Механика практикум_уч.пособие

Обработка результатов эксперимента

1. ИЗМЕРЕНИЯ И ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ

Выполнение лабораторных работ связано с измерением физических величин. Измерением называют определение значения физической величины опытным путем с помощью специальных технических средств (приборов, установок, мер). Численные значения физических величин, полученные при измерениях, являются результатами измерений. Однократное определение физической величины называется наблюдением.

Измерения делят на прямые и косвенные. Прямыми называются измерения, при которых искомое значение величины определяется путем отсчета по шкале измерительного прибора или сравнения с мерой. Например, время измеряется секундомером, длина - с помощью линейных мер, сила тока - амперметром и т.д.

При косвенных измерениях значение физической величины вычисляют по результатам прямых измерений других величин, связанных с искомой величиной функциональной зависимостью (расчетной формулой). Например, мощность электрического тока P можно вычислить по результатам прямых измерений силы тока I и напряжения U, пользуясь формулой P IU .

ИЗМЕРЕНИЯ

При всяком измерении неизбежны погрешности. Погрешность - это отклонение результата измерения от истинного значения измеряемой величины. Истинным является такое значение физической величины, которое идеальным образом отражает свойства изучаемого объекта.

11

Погрешность может быть представлена в абсолютной и относитель-

ной формах. Абсолютной погрешностью измерения а физической ве-

личины а называют разность между результатами измерения а и истинным значением измеряемой величины а0:

a a a0 .

Относительная погрешность показывает, какую часть (или какой процент) абсолютная погрешность а составляет от истинного значения

а0.

a , или a 100% . a0 a0

Погрешность любого измерения складывается из двух составляющих - систематической и случайной.

Систематическая погрешность - составляющая погрешности измерения, остающаяся постоянной или закономерно изменяющаяся при повторных измерениях одной и той же величины. Систематическая погрешность вызвана техническим несовершенством средств измерений и отсчета по их шкалам, использованием для вычислений приближенных формул, неточных данных и т.д.

Случайная погрешность - составляющая погрешности измерения, изменяющаяся случайным образом при повторных измерениях данной величины. Эта составляющая обусловлена, например, случайными процессами, происходящими в окружающей среде, в измерительном приборе, а также субъективными причинами. К случайным примыкают грубые погрешности измерения (промахи), которые существенно превышают ожидаемые при данных условиях.

ПОГРЕШНОСТИ

Поскольку истинное значение измеряемой величины нам неизвестно, то на практике определяют интервал, в пределах которого заключено истинное значение измеряемой величины.

12

2. РАСЧЕТ ПОГРЕШНОСТИ ПРЯМЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

2.1. Элементы математической статистики

Пусть проведено измерение (многократное наблюдение) некоторой физической величины а и в результате получен ряд ее значений:

a1,a2 ,...,ai ,...,aN .

Эти значения в большинстве своем отличаются друг от друга. Будем считать, что это отличие вызвано присутствием только случайных погрешностей, т.е. мы имеем результаты наблюдений случайной величины.

Случайной называется величина, которая может принять то или иное значение, причем заранее неизвестно, какое именно. Случайная величина оценивается вероятностью. Согласно определению вероятностью Р ка- кой-либо случайной величины а называется предел отношения числа случаев появления данной случайной величины Ni к общему числу всех проведенных опытов N при N :

P a lim Ni .

N N

Вероятность принято выражать в долях единицы или в процентах. Из данного определения следует, что вероятность Р удовлетворяет неравенству

0 P 1.

Смысл понятия вероятности заключается в том, что на основании опыта более вероятными считают те события, которые происходят чаще, менее вероятными - те, что происходят реже.

В теории вероятности доказывается, что из всего ряда значений величины а наилучшим, т.е. наиболее близким к истинному является среднее арифметическое значение a результатов наблюдений:

Тогда погрешности отдельных наблюдений определятся как

a1 a1 a ,a2 a2 a ,

.......................

aN aN a .

13

Как величины случайные, погрешности могут принимать разные значения с разной вероятностью. Описание совокупности значений случайной величины с указанием вероятности каждого значения называется за-

коном распределения этой величины.

В практике измерений наибольшее распространение имеет нормальный закон распределения (закон Гаусса). В основе распределения Гаусса лежат два предположения:

1)при большом числе наблюдений погрешности равной величины, но разного знака встречаются одинаково часто, т.е. равновероятны;

2)вероятность появления погрешностей уменьшается с ростом величины погрешности, т.е. большие по абсолютной величине погрешности встречаются реже, чем малые. Наиболее вероятным является среднее арифметическое значение.

Кривая нормального распределения симметрична отно- f(a)

сительно среднего значения a

иописывается функцией Га-

усса, аналитическое выражение которой имеет вид:

a da . Геометрически эта вероятность представляет собой площадь под кривой f(a), ограниченную отрезком da. Вся площадь под кривой (полная вероятность)

f a da 1.

Параметр Н характеризует степень рассеяния результатов наблюде-

ний относительно среднего значения a , т.е. определяет форму кривой

14

распределения. С увеличением Н максимальная ордината кривой Гаусса

одинакова и равна единице, то с увеличением Н кривая растягивается вдоль оси абсцисс. Разброс значений относительно a увеличивается, качество измерений ухудшается.

