
|
|
m |
|
D |
m |
|
|
||||
мент, а затем систему предоставить са- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
A |
|
|
|
|
|
|
M |
|
B |
||||
мой себе, то она будет совершать кру- |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
тильные колебания в горизонтальной |
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
плоскости. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В основе данной работы лежит соотношение (1), в котором J - момент инерции системы относительно осп СD, D - модуль кручения, T - период крутильных колебаний.
Модуль кручения D можно определить, не зная момента инерции всей системы J относительно оси СD, но зная моменты инерции относительно
132
СD небольших по объему массивных грузов т, располагая их на минимальном l1 и максимальном l2 расстояниях. Обозначая периоды колебаний маятника для этих двух случаев Т1 и Т2, получим из выражения (1):
T 2 D 4 2 J , |
T 2 D 4 2 J . |
1 |
2 |
Вычтем из второго равенства первое
4 2 J2 J1 D T22 T12
и выразим отсюда
D |
4 2 J |
2 |
J |
1 |
|
. |
(2) |
|
T 2 |
T 2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
Принимая грузы m за материальные точки, моменты инерции системы J1 и J2 можно найти как
J |
1 |
J |
0 |
2ml 2 , |
|
J |
2 |
J |
0 |
2ml 2 |
, |
(3) |
|||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||
где J0 – момент инерции стержня со средним грузом. Подставляя (3) в (2), |
|||||||||||||||||||
получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
D |
8 2 m l 2 |
l 2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
T 2 |
T |
2 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Выражая периоды Т1 |
и Т2 |
через время |
t1 |
и t2 n колебаний при расположе- |
|||||||||||||||
нии грузов m на расстояниях соответственно l1 и l2 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
T |
|
t1 |
, |
|
T |
|
t2 |
, |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
n1 |
|
|
2 |
|
|
n2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
получаем расчётную формулу для модуля кручения материала проволоки маятника
D |
8 2m l22 |
l12 n2 |
. |
(4) |
||
t 2 |
t 2 |
|||||
|
|
|
||||
2 |
|
1 |
|
|
||
Поскольку деформации кручения являются частным случаем сдвиговых деформаций, модуль кручения связан с модулем сдвига соотношением:
G 32DL |
, |
(5) |
d 4 |
|
|
где: d – диаметр проволоки СD; L – её длина.
133
Порядок выполнения работы
1.Поместить грузы m на минимальное расстояние от оси проволоки и однократно измерить расстояние от ее оси до центра подвижных грузов l1.
2.Повернуть крутильный маятник на угол порядка 5 , предоставить его самому себе и по секундомеру отсчитать время п = 20 полных колебаний t1. Повторить операцию 5-7 раз.
3.Выполнить пункты 1, 2 для максимального расстояния грузов l2 от оси проволоки.
4.Однократно измерить штангенциркулем диаметр d проволоки маятника.
5.Записать в таблицу длину проволоки L, массу груза m и данные проведённых измерений.
6.Произвести математическую обработку результатов измерений, найти по формулам (4) и (5) модули кручения D и сдвига G, а также их погрешности D, G .
Таблица измерений
n |
l1, |
t1, |
l2, |
t2, |
l, |
t, |
d, |
d, |
L, |
m, |
|
мм |
c |
мм |
c |
мм |
c |
мм |
мм |
м |
кг |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Контрольные вопросы
1.Какие деформации называются упругими?.
2.Сформулируйте и запишите закон Гука применительно к деформациям кручения и сдвига.
3.Какой физический смысл модуля кручения и модуля сдвига?
4.Выведите расчетную формулу.
134
Литература
1.Савельев И.В. Курс общей физики, т. 1, 2, 3. - М.: Наука. 1988.
2.Сивухин Д. В. Общий курс физики – М.: Наука, 1989 г., т. 1, 1989.
3.Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики. - М.: Высшая школа, 1989.
4.Трофимова Т.И. Курс физики. - М.: Высшая школа, 1990.
5.Воронов В.К. Курс лекций по физике. – Иркутск: Изд-во ИрГТУ, 1991.
6.Грибов Л. Л., Прокофьев Н. И. Основы физики – 3-е изд. – М.: Гардари-
ка, 1998.
7.Филатова Л. С. Математическая обработка результатов измерений. Конспект лекций – Иркутск, ИрГТУ, 1997.
135
Николай Петрович Коновалов Лариса Сергеевна Филатова Матвей Балдакшинович Васильев Галина Григорьевна Рябцева Марина Зотиковна Николаева Татьяна Владимировна Созинова
Практикум по физике
Механика
Учебное пособие
Подготовила к печати Е.М.Сякерская
Подписано в печать Формат 60 90 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 8,75.
Уч.-изд. л. 9,0. Тираж … экз.
ЛР № 020263 от 30.12.96 Иркутский государственный технический университет
664074, Иркутск, Лермонтова, 83
136