Механика практикум_уч.пособие

ли кроме обычных сил взаимодействия F ввести еще “силы” особой природы Fин, называемые силами инерции. Их введение обусловлено ускорением движения неинерциальной системы отсчета относительно инерциальной.

Существует два основных типа неинерциальных систем. Обозначим символом К инерциальную систему отсчета, а K - неинерциальную.

1. движется относительно К с постоянным ускорением o . В a

K

этом случае в уравнениях динамики следует ввести силу инерции, равную Fин = - mac. Точкой приложения этой силы считать центр масс.

51

2. K вращается относительно К с постоянной угловой скоростью

. В уравнения динамики следует ввести центробежную силу инерции,

равную Fцб m 2r . Если тело движется относительно K со скоростью

v, то кроме центробежной, требуется учесть кориолисову силу инер-

ции:

Fкор 2m v , .

Систему отсчета, связанную с Землей, приближенно можно считать инерциальной при решении большинства задач.

Земля как неинерциальная система отсчета. Сила тяжести.

Ускорение свободного падения

Применение неинерциальной вращающейся системы отсчета оказывается исключительно удобным при рассмотрении движения вблизи Земли

где G - гравитационная постоянная, M - масса Земли, R h - расстояние от тела (материальной точки) до центра Земли, которую в

большинстве случаев можно рассматривать как однородный шар, R - радиус Земли. Cила тяготения направлена к центру Земли.

Центробежная сила инерции равна Fцб m 2r , где r R h cos -

расстояние от тела до оси вращения. Центробежная сила максимальна на экваторе и обращается в нуль на полюсах.

Под действием указанных двух сил тело движется относительно наблюдателя, находящегося в системе отсчета, связанной с Землей, с ускоре-

52

нием, называемым ускорением свободного падения g. Равнодействующую силы тяготения и центробежной силы инерции называют силой тяжести.

По второму закону Ньютона имеем:

mg Fтяж Fт Fцб .

Проанализируем полученное выражение. Как сила тяжести, так и ускорение свободного падения уменьшаются с увеличением высоты. Зависимость центробежной силы от широты приводит к тому, что сила тяжести на экваторе принимает наименьшее значение, а на полюсе - наибольшее, равное силе тяготения.

Фактически поверхность Земли не сферична, а имеет форму геоида, т.е. сплюснута с полюсов, что также влияет на зависимость ускорения свободного падения от географической широты. Кроме того, на ускорение свободного падения влияет неоднородность в распределении масс в Земле, что позволяет проводить поиск и разведку месторождений полезных ископаемых (методы гравиразведки). Для этого геофизикам приходится учитывать влияние на ускорение свободного падения рельефа местности, приливов и отливов и даже положение Луны в момент измерений.

3.ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ

3.1.Основные понятия

Несколько тел (частиц) называют системой тел. В систему может быть включено по нашему желанию любое число тел (два, три и т. д.). Твердое тело иногда рассматривают как систему большого числа материальных точек. Закономерности, установленные для системы частиц, можно применять и для отдельной частицы, полагая число частиц системы равным единице.

Состояние системы характеризуется одновременным заданием положений (координат) и скоростей всех ее частиц.

При движении системы ее состояние с течением времени изменяется. Тем не менее существуют такие величины, которые обладают весьма важным и замечательным свойством сохраняться во времени. В механике такими величинами являются энергия, импульс и момент импульса. Однако законы сохранения механической энергии, импульса и момента импульса

53

применимы не для любых механических систем и не при всех видах взаимодействий.

Система тел, на которую не действуют никакие посторонние тела (или их воздействие пренебрежимо мало), называется замкнутой или изолированной.

Силы взаимодействия между частицами (телами) системы называют внутренними, а силы, обусловленные действием других тел, не входящими в данную систему, - внешними. В неинерциальных системах отсчета к внешним относят и силы инерции.

Потенциальными или консервативными называют силы, завися-

щие при данном характере взаимодействия только от конфигурации механической системы. К непотенциальным относят силы, не удовлетворяющие приведенному здесь определению потенциальных сил. Непотенциальными являются, в частности, диссипативные силы - силы трения и сопротивления. Суммарная работа внутренних непотенциальных сил рассматриваемой системы отрицательна.

Силы

ПотенциальныеДиссипативныеПотенциальныеДиссипативные

3.2. Определения физических величин

Работа

Пусть частица под действием силы F совершает перемещение по некоторой траектории 1-2. В общем случае сила F в процессе движения может изменяться как по величине, так и по направлению. Рассмотрим эле-

54

ментарное (бесконечно малое) перемещение dr, в пределах которого силу F можно считать постоянной.

Действие силы F на перемещении dr характеризуется величиной

F

Работу силы на всем пути от точки 1 до точки 2 найдем, интегрируя (суммируя) элементарные работы вдоль траектории от точки 1 до точки 2:

2

A Fsds .