2 Н 2

Значения a H соответствуют точкам перегиба функции f(a). Веро-

ятность того, что случайная величина принимает значение, принадлежащее интервалу

(геометрически - это заштрихованная часть площади на графике). Вероятность того, что случайная величина принимает значение, принадлежащее

a 3 H

15

Вероятность, с которой величина а заключена в интервале значений

a tP H , называется доверительной вероятностью Р , а интервал но-

сит название доверительного. Абсолютная случайная погрешность равна половине доверительного интервала.

Среднее арифметическое всегда отличается от истинного и лишь при N совпадает с ним. Оно само является случайной величиной, подчиняется распределению Гаусса и характеризуется средним квадратичным отклонением результата измерения , связанным с Н выражением:

При ограниченном числе наблюдений (2<N<30) коэффициент t зависит не только от доверительной вероятности P, но и от числа наблюдений N. Этот коэффициент, называется коэффициентом Стьюдента tPN, его значения приведены в табл. 1. Абсолютная случайная погрешность в этом случае рассчитывается по формуле

aсл t PN .

Таблица 1

Коэффициенты Стьюдента

2.2. Расчет случайной погрешности

При обработке прямых измерений результаты наблюдений и вычислений

удобно оформлять в виде табл. 2.

Таблица 2

Расчет среднего значения и случайной погрешности по методу Стьюдента

Вколонке 1 указывается номер опыта по порядку (обычно проводится 3-7 измерений).

Вколонке 2 записываются значения измеряемой величины.

Вколонку 3 вносится среднее значение измеряемой величины, рассчитанное по формуле:

Каждый результат, полученный по последней формуле, возводится в квадрат и заносится в колонку 5.

В колонке 6 следует расположить среднеквадратичную погреш-

ность , рассчитанную по формуле:

Она характеризует разброс средних значений измеряемой величины. Среднеквадратичная погрешность тем больше, чем сильнее измеренные величины отличаются друг от друга.

17

В колонку 7 заносится значение доверительной вероятности (или надежности) Обычно достаточно выбрать значение Р = 0,95 (или, что то же самое, 95%).

Коэффициент Стьюдента, учитывающий заданную доверительную вероятность и число измерений tPN , находится по табл. 1 и располагается в колонке 8.

и заносится в колонку 9.

2.3.Учет систематических погрешностей

Кучитываемым систематическим погрешностям относятся погреш-

ности средств измерения и погрешности отсчета.

В форме абсолютных погрешностей задаются погрешности линеек,

штангенциркулей, секундомеров, термометров и т.п. Абсолютная погрешность средства измерения в этом случае может быть вычислена по формуле

a , (5)

где - цена деления прибора.

В форме приведенных погрешностей задаются пределы допускае-

мых погрешностей электроизмерительных приборов, манометров. Этим приборам присваиваются классы точности. Класс точности равен пределу допускаемой приведенной погрешности, выраженной в процентах, которая определяется по формуле

aси 100% , an

где ап - нормирующее значение прибора или предел измерений;

- предел допускаемой приведенной погрешности прибора в процентах от нормирующего значения;аси - абсолютная погрешность прибора.

18

Пользуясь этой формулой, можно определить абсолютную погрешность измерительного прибора:

a an . (6)

Полная абсолютная погрешность прямых измерений рассчитывает-

ся по формуле

Чаще всего случайная погрешность и погрешность средств измерения - величины разных порядков; в таких случаях меньшей погрешностью пренебрегают. Например, если aси aсл , то a aсл

3.ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ КОСВЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

3.1.Постановка задачи

Пусть в результате обработки результатов прямых измерений a, b, c получены их средние значения a , b , c , а также их абсолютные погрешно-

сти a, b, c. Требуется найти наилучшее значение (наиболее близкое к истинному) величины А, связанной с измеряемыми величинами a, b, c функциональной зависимостью (расчетной формулой)

Af a,b,c ,

атакже ее абсолютную и относительную погрешности.

Наиболее близкое к истинному значение величины А (его также называют средним значением) получается при подстановке в расчетную формулу средних значений измеряемой величины:

На погрешность величины А влияют погрешности, связанные с измерением каждой из величин a, b, c. Обозначим через Аа , Аb , Ac вклады в полную погрешность А, связанные с погрешностями измерения величин a, b и c соответственно. Методы математической статистики дают следующую формулу для расчета абсолютной погрешности А косвенно измеренной величины А:

19

тальные величины b , c , то мы получим новое значение величины А, отли-

чающееся от A на величину Аа:

Полученные значения подставляются в формулу (9).

Этот метод расчета особенно удобен при проведении расчета на компьютере с помощью программ типа Excel.

Пример

Лабораторная работа “Определение момента инерции маховика динамическим методом”

Расчетная формула в этой лабораторной работе имеет вид

Измеряемыми величинами являются диаметр вала d, время опускания груза t и высота h. Погрешности в измерении диаметра вала и высоты определяются погрешностями средств измерения. d = dп , h = hп. Время опускания груза имеет статистический разброс, поэтому измерения обрабатываются по методу Стьюдента, т.е. находятся среднее значение t и слу-

20