1

В случае постоянной силы последнее выражение примет вид:

A Fs s Fscos .

Эти выражения применимы как для материальной точки, так и поступательного движения твердого тела.

Работа при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси

При повороте твердого тела, имеющего ось вращения z, под воздействием момента силы Mz относительно оси z совершается работа

dA Mz d .

Полная работа при повороте на угол равна

A M z d .

0

При постоянном моменте сил последнее выражение принимает вид:

A Mz .

Энергия

Энергия - мера способности тела совершить работу. Движущиеся тела обладают кинетической энергией. Поскольку существуют два основных вида движения - поступательное и вращательное, то кинетическая энергия

55

представлена двумя формулами - для каждого вида движения. Потенциальная энергия - энергия взаимодействия. Убыль потенциальной энергии системы происходит вследствие работы потенциальных сил. Выражения для потенциальной энергии сил тяготения, тяжести и упругости, а также для кинетической энергии поступательного и вращательного движений приведены на схеме. Полная механическая энергия является суммой кинетической и потенциальной.

Импульс и момент импульса

Импульсом частицы p называется произведение массы частицы и ее скорости:

p mv .

Моментом импульса L относительно точки О называется векторное произведение радиус-вектора r, определяющего положение частицы, и ее

Таблица 6 Кинетическая энергия, работа, импульс и момент импульса для

различных моделей объектов и движений

Момент импульса вращающегося твердого тела совпадает по направлению с угловой скоростью и определяется как

L J .

Определения этих величин (математические выражения) для материальной точки и соответствующие формулы для твердого тела при различных формах движения приведены в таблице 4.

3.3. Формулировки законов

Теорема о кинетической энергии

Приращение кинетической энергии частицы равно алгебраической сумме работ всех сил, действующих на частицу.

57

Приращение кинетической энергии системы тел равно работе, которую совершают все силы, действующих на все тела системы:

Закон изменения механической энергии

Приращение полной механической энергии системы тел равно алгебраической сумме работ, которую совершают все внешние непотенци-

альные силы и внутренние диссипативные силы, действующих на все тела системы:

Закон сохранения механической энергии

Если в выражении (2) правая часть обращается в нуль, то закон изменения механической энергии превращается в закон сохранения механической энергии:

В частности, в инерциальной системе отсчета механическая энергия замкнутой системы тел при отсутствии диссипативных сил сохраняется в процессе движения.

Закон изменения импульса

Приращение импульса системы тел равно импульсу равнодействующей всех внешних сил, действующих на систему, за соответствующий промежуток времени:

Если внешние силы не зависят от времени, выражение (4) принимает

вид:

pII pI Fвнешt .

58

Закон сохранения импульса

Если правая часть в выражении (4) обращается в нуль, то закон изменения импульса превращается в закон сохранения, а именно:

Чаще всего он применяется для двух взаимодействующих тел и записывается в векторном виде:

m1v1 m2 v2 m1u1 m2 u2

Здесь v1 и v2 - скорости тел в состоянии I, u1 и u2 - скорости тел в состоянии II.

Сформулируем те условия, при выполнении которых можно применять закон сохранения импульса.

1) Система замкнута, т.е. F внеш 0, следовательно,

m1v1 m2 v2 m1u1 m2 u2

2) Система замкнута в некотором направлении, которое можно связать с осью x, т.е. Fxвнеш 0 ; Fyвнеш 0 , Fzвнеш 0 . В этом случае, учитывая

векторный характер величин, имеем:

m1v1x m2v 2x m1u1x m2u2x .

3) Промежуток времени между состояниями I и II настолько мал (удар, взрыв), что внешние силы не могут заметно повлиять на скорости тел, т.е. при t 0

m1v1 m2 v2 m1u1 m2u2 .

Закон изменения момента импульса

Приращение момента импульса системы тел равно импульсу суммарного момента всех внешних сил, действующих на систему, за соответствующий промежуток времени:

Когда рассматривается движение вокруг неподвижной оси, то этот закон записывается в проекции на направление оси вращения (ось z):

t

LII LI M внешdt .

0

Закон сохранения момента импульса

Если правая часть в выражении (6) обращается в нуль, то закон изменения момента импульса превращается в закон сохранения, а именно:

Это возможно в следующих случаях.

1) Момент внешних сил, действующих на все тела системы, равен ну-

лю.

2) При малости промежутка времени между состояниями I и II (удар,

взрыв), т.е. при t 0.

3.3. Удар

Абсолютно упругий удар.

Абсолютно упругим называется такой удар, при котором механическая энергия тел не переходит в другие немеханические, виды энергии.

При абсолютно упругом ударе выполняются законы сохранения энергии, импульса и момента импульса. Потенциальная энергия каждого тела в состояниях до и после удара одинакова, перераспределяется только кинетическая энергия. Поэтому закон сохранения энергии можно записать в виде:

Типичным примером абсолютно упругого удара является удар шаров при игре в бильярд.

60